فيديو الدرس: عزم الدوران المؤثر على ملف مستطيل يمر به تيار عند وضعه في مجال مغناطيسي الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن عزم الدوران المؤثر على ملف مستطيل يمر به تيار عند وضعه في مجال مغناطيسي. سنعرف لماذا يتأثر ملف يمر به تيار بعزم دوران، وكيف نحسب مقداره، وكذلك كيف نحدد ما يسمى بعزم ثنائي القطب المغناطيسي للملف الذي يمر به تيار. يمكننا البدء في تناول هذا الموضوع بالتفكير في ملف مستطيل الشكل. إذن، لدينا هنا ضلع، ثم هذا الضلع الثاني، والثالث، ثم الضلع الرابع. وسنفترض بعد ذلك أن هذا الخط المتقطع هنا يمثل محورًا يمر مباشرة عبر مركز المستطيل.

والآن، ماذا إذا وضعنا مجالًا مغناطيسيًّا منتظمًا عموديًّا على هذا المحور؟ يمكننا أن نسمي شدة هذا المجال ‪𝐵‬‏. وحتى في حالة وجود ملف مستطيل في هذا المجال المغناطيسي المنتظم، لن يحدث شيء إلا إذا مررنا تيارًا بالملف. إذا فعلنا ذلك، فسيبدأ الأمر في التغير؛ لأن لدينا الآن شحنة كهربائية تتحرك في مجال مغناطيسي. وعندما تتحرك هذه الشحنات في اتجاهات معينة بالنسبة إلى المجال ستؤثر عليها قوة. وبما أن الشحنات التي تكون هذا التيار الكهربائي موجودة في الملف، فإن الملف نفسه ستؤثر عليه قوة.

قبل قليل، حددنا الأضلاع الأربعة في الملف المستطيل. قلنا إن هذا هو الضلع الأول، وهذا هو الضلع الثاني، ثم الثالث ثم الرابع. وبينما تتحرك الشحنة الكهربائية عبر هذه الأجزاء المستقيمة الأربعة المختلفة من الملف، ستؤثر قوة على ضلعين فقط من هذه الأضلاع، وهما الضلع الأول والضلع الثالث. ويعتمد ذلك على اتجاه الشحنة المتحركة بالنسبة إلى المجال المغناطيسي الخارجي. على الضلعين الأول والثالث، ستؤثر قوة مغناطيسية كلية على هذه القطعة من الملف بالكامل. وهاتان القوتان، واحدة على الضلع الأول والأخرى على الثالث، تؤثران في اتجاهين متضادين.

بالنظر إلى هذه القوة المغناطيسية أثناء تأثيرها على الضلع الأول، لنفترض أنها تشير إلى هذا الاتجاه، لأعلى. وهذا يعني أن القوة المقابلة في الضلع الثالث ستشير إلى الاتجاه المقابل، لأسفل. بمعلومية هاتين القوتين اللتين تؤثران على الأضلاع المتقابلة للملف المستطيل، يمكننا أن نتوقع ما سيحدث. تتحد هاتان القوتان كي تشكلان عزم دوران على الملف، وهو ما يجعله يدور حول هذا المحور الذي رسمناه عند مركزه. والآن، نرمز لهذا العزم بالحرف اليوناني ‪𝜏‬‏. وما نريده هو كتابة علاقة رياضية لهذا العزم. يتضح أنه في مثل هذه الحالة، يعتمد عزم الدوران هذا على عدة عوامل.

أولًا، يعتمد على شدة المجال المغناطيسي التي يقع فيه الملف الذي يحمل التيار. فكلما زادت شدة المجال، زاد عزم الدوران المؤثر على الملف. ويعتمد أيضًا على شدة التيار المار في الملف. فكلما زادت شدة التيار، ازدادت الشحنات المتحركة؛ ومن ثم زادت القوة التي تؤثر على الضلع الأول والثالث من الملف، ومعها يزداد عزم الدوران. ثمة شيء آخر يعتمد عليه عزم الدوران، وهي مساحة مقطع الملف، التي سميناها ‪𝐴‬‏. بالإضافة إلى ذلك، علينا النظر في احتمالية وجود أكثر من لفة في الملف المستطيل.

