فيديو: نموذج تدريب امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٩ • السؤال الثالث

نموذج تدريب امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٩ • السؤال الثالث

٠٧:٥٢

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلتَي المماس والعمودي للمنحنى: س بتساوي قا تربيع 𝜃 ناقص واحد، وَ ص بتساوي ظا 𝜃. عند 𝜃 بتساوي 𝜋 على أربعة.

عشان نقدر نوجد معادلتَي المماس والعمودي للمنحنى محتاجين ننفذ بعض الخطوات، واللي هتكون:

أول خطوة: بنوجد نقطة عَ المنحنى. تاني خطوة: بنوجد د ص على د س، ومنها بنوجد ميل المماس وميل العمودي. من ميل المماس بنوجد معادلة المماس، ومن ميل العمودي هنوجد معادلة العمودي.

فبتنفيذ الخطوات. بالنسبة لأول خطوة؛ وهي إيجاد نقطة على المنحنى. مطلوب نوجد معادلتَي المماس والعمودي للمنحنى عند 𝜃 بتساوي 𝜋 على أربعة. فعشان نقدر نوجد نقطة عَ المنحنى؛ يعني محتاجين نوجد إحداثيات س، وإحداثيات ص. وبما إن س دالة في 𝜃، وَ ص دالة في 𝜃. فهنعوّض عن 𝜃 بِـ 𝜋 على أربعة؛ عشان نقدر نوجد نقطة على المنحنى.

فعند 𝜃 بتساوي 𝜋 على أربعة هيكون عندنا س بتساوي قا تربيع 𝜋 على أربعة، ناقص واحد؛ يعني س هتساوي واحد. وهيكون عندنا ص بتساوي ظا 𝜋 على أربعة؛ يعني ص هتساوي واحد. وبالتالي فالإحداثي السيني للنقطة هيكون بيساوي واحد، والإحداثي الصادي للنقطة هيكون بيساوي أيضًا واحد. وبكده نكون قدِرنا نوجد أول خطوة وهي النقطة على المنحنى.

تاني خطوة؛ محتاجين نوجد د ص على د س. معطى س بدلالة 𝜃، وَ ص بدلالة 𝜃. فعلشان نقدر نوجد د ص على د س، هنستخدم قاعدة السلسلة. فهيكون عندنا د ص على د س هتساوي د ص على د 𝜃، مضروبة في د 𝜃 على د س.

معطى إن ص بتساوي ظا 𝜃. فهيكون عندنا اشتقاق ص بالنسبة لِـ 𝜃، اللي هي د ص على د 𝜃. هتساوي اشتقاق ظا 𝜃 بالنسبة لِـ 𝜃، واللي بتساوي قا تربيع 𝜃. وعلشان نقدر نوجد د 𝜃 على د س، فَـ د 𝜃 على د س هتساوي واحد على؛ د س على د 𝜃. عشان معطى عندنا س بدلالة 𝜃، فنقدر نوجد د س على د 𝜃.

فبما إن س بتساوي قا تربيع 𝜃 ناقص واحد، فممكن نكتب قا تربيع 𝜃 في صورة: قا 𝜃 أُس اتنين. فهيكون عندنا اشتقاق س بالنسبة لِـ 𝜃 بيساوي … هنكتب الأُس، اللي هو اتنين. مضروب في الأساس، اللي هو قا 𝜃. مضروب في مشتقّة الأساس. مشتقّة قا 𝜃 هتكون قا 𝜃 مضروبة في ظا 𝜃. ناقص … مشتقّة واحد بالنسبة لِـ 𝜃 هتساوي صفر.

يعني هيكون عندنا د س على د 𝜃 بتساوي اتنين في قا تربيع 𝜃 في ظا 𝜃. فلو عايزين نوجد د 𝜃 على د س؛ فهتكون بتساوي واحد على، اتنين في قا تربيع 𝜃 في ظا 𝜃. يبقى كده قدِرنا نوجد د 𝜃 على د س.

فعشان نقدر نوجد د ص على د س. هنعوّض عن د ص على د 𝜃 بِـ قا تربيع 𝜃، مضروبة في … هنعوّض عن د 𝜃 على د س بواحد على، اتنين في قا تربيع 𝜃 في ظا 𝜃.

بالتبسيط هيكون عندنا … قا تربيع 𝜃، مضروبة في واحد على قا تربيع 𝜃؛ هيساوي واحد. فَـ د ص على د س هتكون بتساوي واحد على اتنين ظا 𝜃. يبقى كده قدِرنا نوجد تاني خطوة وهي د ص على د س.

علشان نقدر نوجد ميل المماس، فَـ د ص على د س هتمثّل ميل مماس المنحنى عند أيّ نقطة. وبما إننا محتاجين نوجد ميل مماس المنحنى عند 𝜃 بتساوي 𝜋 على أربعة، أو عند النقطة: واحد، وواحد. فهنعوّض عن 𝜃 بِـ 𝜋 على أربعة.

