فيديو: المشتقات الثانية للمعادلات البارامترية

‏نسخة الفيديو النصية

المشتقات الثانية للمعادلات البارامترية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد المشتقات الثانية للمعادلات البارامترية بالنسبة إلى ﺱ، وكيف نوجد المشتقات ذات الرتب العليا للمعادلات البارامترية باستخدام قاعدة السلسلة. وسنتناول أيضًا مجموعة متنوعة من أمثلة واستخدامات المشتقات الثانية للمعادلات البارامترية. لنبدأ إذن بزوجين من المعادلات البارامترية. لنفترض أن ﺱ يساوي دالة ما ﺩﻥ، وﺹ يساوي دالة أخرى ﺭﻥ. ونحن نعرف بالفعل كيف نوجد تعبيرًا لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ، بافتراض أن ﺩﻥ وﺭﻥ قابلتان للاشتقاق وﺩﺱ على ﺩﻥ لا يساوي صفرًا.

رأينا أنه بتطبيق قاعدة السلسلة ونظرية الدالة العكسية على المعادلتين البارامتريتين ﺱ يساوي ﺩﻥ، وﺹ يساوي ﺭﻥ، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ بشرط ﺩﺱ على ﺩﻥ لا يساوي صفرًا. لكننا نريد إيجاد تعبير للمشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. بالطبع، المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ هي مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. عادة، سنشتق هذا مباشرة. لكن توجد مشكلة صغيرة في هذه الحالة. نلاحظ من الصيغة التي لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ أن البسط ﺩﺹ على ﺩﻥ دالة في ﻥ، والمقام ﺩﺱ على ﺩﻥ أيضًا دالة في ﻥ. إذن، في هذه الحالة، ﺩﺹ على ﺩﺱ سيكون دالة في ﻥ.

لذا، عندما نحاول إيجاد قيمة ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع عن طريق اشتقاق ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ، فستكون لدينا مشكلة. نحاول اشتقاق دالة لـ ﻥ بالنسبة إلى ﺱ. ولكن، يمكننا تجاوز هذه المسألة من خلال تطبيق قاعدة السلسلة. تذكر أن قاعدة السلسلة تخبرنا إذا كانت ﻕ دالة في ﻥ وﻥ دالة في ﺱ، يمكننا حساب ﺩﻕ على ﺩﺱ عن طريق حساب ﺩﻕ على ﺩﻥ وضرب ذلك في ﺩﻥ على ﺩﺱ. في حالتنا هذه، ﻕ تساوي التفاضل ﺩﺹ على ﺩﺱ. إذن، بتطبيق قاعدة السلسلة، نجد أن ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﻥ مضروبًا في ﺩﻥ على ﺩﺱ.

ونعرف الآن أن ﺩﺹ على ﺩﺱ هي دالة في ﻥ. ومن ثم، يمكننا اشتقاق ذلك بالنسبة إلى ﻥ باستخدام إحدى قواعد الاشتقاق. لكن، ليس لدينا ﻥ دالة في ﺱ. بدلًا من ذلك، لدينا ﺱ دالة في ﻥ. لكننا في الواقع تعلمنا كيف نتغلب على هذه المشكلة من قبل عندما أوجدنا ﺩﺹ على ﺩﺱ باستخدام نظرية الدالة العكسية وقاعدة السلسلة. عندما كنا بصدد إيجاد هذا التعبير، بدلًا من إيجاد ﺩﻥ على ﺩﺱ مباشرة، استخدمنا نظرية الدالة العكسية لإيجاد ﺩﺱ على ﺩﻥ. يمكننا فعل ذلك في هذه الحالة أيضًا. نعتبر أن ﻥ هي الدالة العكسية لـ ﺩﺱ. بعد ذلك، يمكننا إيجاد تعبير لـ ﺩﻥ على ﺩﺱ باستخدام نظرية الدالة العكسية. فنجد أن ﺩﻥ على ﺩﺱ يساوي واحدًا مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ بشرط أن ﺩﺱ على ﺩﻥ لا يساوي صفرًا.