بالطريقة التي رسمناها هنا، يحتوي الملف على لفة واحدة فقط. لكن بشكل عام، يمكن أن يكون هناك أي عدد من اللفات في هذا الملف. وقد يكون هذا العدد قيمة صحيحة نسميها ‪𝑁‬‏. وهكذا فإن عزم الدوران المؤثر على الملف المستطيل الذي يحمل التيار يعتمد على ‪𝐵‬‏، شدة المجال المغناطيسي، وشدة التيار ‪𝐼‬‏، ومساحة المقطع ‪𝐴‬‏، وعدد اللفات في الملف. وبالنسبة لجميع هذه العوامل الأربعة، فكلما ازدادت، ازداد عزم الدوران. هذا يعني أن العوامل الأربعة ستكون في البسط في معادلة عزم الدوران.

أصبحت المعادلة كاملة الآن تقريبًا، ولكن يوجد عامل آخر نريد إضافته هنا. تذكر أننا قد ذكرنا سابقًا أن الملف في هذا المجال سيتأثر بعزم دوران، وأن عزم الدوران يميل إلى تدوير الملف حول هذا المحور. عندما يحدث ذلك، سيتغير الاتجاه العام للملف الذي يحمل التيار. وهذا التغير يؤدي إلى تغير في عزم الدوران الذي يؤثر عليه. يمكننا أن نفهم ما يحدث هنا بالنظر إلى التمثيل من منظور مختلف. إذا راقبنا حافة الملف المستطيل خلال دوران الملف، فسنجده يبدأ من الخط الأفقي في المجال المغناطيسي، ثم يتحول إلى هذا الشكل، ثم هكذا، وهكذا دواليك مع الاستمرار في الدوران في اتجاه عقارب الساعة بينما ننظر إلى الملف.

وهكذا فإن الزاوية المحصورة بين الملف والمجال الخارجي تؤثر على عزم الدوران الذي يؤثر على الملف. والطريقة التي نقيس بها هذه الزاوية هي بالنظر إلى المستوى الذي يقع عنده الملف. نعبر عن ذلك بمساحة المقطع ‪𝐴‬‏ التي لدينا، ونتصور متجهًا عموديًّا على هذا المستوى. لنوضح شكل ذلك أكثر، إذا كان الملف يبدو على هذا النحو بالنسبة للمجال المغناطيسي، فإن هذا المتجه العمودي على مساحة المقطع للملف المستطيل سيبدو مثل الوردي هذا. وبمجرد أن يصبح لدينا هذا المتجه، وهو عمودي على مساحة الملف أو متعامد عليها، سنقيس الزاوية المحصورة بين هذا المتجه واتجاه المجال المغناطيسي الخارجي. إذا سمينا هذه الزاوية ‪𝜃‬‏، فيمكننا إدخال العامل الأخير الذي نحتاجه إلى معادلة عزم الدوران لإكمال المعادلة.

عندما تكون ‪𝜃‬‏ هي الزاوية التي تقع بين المجال المغناطيسي الخارجي الذي يوجد فيه الملف والمتجه العمودي على مساحة الملف، فإن عزم الدوران الكلي الذي يتأثر به الملف المستطيل يساوي ‪𝐵‬‏ في ‪𝐼‬‏ في ‪𝐴‬‏ في ‪𝑁‬‏ في ‪sin 𝜃‬‏. لنتناول الآن كيف يؤثر هذا العامل، ‪sin 𝜃‬‏، على عزم الدوران المؤثر على الملف. لنفترض أن الملف كان موجهًا بهذا الشكل بالنسبة إلى المجال المغناطيسي. في هذه الحالة، يشير المتجه العمودي على مساحة الملف إلى هذا الاتجاه. ويمكننا ملاحظة أن هذا عمودي على المجال المغناطيسي الخارجي. إذن، في هذه الحالة، ‪𝜃‬‏ تساوي 90 درجة، ونعلم أن sin 90 درجة يساوي واحدًا. وهي القيمة العظمى التي تحققها دالة الـ ‪sin‬‏.

