فيديو الدرس: إيجاد قيم الدوال المثلثية باستخدام الزوايا الخاصة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قيم الدوال المثلثية باستخدام الزوايا الخاصة، وكيف نستخدمها لإيجاد قيم التعبيرات التي تحتوي على دوال مثلثية. سنبدأ بتذكر هذه الزوايا الخاصة، إلى جانب قيم دوال الجيب وجيب التمام والظل لها. لكن في هذا الفيديو، لن نتناول براهينها أو استنتاجها؛ بل سنوجد فقط قيم التعبيرات.

عندما تعلمنا الدوال المثلثية لأول مرة؛ وهي الجيب وجيب التمام والظل، عرفنا أن لها قيمًا أساسية عند صفر و٩٠ و١٨٠ و٢٧٠ و٣٦٠ درجة. كما رأينا أن كل دالة من هذه الدوال كانت دورية، كما هو موضح في تمثيلاتها البيانية. ‏جا صفر وجا ١٨٠ وجا ٣٦٠ درجة يساوي صفرًا. جا ٩٠ درجة يساوي واحدًا. وجا ٢٧٠ درجة يساوي سالب واحد. ويستمر هذا النمط كل ٩٠ درجة. ولغرض هذا الفيديو، سنتناول فقط الزوايا التي قياساتها بين صفر و٣٦٠ درجة. ‏جتا صفر درجة وجتا ٣٦٠ درجة يساويان واحدًا. جتا ٩٠ درجة وجتا ٢٧٠ درجة يساويان صفرًا. وجتا ١٨٠ درجة يساوي سالب واحد. يتضح من التمثيل البياني أن ظا صفر درجة وظا ١٨٠ درجة وظا ٣٦٠ درجة يساوي صفرًا. ظا ٩٠ درجة وظا ٢٧٠ درجة غير معرفين، ويشار إليهما من خلال خط تقارب رأسي على التمثيل البياني.

من المهم أيضًا ملاحظة أنه في بعض الأسئلة، تعطى الزوايا بالراديان بدلًا من الدرجات. نحن نعلم أن ١٨٠ درجة يساوي 𝜋 راديان. هذا يعني أن ٣٦٠ درجة يساوي اثنين 𝜋 راديان. ٩٠ درجة يساوي 𝜋 على اثنين راديان. و٢٧٠ درجة يساوي ثلاثة 𝜋 على اثنين راديان. بالإضافة إلى هذه الزوايا الأساسية الموضحة على التمثيلات البيانية، علينا أيضًا تذكر قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا ٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة. إحدى طرق تذكر ذلك هي استخدام الجدول الموضح. في العمود الأيمن، لدينا دوال الجيب وجيب التمام والظل. وفي الصف العلوي، لدينا الزوايا ٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة. يمكن إكمال الصفين التاليين بسهولة كبيرة. سنكتب الأعداد واحدًا واثنين وثلاثة، وفي الصف الذي يليه سنكتب الأعداد ثلاثة واثنين وواحدًا. ثم نجعل كل عدد من هذه الأعداد كسرًا مقامه اثنان.

الخطوة الأخيرة هي إيجاد الجذر التربيعي للبسط. لكننا نعلم أن الجذر التربيعي لواحد يساوي واحدًا. هذا يعطينا قيم جا 𝜃 وجتا 𝜃 عندما تكون 𝜃 تساوي ٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة. جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا. جا ٤٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين، وهو ما يساوي أيضًا واحدًا على جذر اثنين. جا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. كما نعلم أن جتا ٣٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، وجتا ٤٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين، وجتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا. لاحظ في هذه المرحلة أن جا ٣٠ درجة يساوي جتا ٦٠ درجة. وبالمثل، جتا ٣٠ درجة يساوي جا ٦٠ درجة، وأيضًا جا ٤٥ درجة وجتا ٤٥ درجة كلاهما يساوي جذر اثنين على اثنين.

قيم ظا ٣٠ وظا ٤٥ وظا ٦٠ درجة ليست بالقدر نفسه من السهولة. لكننا نتذكر المتطابقة التي تنص على أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 مقسومًا على جتا 𝜃. هذا يعني أن علينا قسمة نصف على جذر ثلاثة على اثنين، وجذر اثنين على اثنين على جذر اثنين على اثنين، وجذر ثلاثة على اثنين على نصف. ومن ثم، نجد أن ظا ٣٠ درجة يساوي واحدًا على جذر ثلاثة، وظا ٤٥ درجة يساوي واحدًا، وأخيرًا أن ظا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة. بإنطاق المقام، نجد أن واحدًا على جذر ثلاثة هو نفسه جذر ثلاثة على ثلاثة. وهذه هي القيمة التي نستخدمها عادة للتعبير عن ظا ٣٠ درجة.

