فيديو الدرس: حل المعادلات التربيعية: القانون العام الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام.

١٤:٤٥

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام. أول من صاغ القانون العام في صورته الحالية هو عالم الرياضيات الفرنسي رينيه ديكارت، وذلك في القرن السابع عشر. وهذا القانون طريقة فعالة لحل المعادلات التربيعية، خاصة تلك التي لا يمكن حلها بالتحليل. إذا كان لدينا أي معادلة تربيعية على الصورة: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت، وكان ﺃ لا يساوي صفرًا، فإن القانون العام ينص على أن ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل مقسوم على اثنين ﺃ. دعونا الآن نتناول كيفية استخدام هذه الصيغة لحل أي مسألة تتضمن معادلة تربيعية.

خطوتنا الأولى هي كتابة المعادلة على الصورة: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. لكي نفعل ذلك، قد نحتاج إلى توزيع الأقواس بالإضافة إلى تجميع الحدود المتشابهة. وعلى الرغم من أن كتابة المعادلة بالترتيب نفسه ليس ضروريًّا، لكنه من المفيد فعل ذلك. حينئذ يكون من السهل كتابة قيم ﺃ وﺏ وﺟ. وبعد ذلك، نعوض بقيم ﺃ وﺏ وﺟ في الصيغة التربيعية. عندئذ نبسط الطرف الأيسر لنحصل على حلين للمعادلة التربيعية. دعونا نفكر في المعادلة التربيعية: ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. قيم ﺃ وﺏ وﺟ هي ثلاثة وأربعة وسالب واحد، على الترتيب؛ لأن معامل ﺱ تربيع هو ثلاثة، ومعامل ﺱ يساوي أربعة، والحد المطلق الذي لا يحتوي على ﺱ هو سالب واحد.

بالتعويض بهذه القيم في القانون العام، نحصل على ﺱ يساوي سالب أربعة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لأربعة تربيع ناقص أربعة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في سالب واحد الكل مقسوم على اثنين مضروب في ثلاثة. يبسط المقدار داخل الجذر التربيعي إلى ١٦ زائد ١٢. وبذلك يصبح لدينا سالب أربعة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ٢٨ الكل مقسوم على ستة. الجذر التربيعي لـ ٢٨ يساوي اثنين جذر سبعة. يمكننا بعد ذلك قسمة كل حد في المقدار على اثنين. إذن ﺱ يساوي سالب اثنين زائد أو ناقص جذر سبعة الكل مقسوم على ثلاثة. يمكننا فصل ذلك للحصول على حلين للمعادلة التربيعية ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. وسنجد أن لدينا ﺱ يساوي سالب اثنين زائد جذر سبعة مقسومًا على ثلاثة، أو ﺱ يساوي سالب اثنين ناقص جذر سبعة مقسومًا على ثلاثة.

سنتناول الآن مثالًا أكثر تعقيدًا.

أوجد مجموعة حل المعادلة ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة مضروبًا في ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا في مجموعة الأعداد الحقيقية، مقربًا الناتج لأقرب منزلة عشرية.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا إعادة ترتيب المعادلة؛ بحيث تكون على الصورة: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. يمكننا هذا من استخدام القانون العام لحل المعادلة. بتوزيع الأقواس عن طريق ضرب أربعة في ﺱ وأربعة في واحد، نحصل على ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا. قيم ﺃ وﺏ وﺟ هي ثلاثة وأربعة وأربعة، على الترتيب. ينص القانون العام على أن ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل مقسوم على اثنين ﺃ.

بالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على ﺱ يساوي سالب أربعة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لأربعة تربيع ناقص أربعة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في أربعة الكل مقسوم على اثنين مضروب في ثلاثة. أربعة تربيع يساوي ١٦، وأربعة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في أربعة يساوي ٤٨، واثنان مضروبًا في ثلاثة يساوي ستة. وبما أن ١٦ ناقص ٤٨ يساوي سالب ٣٢، يصبح لدينا ﺱ يساوي سالب أربعة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لسالب ٣٢ الكل مقسوم على ستة.