وبما أن طرفي المعادلة متساويان، فسيتأثر الملف بأقصى عزم دوران بسبب المجال المغناطيسي الذي يقطع مساحة الملف عند وضعه في هذا المجال بهذه الزاوية. لكن ماذا عن الحالة الآتية؟ ماذا لو دار الملف ليتخذ هذا الوضع؟ عند هذه النقطة، يشير المتجه العمودي على مساحة الملف إلى هذا الاتجاه. ويمكننا أن نرى أنه يشير إلى نفس اتجاه المجال الخارجي. هذان المتجهان متوازيان؛ ومن ثم ‪𝜃‬‏ تساوي صفر درجة. ‏‪sin‬‏ صفر درجة يساوي صفرًا. لذا، عندما يكون الملف موجهًا بهذه الطريقة، لا يتأثر بأي عزم دوران. وبالتالي، إذا كان الملف عموديًّا على المجال هكذا، فإنه لا يتأثر بأي عزم دوران. وإذا كان موازيًا للمجال المغناطيسي هكذا، فإن ‪𝜃‬‏ تساوي 90 درجة، ويتأثر الملف بأقصى عزم دوران.

والآن لنركز قليلًا على هذه الحالة التي يتأثر فيها الملف بأقصى عزم دوران. ما يمكننا فعله هو كتابة صيغة محددة من معادلة عزم الدوران لهذه القيمة القصوى، التي سنطلق عليها ‪𝜏𝑚‬‏. والفرق الوحيد بين هذه المعادلة والمعادلة العامة الأصلية لعزم الدوران هو أننا نفترض الآن أن ‪𝜃‬‏ تساوي 90 درجة. إذن ‪sin 𝜃‬‏ يساوي واحدًا. إذا نظرنا إلى أقصى عزم دوران يمكن أن يتعرض له الملف وشدة المجال الذي يسبب هذا العزم، فيمكننا تحديد ما يسمى بعزم ثنائي القطب المغناطيسي للملف الذي يمر به تيار. يشير هذا المصطلح، عزم ثنائي القطب المغناطيسي، إلى قابلية جسم ما لأن يتأثر بمجال مغناطيسي خارجي.

إذن، بوجود هذا المجال الخارجي، الذي نرمز لشدته بحرف ‪𝐵‬‏ كبير، نستطيع أن نقول إنه كلما زاد عزم الدوران الذي يتعرض له الملف، زاد تأثره بالمجال. ويقيس عزم ثنائي القطب المغناطيسي مدى قوة هذا التأثر. إذا عبرنا عن عزم ثنائي القطب المغناطيسي بالرمز ‪𝑚𝑑‬‏، فهو يساوي هذه النسبة رياضيًّا، أقصى عزم دوران يمكن أن يتعرض له الملف الذي يمر به تيار مقسومًا على شدة المجال الذي يقع فيه الملف. وهذا يوضح أكثر ما نعنيه عندما نقول إن عزم ثنائي القطب المغناطيسي يقيس استجابة الجسم للمجال المغناطيسي الموجود فيه. وبمعلومية شدة المجال المغناطيسي ‪𝐵‬‏، كلما زاد تأثير عزم الدوران على الجسم، زاد عزم ثنائي القطب المغناطيسي.

وكملاحظة جانبية، نظرًا لأن ‪𝜏𝑚‬‏ هنا تساوي ‪𝐵‬‏ في ‪𝐼‬‏ في ‪𝐴‬‏ في ‪𝑁‬‏، هذا يعني أنه على وجه التحديد، في حالة ملف مستطيل يمر به تيار، يمكننا أيضًا كتابة عزم ثنائي القطب المغناطيسي في صورة ‪𝐼‬‏ في ‪𝐴‬‏ في ‪𝑁‬‏. هذا يوضح لنا أنه إذا كنا سنحتفظ بكل شيء كما هو في هذه الحالة، لكن مع زيادة شدة التيار ‪𝐼‬‏، فإننا سنزيد أيضًا من مقدار عزم ثنائي القطب المغناطيسي للملف. وبالمثل، إذا أبقينا على كل شيء كما هو، لكن مع زيادة مساحة المقطع للملف أو زيادة عدد اللفات به، فتلك هي الطرق التي يمكننا بها زيادة عزم ثنائي القطب المغناطيسي للملف. بعد أن عرفنا كل ذلك عن عزم الدوران في ملف مستطيل يمر به تيار في مجال مغناطيسي، دعونا نتدرب الآن على هذه الأفكار.