فهيكون عندنا ميل المماس بيساوي واحد على، اتنين مضروبة في ظا 𝜋 عَ الأربعة. ظا 𝜋 على أربعة بتساوي واحد، فهيكون عندنا ميل المماس بيساوي واحد على اتنين. يبقى كده قدِرنا نوجد ميل المماس.

عشان نوجد معادلة المماس. فبما إن المماس بيمثّل خط مستقيم، فمعادلة الخط المستقيم هتكون: ص ناقص ص واحد هتساوي م، مضروبة في س ناقص س واحد. حيث س واحد وَ ص واحد هم إحداثيات النقطة اللي بنوجد عندها معادلة المماس. وَ م هيكون هو ميل المماس.

يعني معادلة المماس هتكون … هيكون عندنا ص ناقص … ص واحد هو الإحداثي الصادي للنقطة اللي بنوجد عندها معادلة المماس، اللي بيساوي واحد. هيكون بيساوي ميل المماس، اللي هو بنُصّ، مضروب في س ناقص س واحد. س واحد هي الإحداثي السيني للنقطة اللي بنوجد عندها معادلة المماس، واللي بتساوي واحد.

يعني هيكون عندنا معادلة المماس هي: ص ناقص واحد هتساوي نُصّ، مضروبة في س ناقص واحد.

هنبسّط شكل المعادلة، هنضرب الطرفين في اتنين. فهيكون عندنا اتنين ص ناقص اتنين، هيساوي س ناقص واحد. هنطرح من الطرفين س ناقص واحد، فهيكون عندنا اتنين ص ناقص س ناقص واحد هتساوي صفر. يبقى كده قدِرنا نوجد معادلة المماس للمنحنى، وكانت بتساوي اتنين ص ناقص س ناقص واحد بتساوي صفر.

تاني حاجة محتاجين نوجد ميل العمودي. وبما إن د ص على د س بتمثّل ميل مماس المنحنى عند أيّ نقطة. فعلشان نقدر نوجد ميل العمودي، هيكون عندنا ميل المماس في ميل العمودي هيساوي سالب واحد. علشان نقدر نوجد ميل العمودي، هنقسم الطرفين على ميل المماس. فهيكون عندنا ميل العمودي بيساوي سالب واحد، مقسوم على ميل المماس.

يعني ميل العمودي هيساوي سالب واحد، مقسوم على … بما إن د ص على د س بتمثّل ميل مماس المنحنى عند أيّ نقطة، فهيكون عندنا ميل المماس هو واحد على اتنين ظا 𝜃. يعني ميل العمودي للمنحنى عند أيّ نقطة هيكون بيساوي سالب اتنين مضروبة في ظا 𝜃.

وبما إننا محتاجين نوجد معادلة العمودي للمنحنى عند 𝜃 بتساوي 𝜋 على أربعة، أو عند النقطة: واحد، وواحد. فهنعوّض عن 𝜃 بِـ 𝜋 على أربعة؛ عشان نقدر نوجد ميل العمودي. يعني ميل العمودي هيساوي سالب اتنين، مضروبة في ظا 𝜋 على أربعة. ظا 𝜋 على أربعة بتساوي واحد، يعني ميل العمودي هيكون بيساوي سالب اتنين. وبكده نكون قدِرنا نوجد ميل العمودي.

عشان نقدر نوجد معادلة العمودي. فبما إن العمودي هيكون خط مستقيم، فمعادلة الخط المستقيم هتكون: ص ناقص ص واحد هتساوي م، مضروبة في س ناقص س واحد. والاختلاف إن م هتكون هنا هي ميل العمودي.

فبالتعويض هنجد إن معادلة العمودي هتكون: ص ناقص … ص واحد هي الإحداثي الصادي للنقطة اللي عايزين نوجد عندها معادلة العمودي، واللي بتساوي واحد. هيساوي … ميل العمودي بيساوي سالب اتنين، مضروب في س ناقص س واحد. س واحد هي الإحداثي السيني للنقطة اللي عايزين نوجد عندها معادلة العمودي، فهتكون بتساوي واحد.

بالتبسيط هنضرب سالب اتنين في س، وهنضرب سالب اتنين في سالب واحد. فهيكون عندنا: ص ناقص واحد هتساوي سالب اتنين س زائد اتنين.

هنطرح من الطرفين سالب اتنين س زائد اتنين، فهيكون عندنا: ص زائد اتنين س ناقص تلاتة هتساوي صفر. يبقى كده قدِرنا نوجد معادلة العمودي، واللي كانت: ص زائد اتنين س ناقص تلاتة بتساوي صفر.

وبكده نكون قدِرنا نوجد معادلتَي المماس والعمودي للمنحنى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.