في هذه المرحلة، بما أننا نريد إيجاد الحلول لأقرب منزلة عشرية، فإننا عادة ما نجري العملية الحسابية باستخدام الآلة الحاسبة. لكن هذه العملية الحسابية تتضمن أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب؛ وهو سالب ٣٢. ونحن نعلم أنه عند أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب لن يكون للناتج حلول حقيقية. وعندما نكتب ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على خطأ رياضي. هذا يعني أنه لا توجد حلول حقيقية للمعادلة. ومجموعة حل المعادلة هي المجموعة الخالية. هذا يقودنا إلى حقيقة أساسية عن القانون العام. إذا كان التعبير داخل الجذر التربيعي ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ؛ الذي يعرف باسم «المميز»، أصغر من صفر، فلن تكون هناك حلول حقيقية للمعادلة التربيعية.

علينا أيضًا التفكير كيف سيبدو ذلك بيانيًّا. يوضح الشكل المعادلة التربيعية ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة مضروبًا في ﺱ زائد واحد. نلاحظ هنا أن المنحنى لا يتقاطع مع المحور ﺱ. وهذا يؤكد أنه لا توجد حلول حقيقية للمعادلة. إذن أي معادلة تربيعية يكون فيها المميز ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ أصغر من صفر، لن يتقاطع فيها المنحنى مع المحور ﺱ.

سنتناول الآن مثالين آخرين علينا خلالهما استخدام القانون العام في مسألة كلامية.

مستطيل بعداه خمسة أمتار و١٢ مترًا. عندما زاد البعدان بمقدار معين، زادت مساحة المستطيل إلى الضعف. كم يكون هذا المقدار؟

علمنا من السؤال أن بعدي المستطيل هما خمسة أمتار و١٢ مترًا. بتذكر أنه يمكننا حساب مساحة المستطيل بضرب طوله في عرضه، نجد أن مساحة هذا المستطيل تساوي ٦٠ مترًا مربعًا. بعد ذلك، علمنا أن كلا البعدين زاد بمقدار معين. سنفترض أن هذه القيمة المعطاة تساوي ﺱ متر؛ بحيث يكون طول المستطيل الجديد هو ١٢ زائد ﺱ متر، وعرضه هو خمسة زائد ﺱ متر.

لحساب مساحة هذا المستطيل، علينا ضرب ١٢ زائد ﺱ في خمسة زائد ﺱ. لقد علمنا أيضًا أن مساحة المستطيل قد زادت إلى الضعف. إذن مساحة هذا المستطيل تساوي ١٢٠ مترًا مربعًا. بتوزيع القوسين باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، نحصل على ٦٠ زائد ١٢ﺱ زائد خمسة ﺱ زائد ﺱ تربيع. وهذا يساوي ١٢٠. بطرح ١٢٠ من طرفي هذه المعادلة ثم تجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا ﺱ تربيع زائد ١٧ﺱ ناقص ٦٠ يساوي صفرًا. هذه معادلة تربيعية مكتوبة على الصورة: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. ونحن نعلم أنه يمكننا حل أي معادلة تربيعية من هذا النوع باستخدام القانون العام. وينص هذا القانون على أن ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل مقسوم على اثنين ﺃ.

في هذا السؤال، قيم ﺃ وﺏ وﺟ هي واحد و١٧ وسالب ٦٠، على الترتيب. بالتعويض بهذه القيم في القانون، يصبح لدينا ﺱ يساوي سالب ١٧ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ١٧ تربيع ناقص أربعة مضروبًا في واحد مضروبًا في سالب ٦٠ الكل مقسوم على اثنين مضروبًا في واحد. المقدار الموجود داخل الجذر التربيعي يساوي ٥٢٩. وبما أن الجذر التربيعي لـ ٥٢٩ يساوي ٢٣، فسيصبح لدينا ﺱ يساوي سالب ١٧ زائد أو ناقص ٢٣ الكل مقسوم على اثنين. هذا يعطينا حلين ممكنين؛ إما ﺱ يساوي سالب ١٧ زائد ٢٣ الكل مقسوم على اثنين، وإما ﺱ يساوي سالب ١٧ ناقص ٢٣ الكل مقسوم على اثنين. وهما يساويان ثلاثة وسالب ٢٠، على الترتيب.