يوضح الشكل ملفًّا على شكل مستطيل يحمل تيارًا بين قطبي مغناطيس. أطول ضلعين للملف يوازيان المجال المغناطيسي ابتدائيًّا، وأقصر ضلعين للملف متعامدان على المجال المغناطيسي ابتدائيًّا. يدور الملف بعد ذلك 90 درجة؛ بحيث تكون جميع أضلاعه متعامدة على المجال المغناطيسي. أي من الخطوط الموضحة على التمثيل البياني يمثل بصورة صحيحة التغير في عزم الدوران الذي يؤثر على الملف مع تغير الزاوية التي يصنعها أطول ضلعين مع اتجاه المجال المغناطيسي من صفر درجة إلى 90 درجة؟

في هذا المثال، لدينا ملف مستطيل يحمل تيارًا، موضح في الشكل هنا. كما نرى، يقع الملف بين قطبي مغناطيس دائم؛ ما يعني أنه يتعرض لمجال مغناطيسي منتظم. ونظرًا إلى أن الملف المستطيل يمر به تيار ويوجد في مجال مغناطيسي، فإن له عزم دوران حول محور الدوران. يؤدي عزم الدوران هذا إلى دوران الملف الذي نراه هنا في اتجاه عقارب الساعة. نعلم أن الملف موجه على هذا النحو في البداية، حيث يكون الضلعان الأطول، أي إن الضلع الأمامي والخلفي للملف، موازيين للمجال المغناطيسي، والضلعان الأقصر متعامدين عليه.

لكن تحت تأثير عزم الدوران، يدور الملف 90 درجة حتى تصبح، في هذا الموضع، جميع أضلاعه الأربعة متعامدة على المجال المغناطيسي. ونعرف أن هذا المجال يشير من القطب الشمالي للمغناطيس إلى القطب الجنوبي، أي من اليسار إلى اليمين كما رسمناه هنا. والجزء الآخر من الشكل هو هذا التمثيل البياني. وبالنظر إليه بعناية، نلاحظ أنه، على المحور الرأسي، يمثل عزم الدوران المؤثر على الملف المستطيل مقابل زاوية اتجاه هذا الملف للمجال المغناطيسي. وتتراوح الزاوية من صفر، وهو موضع الملف بالنسبة إلى المجال عندما يبدأ في هذا المستوى الأفقي، وصولًا إلى 90 درجة، وهو موضع الملف بالنسبة إلى المجال بعد دورانه.

في هذا التمثيل البياني، نرى هذه الخطوط ذات الألوان المختلفة. حيث يوجد منحنى أحمر، ومنحنى أصفر، ومنحنى أزرق، وآخر أخضر. ما نريد فعله هنا هو تحديد أي من هذه المنحنيات الأربعة، أي لون، يمثل بشكل صحيح التغير في عزم الدوران الذي يؤثر على ملف مستطيل يمر به تيار، عندما تتغير هذه الزاوية التي يصنعها أطول ضلعين فيه مع اتجاه المجال المغناطيسي من صفر إلى 90 درجة. بعبارة أخرى، أي من الخطوط الأربعة على التمثيل البياني يوضح بشكل صحيح عزم الدوران المؤثر على الملف عندما يتحول من هذا الموضع إلى هذا الموضع؟ لاحظ أن هذا التغير في الموضع موضح على التمثيل البياني بتغير في هذه الزاوية التي تسمى ‪𝜃‬‏. و تتغير ‪𝜃‬‏ من صفر إلى 90 درجة.

