فيديو: إيجاد مجموعة حل المعادلات الأسية على مجموعة الأعداد الحقيقية باستخدام التحليل وقوانين الأسس

أوجد مجموعة حل ‪2^(𝑥²) = 4^(6𝑥 − 16)‬‏ التي تنتمي لـ ‪ℝ‬‏.

٠٤:١٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل اثنين أس 𝑥 تربيع يساوي أربعة أس ستة 𝑥 ناقص 16 التي تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية.

لحل هذه المسألة، دعونا، أولًا، نلق نظرة سريعة على الطرف الأيمن من المعادلة. نلاحظ أن الطرف الأيمن من المعادلة هو أربعة أس ستة 𝑥 ناقص 16. ثمة معلومة أساسية تساعدنا في حل هذه المسألة، وهي أن أربعة تساوي اثنين أس اثنين أو اثنين تربيع. وهذا أمر مثير للاهتمام لأننا نريد فعليًا أن نوحد عدد الأساس في طرفي المعادلة. وفي هذه الحالة، العدد هو اثنان. وبما أننا نعرف أن أربعة تساوي اثنين أس اثنين، يمكننا الآن التعويض في المعادلة.

وبالتالي، تصير المعادلة على النحو التالي: اثنان أس 𝑥 تربيع يساوي اثنين أس اثنين، حيث إن اثنين أس اثنين يساوي أربعة، وهذا مضروب في ستة 𝑥 ناقص 16. ممتاز، لقد توصلنا بالفعل إلى ما نبحث عنه. فقد حصلنا على نفس عدد الأساس في طرفي المعادلة. ونظرًا لأننا حصلنا على عدد الأساس نفسه في كلا الطرفين، يمكننا الآن أن نساوي بين الأسس.

إذن، لدينا 𝑥 تربيع يساوي اثنين في ستة 𝑥 ناقص 16. رائع، ها قد أصبح لدينا معادلة. والآن، نحل المعادلة لإيجاد قيمة 𝑥. أول ما نفعله لحل المعادلة هو فك الأقواس. وسنبدأ باثنين في ستة 𝑥، لنحصل على 12𝑥. بعد ذلك، نضرب اثنين في سالب 16، فيكون حاصل الضرب هنا هو سالب 32. عظيم، الآن صارت المعادلة عبارة عن 𝑥 تربيع يساوي 12𝑥 ناقص 32. وبما أن هدفنا هو حل هذه المعادلة وإيجاد قيمة 𝑥، فما نحن بصدد فعله الآن هو طرح 12𝑥 من طرفي المعادلة وإضافة 32 إلى كل طرف. إذن، النتيجة التي نتوصل إليها هي أن المعادلة تساوي صفرًا.

الآن، أصبح لدينا معادلة تربيعية تساوي صفرًا. لدينا 𝑥 تربيع ناقص 12𝑥 زائد 32 يساوي صفرًا. وعند فحص هذه المعادلة التربيعية، يمكننا حلها عن طريق التحليل إلى عوامل. إذن، لدينا 𝑥 ناقص أربعة في 𝑥 ناقص ثمانية يساوي صفرًا. وحصلنا على هذا الناتج لأن حاصل جمع سالب أربعة وسالب ثمانية يساوي سالب 12، الذي يعتبر معامل 𝑥. وحاصل ضرب سالب أربعة وسالب ثمانية يساوي موجب 32. حسنًا، ممتاز! هذان هما العاملان الأوليان. الآن، لنجد قيمة 𝑥.

وحيث إننا نسعى لإيجاد قيمة 𝑥، فإنه لكي نفعل ذلك، يجب علينا أن نجعل كلا القوسين يساوي صفرًا. ولكي تساوي المعادلة صفرًا، لا بد أن يساوي أحد القوسين صفرًا. إذن، سنبدأ بـ 𝑥 ناقص أربعة يساوي صفرًا. الآن نضيف أربعة إلى طرفي المعادلة. ونحصل بذلك على 𝑥 يساوي أربعة. ممتاز، هذا هو الحل الأول!

ننتقل إلى 𝑥 ناقص ثمانية يساوي صفرًا. إذن، نضيف ثمانية إلى طرفي المعادلة. وهكذا نحصل على 𝑥 يساوي ثمانية. عظيم، هذا هو الحل الآخر للمعادلة.

وبالتالي، يمكننا أن نقول إن مجموعة الحل لاثنين أس 𝑥 تربيع يساوي أربعة أس 𝑥 ناقص 16 التي تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية هي ثمانية وأربعة.

وكتذكرة سريعة، فإن الجزء المهم في مسألة كهذه هو التأكد من أن طرفي المعادلة لهما الأساس نفسه. ولكي نفعل ذلك، نبحث عن مسألة نجد فيها مثلًا اثنين وأربعة، أو اثنين وثمانية، أو اثنين و16، أو ثلاثة وتسعة، أو ثلاثة و27. وعلينا الانتباه، فهذه هي نوعية المعلومات التي سنجدها في مسألة كهذه. وهذه هي الطريقة التي نبدأ بها المسألة، ثم ننتقل لحلها، ثم نتوصل إلى مجموعة الحل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.