قبل أن نتناول بعض الأمثلة، سنركز على دالة الجيب. سنفعل ذلك للتعرف على بعض الأنماط وتحديد الزوايا التي جيبها يساوي القيمة نفسها. إذا رسمنا خطًّا أفقيًّا على المنحنى ﺹ يساوي جا ﺱ؛ حيث ﺹ يساوي ٠٫٥، فسنجد أن هذا الخط يقطع المنحنى عند نقطتين بين صفر و٣٦٠ درجة. ومن ثم، فإن للمعادلة جا 𝜃 يساوي ٠٫٥ حلين بين صفر و٣٦٠ درجة. ونحن نعلم أن ٠٫٥ يساوي نصفًا. ومن الجدول، نجد أن جا ٣٠ درجة يساوي هذه القيمة.

ونظرًا لتماثل المنحنى، نجد أن قياس الزاوية الثانية يساوي ١٥٠ درجة. جا ١٥٠ درجة يساوي أيضًا ٠٫٥ أو نصفًا. يمكننا استخدام الطريقة نفسها لحساب قيم 𝜃؛ حيث جا 𝜃 يساوي سالب نصف. قيمتا 𝜃 هنا ستكونان أكبر من ١٨٠ بمقدار ٣٠ درجة، وأقل من ٣٦٠ بمقدار ٣٠ درجة. إذن، جا ٢١٠ درجات وجا ٣٣٠ درجة يساويان سالب نصف.

هناك طريقة بديلة لإيجاد قيم هذه الزوايا؛ وهي استخدام إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة. إننا نتذكر أن هذا يوضح لنا ما إذا كانت قيم الجيب وجيب التمام والظل لزاوية ما موجبة أم سالبة. عندما تقع 𝜃 بين صفر درجة و٩٠ درجة، تكون الدوال الثلاث كلها لها قيم موجبة. إذا كانت 𝜃 تقع بين ٩٠ و١٨٠ درجة، فإن قيم جيب الزاوية تكون موجبة، في حين تكون قيم جيب التمام والظل سالبة. عندما تقع الزاوية بين ١٨٠ درجة و٢٧٠ درجة، فإن قيم ظل الزاوية تكون موجبة، في حين تكون قيم الجيب وجيب التمام سالبة. وأخيرًا، إذا كانت 𝜃 تقع بين ٢٧٠ درجة و٣٦٠ درجة، فإن قيم جيب تمام الزاوية تكون موجبة، في حين تكون قيم جيب الزاوية وظلها سالبة.

باستخدام الزاوية نفسها كما فعلنا من قبل، نعلم أن جا ٣٠ درجة في الربع الأول يساوي نصفًا. وفي الربع الثاني، ستكون قيم جيب الزاوية موجبة. لذا، فإن جا ١٥٠ درجة يساوي أيضًا نصفًا. في الربعين الثالث والرابع، أي بين ١٨٠ و٢٧٠ وكذلك بين ٢٧٠ و٣٦٠ درجة، تكون قيم جيب الزاوية سالبة. هذا يؤكد أن جا ٢١٠ وجا ٣٣٠ درجة كلاهما يساوي سالب نصف. سنستخدم الآن كل هذه المعلومات لإيجاد قيم الدوال المثلثية؛ حيث تكون قياسات الزوايا معطاة بكل من الراديان والدرجات.

أوجد قيمة جتا ١١𝜋 على ستة.

سنبدأ الحل بملاحظة أن قياس الزاوية معطى بالراديان، ونحن نتذكر أن 𝜋 راديان يساوي ١٨٠ درجة. بقسمة كلتا القيمتين على ستة، نجد أن 𝜋 على ستة راديان يساوي ٣٠ درجة. يمكننا بعد ذلك ضرب طرفي هذه المعادلة في ١١، وهذا يوضح لنا أن ١١𝜋 على ستة راديان يساوي ٣٣٠ درجة. هذا يعني أن القيمة التي علينا حسابها هي جتا ٣٣٠ درجة. يمكننا فعل ذلك برسم منحنى دالة جيب التمام أولًا، ثم الاستعانة بمعرفتنا بالزوايا الخاصة.