في معطيات المسألة، قيل لنا إن ‪𝜃‬‏ تمثل الزاوية التي تقع بين أطول ضلعين في الملف، وهما الضلعان اللذان يبدآن موازيين للمجال المغناطيسي، ثم يصبحان عموديين عليه، واتجاه المجال المغناطيسي نفسه، الذي نعلم أنه يتجه من اليسار إلى اليمين بين القطب الشمالي والجنوبي للمغناطيس. إذن، الزاوية بين هذا الخط هنا، وهو أحد الضلعين الأطول للملف، تساوي صفرًا. هذا يناظر هذه النقطة في التمثيل البياني. ثم، بعد أن دار الملف 90 درجة، فإن الزاوية بين أحد الضلعين الأطول للملف، الذي أصبح هنا الآن، والمجال المغناطيسي الخارجي تساوي 90 درجة. وهذا يمثل نقطة البيانات هذه على المنحنى.

للإجابة عن سؤال أي من هذه الخطوط الأربعة يمثل بشكل صحيح عزم الدوران الذي يؤثر على الملف أثناء دورانه، سنحتاج إلى معرفة كيف يتغير عزم الدوران على الملف المستطيل الذي يمر به تيار مع الزاوية ‪𝜃‬‏. ولمعرفة ذلك، يمكننا تذكر معادلة رياضية عامة لعزم الدوران المؤثر على ملف مستطيل يمر به تيار في مجال مغناطيسي. هذا العزم ‪𝜏‬‏ يساوي شدة المجال المغناطيسي الموضوع به الملف في شدة التيار في مساحة مقطع الملف ‪𝐴‬‏. على الشكل، هذه المساحة هي هذه المساحة التي نوضحها هنا مضروبة في عدد لفات الملف المستطيل، الكل في ‪sin‬‏ زاوية سنسميها ‪𝜙‬‏.

من المهم ملاحظة أن ‪𝜙‬‏، وهي هذه الزاوية هنا، لا تساوي الزاوية ‪𝜃‬‏ المحددة في التمثيل البياني. فهاتان الزاويتان مختلفتان. لكن، بعد أن كتبنا هذه المعادلة، نلاحظ كيف يتغير عزم الدوران على ملف مستطيل يمر به تيار في مجال مغناطيسي بتغير الزاوية التي يتجه بها الملف. وهذا ما علينا معرفته للإجابة عن هذا السؤال. إذن، على الرغم من أن عزم الدوران ‪𝜏‬‏ يعتمد على كل هذه العوامل المختلفة، فإن ما يعنينا حقًّا هو أنه يتناسب طرديًّا مع ‪sin‬‏ الزاوية التي سميناها ‪𝜙‬‏. والآن ما هي هذه الزاوية؟

بالعودة إلى الرسم، إذا رسمنا متجهًا عموديًّا على مساحة مقطع الملف، فإن ‪𝜙‬‏ هي الزاوية المحصورة بين هذا المتجه، المرسوم باللون الأزرق، وخطوط المجال المغناطيسي. وفي هذه الحالة، من الجدير بالذكر أن هذه الزاوية قياسها 90 درجة. وهذا مهم للغاية. وهذا يخبرنا أنه عندما تساوي الزاوية ‪𝜃‬‏ صفرًا، فإن الزاوية ‪𝜙‬‏ تساوي 90 درجة. إذن، صحيح أن ‪𝜃‬‏ و‪𝜙‬‏ ليستا متماثلتين، لكن هكذا تتناظران عندما تساوي ‪𝜃‬‏ صفرًا. وإذا نظرنا بعد ذلك إلى اتجاه الملف بعد دورانه بزاوية 90 درجة، في هذه الحالة، ورسمنا متجهًا عموديًّا على مساحة المقطع للملف، فسيبدو بهذا الشكل.

