فيديو: صيغ المتتابعات الحسابية

الحد الثالث في متتابعة حسابية هو ‪2‬‏ والحد السادس ‪11‬‏. إذا كان الحد الأول ‪𝑎₁‬‏ واحد، فما المعادلة التي تمثل الحد النوني لهذه المتتابعة؟

٠٥:٣٠

‏نسخة الفيديو النصية

الحد الثالث في متتابعة حسابية هو اثنان والحد السادس ‪11‬‏. إذا كان الحد الأول ‪𝑎‬‏ واحد، فما المعادلة التي تمثل الحد النوني لهذه المتتابعة؟

لكي نحل هذه المسألة، هناك طريقتان يمكننا استخدامهما. وسأعطي مثالًا لكل طريقة منهما. أول شيء يجب وضعه في الاعتبار هو أن هذه متتابعة حسابية. ولدينا قاعدة عامة لإيجاد أي حد عند التعامل مع متتابعة حسابية. وهذه القاعدة العامة هي أن ‪𝑎 𝑛‬‏، الحد ذا الرتبة ‪𝑛‬‏، يساوي الحد الأول زائد ‪𝑛‬‏ ناقص واحد — و‪𝑛‬‏ هو رتبة الحد — مضروبًا في ‪𝑑‬‏، وهو أساس المتتابعة الحسابية.

حسنًا، لدينا الآن هذه القاعدة العامة، هيا نستخدمها لتساعدنا في إيجاد المعادلة التي تمثل الحد ‪𝑛‬‏ لهذه المتتابعة. إذا نظرنا إلى السؤال، فسنجد أن لدينا معلومتين مهمتين جدًا. لدينا قيمة الحد الثالث، وهي اثنان، وقيمة الحد السادس، وهي ‪11‬‏.

إذن ما يمكننا فعله هو استخدام هاتين المعلومتين لكتابة معادلتين آنيتين تساعداننا في إيجاد قيمة ‪𝑎‬‏ و‪𝑑‬‏، الحد الأول وأساس المتتابعة الحسابية. أولًا، إذا استخدمنا حقيقة أن الحد الثالث يساوي اثنين، يمكننا القول إن اثنين يساوي ‪𝑎‬‏ واحد، وهو الحد الأول، زائد ثلاثة ناقص واحد ‪𝑑‬‏، وهذا يساوي ثلاثة ناقص واحد لأن هذه هي رتبة الحد، ثلاثة، ثم ناقص واحد.

لذا يمكننا إعادة كتابة ذلك في صورة اثنان يساوي ‪𝑎‬‏ واحد، أي الحد الأول، زائد اثنين ‪𝑑‬‏، وذلك لأن ثلاثة ناقص واحد يساوي اثنين. ثم يمكننا تسميتها المعادلة الأولى لأنها المعادلة الآنية الأولى لدينا. وباستخدام المعلومة الثانية، الحد السادس يساوي ‪11‬‏، يمكننا القول إن ‪11‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ واحد زائد ستة ناقص واحد في ‪𝑑‬‏. بالتالي، يمكننا كتابة ذلك في صورة ‪11‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ واحد زائد خمسة ‪𝑑‬‏، وذلك لأن لدينا ستة ناقص واحد وهو ما يساوي خمسة. عظيم! ولقد سميناها المعادلة الثانية.

والآن لكي نتمكن من إيجاد الحد ‪𝑛‬‏، علينا معرفة الحد الأول ‪𝑎‬‏ واحد، وأساس المتتابعة الحسابية ‪𝑑‬‏. إذن ما سنفعله هو طرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية لنتخلص من ‪𝑎‬‏ واحد. وبذلك سنحصل على تسعة يساوي ثلاثة ‪𝑑‬‏، وذلك لأنه كان لدينا ‪11‬‏ ناقص اثنين، وهو ما يساوي تسعة، وكان لدينا ‪𝑎‬‏ واحد ناقص ‪𝑎‬‏ واحد، وهو ما يساوي صفرًا، ثم خمسة ‪𝑑‬‏ ناقص اثنين ‪𝑑‬‏، وهو ما يساوي ثلاثة ‪𝑑‬‏.

وإذا قسمنا كلا طرفي المعادلة على ثلاثة، فسنجد أن ثلاثة يساوي ‪𝑑‬‏، إذن أوجدنا قيمة ‪𝑑‬‏. إذن أساس المتتابعة الحسابية هو ثلاثة. والآن سنعوض عن ‪𝑑‬‏ بثلاثة في المعادلة الأولى. يمكنك التعويض عنها في أي من المعادلتين، لكننا سنختار المعادلة الأولى في هذه الحالة لإيجاد قيمة ‪𝑎‬‏ واحد.

