فيديو السؤال: إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين في مثلث متساوي الأضلاع الرياضيات

إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا متساوي الأضلاع، طول ضلعه ٤٧٥، فأوجد ﺃﺏ ⋅ ﺃﺟ لأقرب جزء من مائة.

٠٨:٥٠

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا متساوي الأضلاع، طول ضلعه ٤٫٧٥، فأوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃﺏ وﺃﺟ لأقرب جزء من مائة.

في هذا السؤال، لدينا بعض المعطيات عن المثلث ﺃﺏﺟ. نحن نعلم أنه مثلث متساوي الأضلاع. كما نعلم أن طول الضلع في هذا المثلث يساوي ٤٫٧٥. علينا استخدام هذه المعطيات لإيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين الممثلين بضلعي هذا المثلث. أي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃﺏ وﺃﺟ. وعلينا تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة.

أول شيء سنقوم به هو رسم المثلث ﺃﺏﺟ. يخبرنا السؤال أن طول الضلع يساوي ٤٫٧٥. وهذا مثلث متساوي الأضلاع؛ لذلك فإن جميع أطوال الأضلاع متساوية. ونعلم أيضًا أن في المثلث المتساوي الأضلاع، يكون قياس كل زاوية داخلية ٦٠ درجة. وهذه معلومات كافية تتيح لنا عدة طرق لإيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين.

أسهل طريقة لإيجاد ذلك هي استخدام الصيغة التي تتضمن الزاوية المحصورة بين متجهين. وربما نرغب في استخدام هذه الطريقة إذا كنا سنرسم المتجهين ﺃﺏ وﺃﺟ على الشكل. سنزيل الضلع ﺏﺟ من الرسم لتوفير بعض المساحة، ويمكننا أيضًا إضافة المتجهين ﺃﺏ وﺃﺟ. ونلاحظ الآن أن لدينا مقدار المتجه ﺃﺏ؛ لأن طول الضلع لدينا يساوي ٤٫٧٥، ومقدار المتجه ﺃﺟ يساوي أيضًا ٤٫٧٥، وقياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين يساوي ٦٠ درجة. وبالتالي، يشجعنا ذلك على استخدام العلاقة التي تربط بين متجهين والزاوية المحصورة بينهما.

إننا نتذكر أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﻕ وﻉ، فإن جتا 𝜃 يساوي المتجه ﻕ ضرب قياسي المتجه ﻉ مقسومًا على مقدار المتجه ﻕ في مقدار المتجه ﻉ. وقد حصلنا بالفعل على كل هذه المعلومات عن المتجهين ﺃﺏ وﺃﺟ. فقياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين يساوي ٦٠ درجة، ومقدار كل متجه من هذين المتجهين يساوي ٤٫٧٥. وبالتالي، فإن المجهول الوحيد في هذه المعادلة هو حاصل الضرب القياسي بينهما، وهو بالضبط ما نريد إيجاده في السؤال. بالتعويض بهذه القيم في المعادلة، نحصل على جتا ٦٠ درجة يساوي المتجه ﺃﺏ ضرب قياسي ﺃﺟ مقسومًا على ٤٫٧٥ في ٤٫٧٥.

والآن، ليس علينا سوى ضرب الطرفين في القيمة الموجودة في المقام لإيجاد معادلة حاصل الضرب القياسي. بالقيام بذلك، نجد أن المتجه ﺃﺏ ضرب قياسي المتجه ﺃﺟ يساوي جتا ٦٠ درجة مضروبًا في ٤٫٧٥ تربيع. وإذا حسبنا ذلك، وكتبنا الناتج في صورة عدد عشري، فسنحصل على ١١٫٢٨١٢٥. لكن تذكر أن المطلوب منا في السؤال هو تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة؛ أي لأقرب منزلتين عشريتين. إذن، علينا النظر إلى الخانة العشرية الثالثة لتحديد ما إذا كان علينا التقريب لأعلى أم لأسفل. وبما أن هذا العدد أقل من خمسة، فعلينا التقريب لأسفل. ويعطينا ذلك الناتج النهائي ١١٫٢٨.

لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا من خلالها الإجابة عن هذا السؤال. فقد كان بإمكاننا محاولة إيجاد حاصل الضرب القياسي مباشرة. وللقيام بذلك، علينا كتابة المتجهين ﺃﺏ وﺃﺟ بصورة كاملة. سنحتاج إلى كتابة مركباتهما. وهذه الطريقة أصعب بكثير وتتضمن استخدام حساب المثلثات. سنبدأ بالنظر إلى المتجه ﺃﺟ في الشكل. يمكننا أن نلاحظ أن المتجه ﺃﺟ ليس له مركبة رأسية. فهو يتحرك أفقيًّا فقط. وفي الواقع، نحن نعلم إلى أي مسافة يتحرك المتجه أفقيًّا. فهو يتحرك أفقيًّا بمقدار ٤٫٧٥ وحدات. إذن المتجه ﺃﺟ هو المتجه الذي له مركبة أفقية تساوي ٤٫٧٥، ومركبة رأسية تساوي صفرًا.

نريد بعد ذلك إيجاد المتجه ﺃﺏ. وهذا أكثر تعقيدًا؛ لأن المتجه ﺃﺏ له مركبتين؛ أفقية ورأسية. ولكن، يمكننا فعل ذلك برسم المثلث القائم الزاوية التالي. يمكننا بعد ذلك إيجاد أطوال أضلاع هذا المثلث القائم الزاوية باستخدام حساب المثلثات. الطول الرأسي يساوي ٤٫٧٥ في جا ٦٠ درجة، والطول الأفقي يساوي ٤٫٧٥ في جتا ٦٠ درجة. ونظرًا لأن المتجه ﺃﺏ له مركبة أفقية موجبة ومركبة رأسية موجبة، فهذا يعطينا المركبتين الأفقية والرأسية للمتجه ﺃﺏ. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن المتجه ﺃﺏ هو المتجه الذي له مركبة أفقية تساوي ٤٫٧٥ في جتا ٦٠ درجة، ومركبة رأسية تساوي ٤٫٧٥ في جا ٦٠ درجة.

والآن، بعد أن أوجدنا مركبات المتجهين ﺃﺏ وﺃﺟ، يمكننا أن نحسب مباشرة حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. تذكر أنه عند حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين، علينا ضرب المركبات المتناظرة ثم جمع كل النواتج معًا. بضرب المركبة الأولى لكلا المتجهين معًا، نحصل على ٤٫٧٥ جتا ٦٠ درجة مضروبًا في ٤٫٧٥. ثم نضيف إليه حاصل ضرب ثاني مركبتين للمتجهين لدينا. وهو يساوي ٤٫٧٥ جا ٦٠ درجة مضروبًا في صفر. ونلاحظ هنا أن الحد الثاني مضروب في العامل صفر، وبالتالي فهو يساوي صفرًا، أي أنه يمكننا تبسيط ذلك إلى ٤٫٧٥ تربيع في جتا ٦٠ درجة. وإذا حسبنا هذه القيمة لأقرب جزء من مائة، فسنجد أنها تساوي ١١٫٢٨.

وبذلك، نكون قد استطعنا توضيح طريقتين مختلفتين لإيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃﺏ وﺃﺟ؛ حيث ﺃﺏﺟ مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ٤٫٧٥. وبالتقريب لأقرب جزء من مائة، نحصل على ١١٫٢٨.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.