مرة أخرى، الزاوية ‪𝜙‬‏ هي الزاوية المحصورة بين هذا المتجه الأزرق واتجاه المجال المغناطيسي. لكن الآن يمكننا ملاحظة أن هذين المتجهين متوازيان. بعبارة أخرى، قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي صفرًا. لاحظ أن هذا يناظر النقطة التي يكون فيها قياس ‪𝜃‬‏، الزاوية بين أطول ضلعين في الملف والمجال المغناطيسي، 90 درجة. إذن، الأمر محير بعض الشيء، لكن عندما تساوي ‪𝜃‬‏ صفرًا، فإن ‪𝜙‬‏ تساوي 90 درجة. ثم عندما تكون ‪𝜃‬‏ تساوي 90 درجة، فإن ‪𝜙‬‏ تساوي صفرًا. نفعل ذلك لأنه بمجرد أن نعرف قيمة ‪𝜙‬‏، يمكننا أخذ ‪sin‬‏ الزاوية. وبعد ذلك سنعرف كيف سيختلف عزم الدوران على الملف خلال فترة الدوران، وتحديدًا الدوران من ‪𝜙‬‏ تساوي 90 درجة إلى ‪𝜙‬‏ تساوي صفرًا.

ولمعرفة ما يحدث لـ ‪sin 𝜙‬‏، عند تغيير ‪𝜙‬‏ بهذه الطريقة، لنتذكر شكل دالة الـ ‪sin‬‏. إذا رسمنا ‪sin‬‏ الزاوية ‪𝜙‬‏ حيث ‪𝜙‬‏ تتغير من صفر إلى 360 درجة، فسنجد أن التمثيل البياني يصل إلى أقصى قيمة له عند زاوية قياسها 90 درجة. وعندما تساوي الزاوية صفرًا، عند نقطة الأصل، فإن ‪sin‬‏ الزاوية يساوي صفرًا. إذن، عند الانتقال من ‪𝜙‬‏ تساوي 90 إلى ‪𝜙‬‏ تساوي صفرًا، فإننا نغطي هذا الجزء من التمثيل البياني. وهذا يدلنا على نوع المنحنى الذي يجب البحث عنه بين الخيارات الأربعة. حيث يجب أن يكون خطًّا يبدأ عند القيمة القصوى عندما تكون ‪𝜙‬‏ تساوي 90 درجة، ثم يتضاءل تدريجيًّا إلى صفر عندما تساوي ‪𝜙‬‏ صفرًا.

وبالنظر إلى المنحنيات الأربعة، نجد أن واحدًا منها فقط يبدأ عند القيمة القصوى التي يحصل عليها على مدى هذه الزوايا، ثم على مدى تغير الزاوية من ‪𝜙‬‏ تساوي 90 إلى ‪𝜙‬‏ تساوي صفرًا، يتضاءل تدريجيًّا إلى صفر. هذا هو المنحنى الأحمر في التمثيل البياني. وهذا هو الخط الوحيد الذي يتناقص باستمرار، في حين تزيد قيمة الخيارات الثلاثة الأخرى عند نقطة ما. وهذه هي إجابة السؤال. إنه المنحنى الأحمر الذي يمثل بشكل صحيح التغير في عزم الدوران الذي يؤثر على الملف أثناء دورانه.

لنلخص ما تعلمناه عن عزم الدوران المؤثر على ملف مستطيل يمر به تيار عند وضعه في مجال مغناطيسي. في هذا الدرس، رأينا أنه إذا كان لدينا ملف مستطيل يمر به تيار عند وضعه في مجال مغناطيسي منتظم، فسيتأثر هذا الملف بعزم دوران كلي يساوي شدة المجال المغناطيسي في شدة التيار في مساحة مقطع الملف مضروبًا في عدد لفات الملف. وكل هذا مضروب في ‪sin‬‏ الزاوية التي سميناها ‪𝜃‬‏، حيث ‪𝜃‬‏ هو قياس الزاوية بين متجه عمودي على مساحة مقطع الملف وخطوط المجال المغناطيسي.

وإلى جانب ذلك، تعلمنا مصطلح عزم ثنائي القطب المغناطيسي، الذي يشير إلى مدى قوة تأثر ملف بمجال مغناطيسي خارجي. نوجد عزم ثنائي القطب المغناطيسي ‪𝑚𝑑‬‏ عن طريق قسمة القيمة القصوى لعزم الدوران المؤثر على الملف على شدة المجال الموضوع فيه. هذا هو ملخص عزم الدوران المؤثر على ملف مستطيل يمر به تيار عند وضعه في مجال مغناطيسي.