دالة جيب التمام دورية، وقيمتها العظمى تساوي واحدًا، وقيمتها الصغرى تساوي سالب واحد. يعبر الرسم عن المنحنى ﺹ يساوي جتا 𝜃 الممتد بين صفر و٣٦٠ درجة. ونحن نريد حساب جتا ٣٣٠ درجة. من خلال هذا التمثيل البياني، نلاحظ أن قيمة ذلك موجبة وتقع بين صفر وواحد. ونظرًا لتماثل دالة جيب التمام، نلاحظ من التمثيل البياني أن جتا ٣٣٠ درجة يساوي جتا ٣٠ درجة. إحدى الزوايا الخاصة التي علينا تذكرها هي أن جتا ٣٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. هذا يعني أن جتا ٣٣٠ درجة يساوي أيضًا جذر ثلاثة على اثنين. إذن، جتا ١١𝜋 على ستة راديان يساوي أيضًا جذر ثلاثة على اثنين.

سنتناول الآن مثالًا ثانيًا أكثر تعقيدًا وتكون فيه قياسات الزوايا معطاة بالراديان.

أوجد قيمة اثنين مضروبًا في ظا 𝜋 على ستة ناقص ثمانية مضروبًا في جا أربعة 𝜋 على ثلاثة.

نلاحظ هنا أن قياسات الزوايا معطاة بالراديان. ونتذكر أن 𝜋 راديان يساوي ١٨٠ درجة. بقسمة هاتين القيمتين على ستة، نجد أن 𝜋 على ستة راديان يساوي ٣٠ درجة، و𝜋 على ثلاثة راديان يساوي ٦٠ درجة. هذا يعني أن أربعة 𝜋 على ثلاثة راديان يساوي ٢٤٠ درجة. إذن، يمكن إعادة كتابة السؤال على الصورة: اثنان مضروبًا في ظا ٣٠ درجة ناقص ثمانية مضروبًا في جا ٢٤٠ درجة.

خطوتنا التالية هي حساب ظا ٣٠ درجة وجا ٢٤٠ درجة بالاستعانة بمعرفتنا بالزوايا الخاصة وإشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة. ‏ظا ٣٠ درجة يساوي واحدًا على جذر ثلاثة. هذا يكافئ جذر ثلاثة على ثلاثة، وهذه هي الصورة التي سنستخدمها في هذا السؤال. ومن ثم، يصبح الحد الأول في التعبير لدينا اثنين مضروبًا في جذر ثلاثة على ثلاثة. وقد توصلنا من خلال إحدى الزوايا الخاصة الأخرى إلى أن جا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. علينا الآن التفكير في كيف يمكننا استخدام ذلك لحساب جا ٢٤٠ درجة.

باسترجاع إشارات الدوال المثلثية، نجد أن ٢٤٠ درجة تقع في الربع الثالث. جيب أي زاوية تقع بين ١٨٠ و٢٧٠ درجة يساوي قيمة سالبة. ٢٤٠ درجة يساوي ١٨٠ درجة زائد ٦٠ درجة. وبما أن الخط الأفقي أو المحور ﺱ هو خط تماثل؛ ونظرًا لأن جا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، فإن جا ٢٤٠ درجة يساوي سالب جذر ثلاثة على اثنين. وبذلك، يصبح الحد الثاني في التعبير لدينا هو ثمانية مضروبًا في سالب جذر ثلاثة على اثنين. علينا طرح هذا من اثنين مضروبًا في جذر ثلاثة على ثلاثة.

بتبسيط كلا الحدين، يصبح التعبير لدينا اثنين جذر ثلاثة على ثلاثة زائد أربعة جذر ثلاثة. وبما أن أربعة يكافئ ١٢ على ثلاثة، يمكننا إعادة كتابة الحد الثاني على الصورة: ١٢ جذر ثلاثة على ثلاثة. المقامان هنا متماثلان، لذا يمكننا ببساطة جمع البسطين، وهو ما يعطينا ١٤ جذر ثلاثة على ثلاثة. اثنان مضروبًا في ظا ٣٠ درجة ناقص ثمانية مضروبًا في جا ٢٤٠ درجة يساوي ١٤ جذر ثلاثة على ثلاثة. هذا يعني أن التعبير الأصلي؛ حيث قياسات الزوايا معطاة بالراديان، يساوي أيضًا ١٤ جذر ثلاثة على ثلاثة.