وبذلك سنجد أن اثنين يساوي ‪𝑎‬‏ واحد زائد اثنين في ثلاثة. إذن اثنان يساوي ‪𝑎‬‏ واحد زائد ستة. وإذا طرحنا ستة من طرفي المعادلة، فسنحصل على سالب أربعة يساوي ‪𝑎‬‏ واحد. ها قد عرفنا الحد الأول.

إذن يمكننا الآن أن نكتب معادلة الحد ‪𝑛‬‏. يمكننا القول إن ‪𝑎 𝑛‬‏، الحد ذا الرتبة ‪𝑛‬‏، يساوي سالب أربعة، لأنها قيمة ‪𝑎‬‏ واحد، زائد ثلاثة في ‪𝑛‬‏ ناقص واحد، وذلك لأن قيمة ‪𝑑‬‏، أساس المتتابعة الحسابية، تساوي ثلاثة.

يمكننا الآن فك القوس. وبذلك، سنجد أن الحد ‪𝑛‬‏ يساوي سالب أربعة زائد ثلاثة ‪𝑛‬‏ لأنه كان لدينا ثلاثة مضروب في ‪𝑛‬‏، مما يعطينا موجب ثلاثة ‪𝑛‬‏ ثم ناقص ثلاثة، لأنه كان لدينا موجب ثلاثة مضروب في سالب واحد. بالتالي، حصلنا على ‪𝑎 𝑛‬‏، الحد ذو الرتبة ‪𝑛‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑛‬‏ ناقص سبعة، وذلك لأنه كان لدينا سالب أربعة ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي سالب سبعة.

حسنًا، عظيم! إذن فقد توصلنا إلى حل المسألة. لكن ما قلته هو أنني سأريك طريقة أخرى كان يمكنك استخدامها لإيجاد الحل. سنقوم بذلك الآن كي نتحقق من إجابتنا. لكي نستخدم هذه الطريقة، نكتب رتب الحدود: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة. ونكتب أيضًا المعلومات التي لدينا.

نعرف أن الحد الثالث يساوي اثنين، والحد السادس يساوي ‪11‬‏. ويمكننا رؤية أن هناك ثلاث خطوات للانتقال من ثلاثة إلى ستة. من ثلاثة إلى أربعة، ومن أربعة إلى خمسة، ومن خمسة إلى ستة. ونعرف أن الفرق بين اثنين و‪11‬‏ يساوي تسعة، لأن عليك إضافة تسعة إلى اثنين لتحصل على ‪11‬‏.

بالتالي، هذا سيعطينا أساس المتتابعة الحسابية وهو موجب ثلاثة. وإذا كنا نحاول إيجاد الحد ‪𝑛‬‏، نعرف أنه سيكون ‪𝑎 𝑛‬‏، إذن الحد ذو الرتبة ‪𝑛‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑛‬‏. ثم علينا إيجاد الجزء التالي، فنحن لا نعلم ما إذا كان ثلاثة ‪𝑛‬‏ زائد عدد ما، أم ثلاثة ‪𝑛‬‏ ناقص عدد ما.

لإيجاد الجزء التالي من معادلة الحد ‪𝑛‬‏، يمكننا النظر إلى الحد الذي لدينا، وهو الحد الثالث، الذي يساوي اثنين. يمكننا أن نرى أن ثلاثة في ثلاثة يساوي تسعة، وذلك لأنه من المفترض أن نضرب ثلاثة في رتبة الحد، وهي ثلاثة، إذن ثلاثة في ثلاثة، يساوي تسعة. لكننا نعلم أن القيمة الفعلية للحد ستكون اثنين لأننا نعلم أن الحد الثالث يساوي اثنين.

ما الذي علينا فعله كي ننتقل من تسعة إلى اثنين؟ علينا أن نطرح سبعة. علينا استخدام سالب سبعة كي نحصل على الجزء الثاني من معادلة الحد ‪𝑛‬‏. يمكننا القول إن الحد ‪𝑛‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑛‬‏ ناقص سبعة. وإذا تحققنا من نتيجة الطريقة السابقة، فسنجد أننا وصلنا إلى الإجابة نفسها.

عظيم! وما فعلناه هو أننا أوضحنا لك كيفية استخدام الطريقتين. وتحققنا أيضًا من إجابتنا. والآن يمكننا القول إنه إذا كان الحد الثالث في متتابعة حسابية هو اثنين والحد السادس ‪11‬‏ والحد الأول ‪𝑎‬‏ واحد، فإن المعادلة التي تمثل الحد ذا الرتبة ‪𝑛‬‏ لهذه المتتابعة ستكون ثلاثة ‪𝑛‬‏ ناقص سبعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.