بما أننا نريد إيجاد البعد ﺱ للمستطيل، فإننا نعرف أن قيمة ﺱ يجب أن تكون موجبة. هذا يعني أن الحل الصحيح هو ﺱ يساوي ثلاثة. لكي تتضاعف مساحة المستطيل، يجب زيادة كلا البعدين بمقدار ثلاثة أمتار. هذا سيعطينا مستطيلًا بعداه ثمانية أمتار و١٥ مترًا. وبضربهما نحصل على المساحة الصحيحة؛ وهي ١٢٠ مترًا مربعًا. من المهم ملاحظة أنه كان من الممكن تحليل هذه المعادلة التربيعية. إذا استخدمنا هذه الطريقة، كنا سنحصل أيضًا على الحلين ﺱ يساوي سالب ٢٠ وﺱ يساوي ثلاثة.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا.

رمي حجر إلى أعلى من قمة منحدر فسقط في البحر بعد مرور بعض الوقت. الارتفاع ﻉ فوق مستوى البحر عند أي زمن ﻥ ثانية يعطى بالمعادلة ﻉ يساوي ثلاثة ﻥ ناقص خمسة ﻥ تربيع زائد ٤٠. بعد كم ثانية يصل الحجر إلى البحر؟ قرب إجابتك لأقرب جزء من عشرة من الثانية.

في هذا السؤال، لدينا معادلة تربيعية لـ ﻉ بدلالة ﻥ. بإعادة كتابة الطرف الأيسر على الصورة: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، يصبح لدينا ﻉ يساوي سالب خمسة ﻥ تربيع زائد ثلاثة ﻥ زائد ٤٠. إننا نحاول حساب الزمن الذي سيصل عنده الحجر إلى البحر، ونحن نعلم أن ﻉ هو الارتفاع فوق مستوى البحر. هذا يعني أنه عندما يصل الحجر إلى البحر، فإن ﻉ سيساوي صفرًا. وعلينا إذن حل المعادلة التربيعية سالب خمسة ﻥ تربيع زائد ثلاثة ﻥ زائد ٤٠ يساوي صفرًا. نحن نعلم أنه يمكن حل أي معادلة تربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا باستخدام القانون العام. ينص هذا القانون على أن ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل مقسوم على اثنين ﺃ.

في هذا السؤال، قيم ﺃ وﺏ وﺟ هي سالب خمسة وثلاثة و٤٠، والمتغير بدلًا من أن يكون ﺱ أصبح الزمن ﻥ. بالتعويض بالقيم التي لدينا، يصبح لدينا ﻥ يساوي سالب ثلاثة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لثلاثة تربيع ناقص أربعة مضروبًا في سالب خمسة مضروبًا في ٤٠ الكل مقسوم على اثنين في سالب خمسة. يبسط هذا إلى سالب ثلاثة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ٨٠٩ الكل مقسوم على سالب ١٠. بفصل الحلين، يصبح لدينا ﻥ يساوي سالب ثلاثة زائد الجذر التربيعي لـ ٨٠٩ مقسومًا على سالب ١٠، أو ﻥ يساوي سالب ثلاثة ناقص الجذر التربيعي لـ ٨٠٩ مقسومًا على سالب ١٠.

بكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ﻥ يساوي سالب ٢٫٥٤٤، وهكذا مع توالي الأرقام، وﻥ يساوي ٣٫١٤٤، وهكذا مع توالي الأرقام. وبما أن الزمن بالثانية ولا بد أن يكون قيمة موجبة، فبإمكاننا استبعاد الناتج الأول. مطلوب منا أيضًا تقريب الزمن لأقرب جزء من عشرة من الثانية. إذن يمكننا استنتاج أن الحجر يستغرق ٣٫١ ثوان حتى يصل إلى البحر.

سنلخص الآن النقاط الأساسية المستخلصة من هذا الفيديو. لأي معادلة تربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت، وكان ﺃ لا يساوي صفرًا، يمكننا استخدام القانون العام للحل لإيجاد قيمة ﺱ. ينص هذا القانون على أن ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل مقسوم على اثنين ﺃ. حلول المعادلة هي النقاط التي يقطع عندها منحنى المعادلة المحور ﺱ. إذا كان المميز ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ أصغر من صفر، فلن يكون للمعادلة التربيعية حلول حقيقية. هذا يعني أن المنحنى لن يقطع المحور ﺱ. وعلى الرغم من عدم تضمين ذلك في هذا الفيديو، لكن قد يكون من الجيد البحث عن كيفية استنتاج القانون العام.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.