في السؤال الأخير، سنتناول ضرب الدوال المثلثية معًا.

أوجد قيمة ثلاثة مضروبًا في جا ٣٠ درجة مضروبًا في جا ٦٠ درجة ناقص جتا صفر درجة مضروبًا في قا ٦٠ درجة زائد جا ٢٧٠ درجة مضروبًا في جتا تربيع ٤٥ درجة.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا تذكر قيم الجيب وجيب التمام للزوايا الخاصة ٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة. علينا أيضًا تذكر متطابقات مقلوب الدوال المثلثية، ولا سيما دالة القاطع لأي زاوية. وأخيرًا، علينا إيجاد حاصل ضرب دالتين مثلثيتين وتربيع جتا ٤٥ درجة.

يمكن كتابة قيم جا وجتا وظا للزوايا ٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة في جدول كما هو موضح. قيم الجيب لهذه الزوايا الثلاث هي: نصف، وجذر اثنين على اثنين، وجذر ثلاثة على اثنين، على الترتيب. وقيم جيب التمام للزوايا ٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة هي: جذر ثلاثة على اثنين، وجذر اثنين على اثنين، ونصف. وأخيرًا، قيم الظل للزوايا الثلاث هي: واحد على جذر ثلاثة، وواحد، وجذر ثلاثة. يمكننا التعويض بقيم جا ٣٠ درجة وجا ٦٠ درجة وجتا ٤٥ درجة مباشرة في التعبير لدينا. الحد الأول؛ أي ثلاثة مضروبًا في جا ٣٠ درجة مضروبًا في جا ٦٠ درجة، يساوي ثلاثة مضروبًا في نصف مضروبًا في جذر ثلاثة على اثنين. وهذا يساوي ثلاثة جذر ثلاثة على أربعة.

من المنحنيين ﺹ يساوي جا 𝜃 وﺹ يساوي جتا 𝜃، نجد أن جتا صفر درجة يساوي واحدًا، وجا ٢٧٠ درجة يساوي سالب واحد. ‏قا 𝜃 يساوي مقلوب جيب تمام الزاوية، وعليه فإن قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃. هذا يعني أن قا ٦٠ درجة يساوي واحدًا على جتا ٦٠ درجة. وبما أن جتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا، فإن قا ٦٠ درجة يساوي اثنين.

الحد الثاني في التعبير، وهو جتا صفر درجة مضروبًا في قا ٦٠ درجة، يساوي واحدًا مضروبًا في اثنين. هذا يساوي اثنين. وأخيرًا، الحد الثالث؛ جا ٢٧٠ درجة مضروبًا في جتا تربيع ٤٥ درجة، يساوي سالب واحد مضروبًا في جذر اثنين على اثنين تربيع. جذر اثنين على اثنين تربيع يساوي اثنين على أربعة، لأننا ببساطة نقوم بتربيع البسط والمقام. يبسط هذا إلى نصف، وهو ما علينا ضربه في سالب واحد. إذن، الحد الثالث يساوي سالب نصف.

بالتعويض بالقيم الثلاث في التعبير الأصلي، نحصل على: ثلاثة جذر ثلاثة على أربعة ناقص اثنين زائد سالب نصف. سالب اثنين زائد سالب نصف هو نفسه سالب اثنين ونصف، وهو ما يساوي سالب خمسة على اثنين. يمكننا بعد ذلك ضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في اثنين. هذا يعطينا ثلاثة جذر ثلاثة على أربعة ناقص ١٠ على أربعة. وبما أن المقامين متساويان، فإنه يمكننا طرح البسطين، وهو ما يعطينا سالب ١٠ زائد ثلاثة جذر ثلاثة على أربعة. هذه هي قيمة التعبير الأصلي.

سنلخص الآن النقاط الأساسية المستخلصة من هذا الفيديو. يمكننا إيجاد قيم الدوال المثلثية وتعبيراتها بالاستعانة بمعرفتنا بالزوايا الخاصة والخاصية الدورية لهذه الدوال. على وجه التحديد، يمكننا استخدام قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا ٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة، إلى جانب التمثيلات البيانية للدوال المثلثية وإشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة.