فيديو السؤال: إيجاد معادلة منحنى بمعلومية مشتقته الثانية وميل المماس عند نقطة على المنحنى الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

المشتقة الثانية لمنحنى هي سالب ٢٧ جا ثلاثة ﺱ زائد ثمانية. يمر المنحنى بالنقطة ‏𝜋‏ على ستة، سالب أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد ‏𝜋‏ تربيع على تسعة زائد ستة. وميل المماس لهذه النقطة هو سالب ثمانية زائد أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة. أوجد معادلة المنحنى.

يطلعنا المعطى الأول هنا على تعبير للمشتقة الثانية للمنحنى. وهو ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع، والذي يساوي سالب ٢٧ جا ثلاثة ﺱ زائد ثمانية. ولدينا بعض المعلومات عن نقطة يمر بها هذا المنحنى، لكن لا يمكننا استخدامها الآن. كذلك، نعرف ميل المماس للمنحنى عند هذه النقطة.

علينا إذن أن نبدأ بإيجاد علاقة بين المشتقة الثانية، وميل المماس، ومعادلة المنحنى. حسنًا، يجب أن نتذكر أن التكامل والاشتقاق هما عمليتان عكسيتان إحداهما للأخرى. بالتالي، إذا أردنا إيجاد تكامل التعبير الخاص بالمشتقة الثانية بالنسبة إلى ﺱ، فعلينا الحصول على تعبير للمشتقة الأولى. وبالطبع، ستكشف لنا المشتقة الأولى عن كيفية إيجاد ميل المماس للمنحنى عند أي نقطة.

دعونا إذن نحسب تكامل سالب ٢٧ جا ثلاثة ﺱ زائد ثمانية بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا الاستعانة بالصيغة العامة لتكامل جا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ لجميع القيم الحقيقية للثابت ﺃ. وهي سالب واحد على ﺃ جتا ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وهكذا، فإن تكامل سالب ٢٧ جا ثلاثة ﺱ يساوي سالب ٢٧ في سالب ثلث جتا ثلاثة ﺱ.

وعند حساب تكامل ثمانية، نحصل على ثمانية ﺱ. إذن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ٢٧ في سالب ثلث جتا ثلاثة ﺱ زائد ثمانية ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. علينا، الآن، إيجاد قيمة ﺙ. لذا، سنستخدم المعطى المتعلق بمرور المنحنى بالنقطة ‏𝜋‏ على ستة، سالب أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد ‏𝜋‏ تربيع على تسعة زائد ستة. وميل المماس عند هذه النقطة هو سالب ثمانية زائد أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة.

نستنتج من ذلك أنه عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏ على ستة، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ثمانية زائد أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة. دعونا إذن نعوض بقيمة كل من ﺩﺹ على ﺩﺱ وﺱ في المعادلة. نحصل على سالب ثمانية زائد أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي سالب ٢٧ في سالب ثلث جتا ثلاثة في ‏𝜋‏ على ستة زائد ثمانية في ‏𝜋‏ على ستة زائد ﺙ.

بتبسيط الطرف الأيسر، نحصل على سالب ٢٧ في سالب ثلث جتا ‏𝜋‏ على اثنين زائد أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد ﺙ. سنطرح أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة من كلا الطرفين. وجتا ‏𝜋‏ على اثنين يساوي صفرًا. إذن نجد أن ﺙ يساوي سالب ثمانية. نبسط سالب ٢٧ في سالب ثلث جتا ثلاثة ﺱ، لنحصل على موجب تسعة جتا ثلاثة ﺱ. وبذلك نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي تسعة جتا ثلاثة ﺱ زائد ثمانية ﺱ ناقص ثمانية.

لكننا لم ننته بعد. نريد إيجاد معادلة المنحنى. سنسترجع مجددًا العلاقة بين التكامل والاشتقاق. ونجد أن ﺹ يساوي تكامل ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهو ما يساوي تكامل تسعة جتا ثلاثة ﺱ زائد ثمانية ﺱ ناقص ثمانية ﺩﺱ. هذه المرة، سنستعين بالصيغة العامة لتكامل جتا ﺃﺱ. وهي واحد على ﺃ جا ﺃﺱ.

وبذلك، تكامل تسعة في جتا ثلاثة ﺱ يساوي تسعة في ثلث جا ثلاثة ﺱ. وتكامل ثمانية ﺱ يساوي ثمانية ﺱ تربيع على اثنين، وتكامل سالب ثمانية يساوي سالب ثمانية ﺱ. إذن، ﺹ يساوي تسعة في ثلث جا ثلاثة ﺱ زائد ثمانية ﺱ تربيع على اثنين ناقص ثمانية ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ واحد. نبسط ذلك إلى ﺹ يساوي ثلاثة جا ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ زائد ﺙ واحد.

وهذه المرة، يمكننا إيجاد قيمة ﺙ واحد بالرجوع إلى هذا المعطى. عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏ على ستة، فإن ﺹ يساوي سالب أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد ‏𝜋‏ تربيع على تسعة زائد ستة.

دعونا نفرغ بعض المساحة ونستكمل هذه الخطوة الأخيرة. وهكذا، نجد أن سالب أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد ‏𝜋‏ تربيع على تسعة زائد ستة يساوي ثلاثة جا ثلاثة في ‏𝜋‏ على ستة زائد أربعة في ‏𝜋‏ على ستة تربيع ناقص ثمانية في ‏𝜋‏ على ستة زائد ﺙ واحد. يبسط الطرف الأيسر هنا إلى ثلاثة زائد ‏𝜋‏ تربيع على تسعة ناقص أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد ﺙ واحد. بعد ذلك، سنلاحظ أنه يمكننا إضافة أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة لكلا الطرفين، وطرح ‏𝜋‏ تربيع على تسعة. وأخيرًا، سنطرح ثلاثة من كلا الطرفين، ونجد أن ﺙ واحد يساوي ستة ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي ثلاثة.

وبذلك، نكون قد وجدنا أن معادلة المنحنى هي ﺹ يساوي ثلاثة جا ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ زائد ثلاثة. ويمكننا كتابة ذلك بطريقة أخرى على صورة ﺹ يساوي أربعة ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ زائد ثلاثة جا ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة.