تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: الضرب الاتجاهي

سوزان فائق

يوضح الفيديو مفهوم الضرب الاتجاهي، وكيفية حساب الضرب الاتجاهي للمتجهات في الفراغ.

١١:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم على الضرب الاتجاهي. هنعرف يعني إيه الضرب الاتجاهي. وكيفية حساب الضرب الاتجاهي للمتجهات في الفراغ. الضرب الاتجاهي هو نوع من أنواع ضرب المتجهات في الفراغ. وبيكون الضرب الاتجاهي لمتجهين أ وَ ب، هو متجه، وليس عددًا. يعني المتجه أ، لمّا هنضربه ضرب اتجاهي في الـ ب. هيطلع لنا متجه تالت، اللي هو بيبقى أ ضرب اتجاهي ب. وبيكون المتجه الناتج عمودي على المستوى الذي يحتوي المتجهين أ وَ ب. والمتجه ده بيبقى له قيمة، معيار، واتجاه. يعني الناتج من الضرب الاتجاهي، هيبقى متجه له قيمة كمعيار، وكمان له اتجاه.

علشان نحسب الضرب الاتجاهي للمتجهات في الفراغ. إذا كان المتجه أ قيمته تساوي أ واحد في اتجاه الـ س، زائد أ اتنين في اتجاه الـ ص، زائد أ تلاتة في اتجاه الـ ع. والـ ب متجه يساوي ب واحد في اتجاه الـ س، زائد ب اتنين في اتجاه الـ ص، زائد ب تلاتة في اتجاه الـ ع. فإن الضرب الاتجاهي للمتجهين أ وَ ب، يساوي أ اتنين في الـ ب تلاتة، ناقص الـ ب تلاتة في الـ أ اتنين؛ ده في اتجاه الـ س. ناقص أ واحد في الـ ب تلاتة، ناقص أ تلاتة في الـ ب واحد؛ ده في اتجاه الـ ص. زائد أ واحد ب اتنين، ناقص أ اتنين ب واحد؛ ده في اتجاه الـ ع.

القاعدة دي هي نفسها مفكوك محدّد من الدرجة التالتة. المحدّد ده، فيه أول صفّ بيحتوي على متجهات الوحدة: الـ س، والـ ص، والـ ع. هنقلب الصفحة ونشوف إزاي. قيمة المحدّد لمصفوفة على النظم تلاتة في تلاتة. والذي يتضمّن متجهات الوحدة: الـ س، والـ ص، والـ ع؛ وإحداثيات كلٍّ من أ وَ ب. فإننا نتوصّل لنفس قيمة أ ضرب اتجاهي ب. اللي هو هيساوي المحدّد؛ أول صفّ فيه هيبقى محتوي على متجهات الوحدة؛ اللي هم الـ س والـ ص والـ ع. تاني صفّ هيحتوي على إحداثيات المتجه أ. تالت صفّ هيحتوي على إحداثيات المتجه ب.

لو طبّقنا قاعدة حساب قيمة المحدّد. هيبقى هيساوي متجه الوحدة س، مضروب في المحدّد اللي بيحتوي على أ اتنين وَ أ تلاتة، والـ ب اتنين والـ ب تلاتة. ناقص متجه الوحدة ص، مضروب في المحدّد اللي بيحتوي على الـ أ واحد والـ أ تلاتة، والـ ب واحد والـ ب تلاتة. زائد المتجه الوحدة ع، مضروب في المحدّد اللي بيحتوي على الـ أ واحد وَ أ اتنين، والـ ب واحد والـ ب اتنين. وعشان نحسب قيمة المحدّد اللي بيبقى اتنين في اتنين، لمصفوفة على النظم اتنين في اتنين. بيبقى قيمة الـ أ د ناقص الـ ب ج.

لمّا هنطبق الكلام ده على متجه أ ضرب اتجاهي المتجه ب. يبقى هيساوي أ اتنين في ب تلاتة، ناقص أ تلاتة في ب اتنين؛ مضروبين في متجه الوحدة س. ناقص أ واحد في الـ ب تلاتة، ناقص أ تلاتة في الـ ب واحد؛ مضروبين في المتجه ص. زائد أ واحد في الـ ب اتنين، ناقص أ اتنين في الـ ب واحد؛ مضروبين في متجه الوحدة ع. واللي هو القانون اللي اتكلمنا عليه في أول الفيديو.

يبقى علشان نحصل على ضرب اتجاهي لمتجهين، هنحطّ في أول صفّ متجهات الوحدة الأساسيين. اللي هم الـ س والـ ص والـ ع. وبعد كده هنحطّ المتجه الأولاني؛ إحداثيات المتجه الأولاني أ. وبعد كده هنحطّ إحداثيات المتجه التاني ب. وبعد كده هنفكّ المحدّد التلاتة في تلاتة، ونوصل للشكل ده.

نقلب الصفحة وهناخد مثال. اوجد الضرب الاتجاهي للمتجه أ يساوي تلاتة، وسالب اتنين، وواحد. والمتجه ب يساوي سالب تلاتة، وتلاتة، وواحد. ثم اثبت أن المتجه الناتج عمودي على كلٍّ منهما.

أول حاجة هنحطّ المتجهات أ وَ ب، في صورة تركيب خطّي لمتجهات الوحدة، زيّ الشكل ده. يبقى المتجه أ هيساوي تلاتة في اتجاه الـ س، ناقص اتنين في اتجاه الـ ص، زائد واحد في اتجاه الـ ع. والـ ب هيساوي سالب تلاتة في اتجاه الـ س، زائد تلاتة في اتجاه الـ ص، زائد واحد في اتجاه الـ ع. بعد كده هنحسب أ ضرب اتجاهي ب. يا إمّا نستخدم القانون ده مباشرةً، أو نستخدم المحدّد تلاتة في تلاتة.

يبقى أول صفّ هيحتوي على متجهات الوحدة: س، وَ ص، وَ ع. تاني صفّ هيحتوي على إحداثيات المتجه أ. اللي هم تلاتة، وسالب اتنين، وواحد. والـ ب هيحتوي على السالب تلاتة، والتلاتة، والواحد. هنفكّ المحدّد ده، في اتجاه الـ س والـ ص والـ ع. يبقى هيبقى فيه محدّد هنا؛ اتنين في اتنين في اتجاه الـ س. ومحدّد تاني في اتجاه الـ ص. ومحدّد تالت في اتجاه الـ ع. وهنا ده بالموجب، وبعدين ده بالسالب، وبعدين ده بالموجب.

المحدّد الأولاني هيبقى سالب اتنين وواحد، وتلاتة وواحد. المحدّد التاني هيبقى تلاتة وواحد، وسالب تلاتة وواحد؛ اللي هم العناصر دي. المحدّد التالت، اللي هو في اتجاه الـ ع، هيبقى التلاتة والسالب اتنين، والسالب تلاتة والتلاتة. يبقى أ ضرب اتجاهي الـ ب، هيبقى مفكوك المحدّدات دي. نقلب الصفحة ونكمّل المثال. هتساوي سالب اتنين في واحد، ناقص تلاتة في واحد. ده في اتجاه الـ س. ناقص؛ التلاتة في واحد، ناقص الواحد في سالب تلاتة. ده في اتجاه الـ ص. زائد؛ التلاتة في التلاتة، ناقص السالب اتنين في السالب تلاتة. ده كله في اتجاه الـ ع. اللي هو هيساوي سالب خمسة في اتجاه الـ س، ناقص الستة في اتجاه الـ ص، زائد التلاتة في اتجاه الـ ع. ده قيمة ضرب الاتجاهي للمتجهين أ وَ ب.

عايزين نثبت إن الناتج ده عمودي على كلٍّ من المتجه أ، والمتجه ب. وعلشان نثبت الكلام ده، يبقى هناخد الناتج اللي هو أ ضرب اتجاهي ب، نضربه مرة في المتجه ب ضرب قياسي. ومرة تانية في المتجه أ ضرب قياسي. ولو طلع الناتج يساوي صفر، يبقى فعلًا المتجهين دول متعامدين.

هنضرب المتجه الناتج ضرب قياسي المتجه أ. هيساوي المركّبة الأولى في المركّبة الأولى؛ يعني التلاتة في السالب خمسة. زائد المركّبة التانية في المركّبة التانية؛ يعني سالب ستة في سالب اتنين. زائد المركّبة التالتة في المركّبة التالتة؛ يعني التلاتة في الواحد. هيساوي سالب خمستاشر زائد اتناشر زائد تلاتة، هيساوي صفر. يبقى فعلًا أ ضرب اتجاهي ب؛ لمّا هيتضربوا في المتجه أ ضرب قياسي، هيطلع صفر. يبقى أ ضرب اتجاهي ب، عمودي على أ.

لازم كمان نثبت إن هو كمان عمودي على المتجه ب. يبقى أ ضرب اتجاهي الـ ب؛ لمّا هيتضربوا ضرب قياسي في الـ ب. هيساوي المركّبة الأولى في المركّبة الأولى؛ يعني سالب خمسة في سالب تلاتة. زائد المركّبة التانية في المركّبة التانية؛ يعني سالب ستة في تلاتة. زائد المركّبة التالتة في المركّبة التالتة. هيساوي موجب خمستاشر ناقص تمنتاشر زائد تلاتة، هيساوي صفر. يبقى فعلًا المتجه أ ضرب اتجاهي المتجه ب، عمودي على المتجه ب.

إذن ناتج الضرب الاتجاهي للمتجه أ وَ ب، هو متجه آخَر عمودي على كلٍّ من المتجه أ والمتجه ب. وفعلًا لو رسمناهم، هنلاقيهم كده. هنقلب الصفحة. لو رسمنا المتجه أ والمتجه ب، زيّ ما إحنا شايفين. ورسمنا المتجه أ ضرب اتجاهي ب. هيطلع لنا الناتج اللي هو بالشكل، اللي لونه بنفسجي ده. وهو فعلًا عمودي على المتجه ب، وعمودي على المتجه أ. وده اللي كان مطلوب في السؤال.

نعرف معلومة مهمة؛ إن الضرب الاتجاهي يتمّ تطبيقه على المتجهات في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد فقط. ولا يطبَّق على المتجهات في المستوى الثنائي الأبعاد. يبقى عرفنا في الفيديو ده يعني إيه ضرب الاتجاهي. وإزاي بنحسب الضرب الاتجاهي للمتجهات في الفراغ. وإزاي بنثبت إن ناتج الضرب الاتجاهي، بيبقى متجه عمودي على المتجهين اللي إحنا بنضربهم في بعض ضرب اتجاهي.