فيديو: استخدام الدوال المثلثية العكسية لحساب مقادير الدوال المثلثية

أوجد القيمة الدقيقة ‪tan⁻¹ (tan(−5𝜋/6))‬‏ بالتقدير الدائري.

٠٤:٥٨

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد القيمة الدقيقة لدالة الظل العكسية لـ tan سالب خمسة 𝜋 على ستة بالتقدير الدائري.

إذا حالفك الحظ، فإن ضرب هذا المقدار على الآلة الحاسبة، بافتراض ضبطها على وضع التقدير الدائري (الراديان)، سيعطيك الحل 𝜋 على ستة، وبهذا تحصل على القيمة الدقيقة دون جهد. أما إذا لم تعطك الآلة الحاسبة القيمة الدقيقة، فستحصل على تقدير عشري لها، وهو ما يقرب من 0.52. في كلتا الحالتين، تستطيع أن تلاحظ أن الحل الذي تحصل عليه من الآلة الحاسبة ليس سالب خمسة 𝜋 على ستة.

وقد يكون هذا أمرًا مفاجئًا لك؛ فقد تعتقد أنك إذا أخذت عددًا ما وطبقت إحدى الدوال عليه، ثم طبقت الدالة العكسية لتلك الدالة على الناتج، فستحصل على العدد الذي بدأت به. ولكن من الواضح في هذه الحالة، أننا لم نحصل على ذلك؛ وإنما حصلنا على 𝜋 على ستة. سنتناول فيما تبقى من الفيديو شرح السبب وراء حدوث ذلك: لماذا حصلنا على 𝜋 على ستة وليس سالب خمسة 𝜋 على ستة؟

انظر إلى التمثيل البياني لـ 𝑦 يساوي tan 𝑥. يمكننا استخدامه لمعرفة قيمة tan سالب خمسة 𝜋 على ستة. تبدو هذه القيمة أكبر قليلًا من 0.5. وتوجد قيمة دقيقة يمكن الحصول عليها باستخدام الآلة الحاسبة عند حساب جذر ثلاثة على ثلاثة، وهو ما يساوي 0.577 تقريبًا. ومن ثم تتحول المسألة المتعلقة بحساب دالة الظل العكسية لـ tan سالب خمسة 𝜋 على ستة إلى مسألة لحساب الدالة العكسية لـ tan جذر ثلاثة على ثلاثة، وهو ما يساوي 0.577 إلخ.

دالة الظل العكسية هي دالة تحاول تغيير دالة الظل إلى العكس. ومن ثم عند السؤال عن دالة الظل العكسية لـ 0.577 إلى آخر العدد، فما نسأل عنه هو قيمة 𝜃، التي tan 𝜃 لها هو 0.577 إلى آخر العدد. إذا نظرنا إلى التمثيل البياني، نلاحظ أنه لسوء الحظ يوجد العديد من قيم 𝑥، التي تكون لدالة الظل عندها هذه القيمة. في الحقيقة، بما أن دالة الظل تكرارية، يوجد عدد غير منته من قيم 𝑥، والتي عندها tan 𝑥 يساوي 0.577 إلى آخر العدد.

دالة الظل العكسية هي دالة. ومن ثم يجب أن يكون لها قيمة واحدة فقط من هذه القيم العددية. فكيف تحدد هذه القيمة؟ يكمن السر في كون دالة الظل العكسية دائمًا ما يكون لها قيمة بين سالب 𝜋 على اثنين و𝜋 على اثنين. وهناك قيمة وحيدة لـ 𝑥 في هذه المنطقة، حيث tan 𝑥 يساوي 0.577 إلى آخر العدد. هذه القيمة هي 𝜋 على ستة. ويمكننا ملاحظة أنه في هذه المنطقة توجد قيمة وحيدة لـ 𝑥، تناظر أي قيمة معطاة لـ tan 𝑥. يوجد، على سبيل المثال، قيمة وحيدة لـ 𝑥، حيث tan 𝑥 يساوي سالب اثنين. إذن دالة الظل العكسية لـ 0.377 إلى آخر العدد هي 𝜋 على ستة.

قيم 𝑥 الأخرى، حيث tan 𝑥 يساوي جذر ثلاثة على ثلاثة أو 0.577 إلى آخر العدد، يمكن إيجادها بسهولة من قيمة دالة الظل العكسية هذه. يمكن لـ 𝑥 أن يساوي 𝜋 على ستة كما ذكرنا. ولكن لأن دالة الظل تكرارية وطول دورتها 𝜋، يمكن أن تكون كذلك 𝜋 على ستة زائد 𝜋 أو سبعة على ستة في 𝜋. بالمثل، إذا طرحنا - 𝜋 بدلًا من جمعها - من قيمة دالة الظل العكسية التي لدينا، نحصل على سالب خمسة 𝜋 على ستة، وهي قيمة كنا نتوقعها. ويمكننا المتابعة قدر ما نريد، إذ إن ظل سالب 11𝜋 على ستة يساوي أيضًا جذر ثلاثة على ثلاثة أو 0.577 إلى آخر العدد. جميع قيم 𝑥 هذه يفصل بينها 𝜋، ومن ثم فكلها مضاعفات لـ 𝜋 بالنسبة إلى قيمة دالة الظل العكسية، التي هي واحد على ستة في 𝜋.

إذن إذا أردت إيجاد القيمة الدقيقة لدالة الظل العكسية لـ tan 𝑥، بالنسبة إلى إحدى قيم 𝑥، فإذا كان 𝑥 في المنطقة بين سالب 𝜋 على اثنين و𝜋 على اثنين، فأنت محظوظ. فحينها تصبح دالة الظل العكسية لـ tan 𝑥 هي 𝑥 فقط، وإلا فسيكون عليك إما جمع أحد مضاعفات 𝜋 وإما طرحه للحصول على قيمة في هذه المنطقة. وبالتالي تصبح هذه القيمة هي الحل.

فعلى سبيل المثال، لنرجع إلى المسألة: الدالة العكسية لـ tan سالب خمسة 𝜋 على ستة. نلاحظ أن سالب خمسة 𝜋 على ستة ليس بين سالب 𝜋 على اثنين و𝜋 على اثنين، ولكن يمكننا إضافة أحد مضاعفات 𝜋، وهو في هذه الحالة 𝜋 فقط. ومن ثم تصبح القيمة واقعة في هذا النطاق. وبناء عليه، فإن دالة الظل العكسية لـ tan سالب خمسة 𝜋 على ستة هي هذه القيمة سالب خمسة 𝜋 على ستة زائد 𝜋، وهو ما يساوي 𝜋 على ستة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.