والآن، كل ما علينا فعله هو التعويض بذلك في المعادلة. وهذا يعطينا صيغة لإيجاد ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع للمعادلات البارامترية على هذه الصورة. فنجد أن ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﻥ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ بشرط ﺩﺱ على ﺩﻥ لا يساوي صفرًا. نحن الآن جاهزون لبدء استخدام هذه الصيغة لإيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ للمعادلات البارامترية. لكن يجدر التكرار هنا أننا ما زلنا سنحتاج إلى استخدام صيغة إيجاد المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ في المعادلات البارامترية؛ لأن هذه الصيغة تستخدم مباشرة في صيغة المشتقة الثانية.

إذا كان ﺱ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع زائد واحد وﺹ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع زائد خمسة ﻥ، فأوجد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، لدينا زوجان من المعادلات البارامترية. وعلينا استخدامهما لإيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. ونعرف أن لدينا صيغة لإيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ للمعادلات البارامترية. لكن لاستخدام هذه الصيغة، علينا التحقق من أن الدالة ﺱ بدلالة ﻥ، والدالة ﺹ بدلالة ﻥ قابلتان للاشتقاق. في هذه الحالة، كلتاهما كثيرتا حدود، لذا فإننا في الواقع نعرف بالفعل أنهما قابلتان للاشتقاق. لذا دعونا نتذكر هذه الصيغة. لدينا ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﻥ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ. وهذا لا يتحقق إلا إذا كان ﺩﺱ على ﺩﻥ لا يساوي صفرًا.

لكن لاستخدام هذه الصيغة، نلاحظ أنه علينا أولًا إيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ. لكن بالطبع، لدينا ﺱ معطاة بدلالة ﻥ، وﺹ بدلالة ﻥ. إذن، لإيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ، سنحتاج إلى استخدام صيغة أخرى. مرة أخرى، في زوج من المعادلات البارامترية، ﺱ معطاة بدلالة ﻥ وﺹ معطاة بدلالة ﻥ، نعلم أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ بشرط ﺩﺱ على ﺩﻥ لا يساوي صفرًا. إذن، لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ، علينا أولًا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﻥ وﺩﺱ على ﺩﻥ.

لنبدأ بإيجاد ﺩﺱ على ﺩﻥ. أولًا، نعرف أن ﺱ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع زائد واحد. إذن، ﺩﺱ على ﺩﻥ سيساوي مشتقة ثلاثة ﻥ تربيع زائد واحد بالنسبة إلى ﻥ. وبالطبع، بما أن هذه كثيرة حدود، يمكننا حساب هذا حدًّا تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نريد الضرب في الأس لـ ﻥ ثم نطرح من هذا الأس واحدًا. هذا يعطينا ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي ستة ﻥ. وبالطبع، نعلم أن الثابت واحدًا لا يتغير مع تغير ﻥ. لذلك، فإن معدل تغيره بالنسبة إلى ﻥ يساوي صفرًا. إذن، لدينا ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي ستة ﻥ.

علينا الآن إيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﻥ. نعرف أن ﺹ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع زائد خمسة ﻥ. هذا يعني أن ﺩﺹ على ﺩﻥ سيكون مشتقة ثلاثة ﻥ تربيع زائد خمسة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. مرة أخرى، يمكننا إجراء هذا حدًّا تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. وبالطبع، عندما نفعل هذا، نحصل على ستة ﻥ زائد خمسة. وبذلك نكون قد أوضحنا أن ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي ستة ﻥ زائد خمسة. أصبح لدينا الآن تعبير لكل من ﺩﺱ على ﺩﻥ وﺩﺹ على ﺩﻥ. إذن، يمكننا استخدامهما في هذه الصيغة لإيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ. وبالتعويض في التعبير عن ﺩﺹ على ﺩﻥ وﺩﺱ على ﺩﻥ، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ستة ﻥ زائد خمسة مقسومًا على ستة ﻥ. وبالطبع، نعلم أن هذا لا يسري إذا كانت ﺩﺱ على ﺩﻥ تساوي صفرًا.

إذن، لن يسري ذلك عندما يكون المقام ستة ﻥ يساوي صفرًا. وبالطبع، ستة ﻥ يساوي صفرًا يعني أن ﻥ يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، نعلم أن صيغة ﺩﺹ على ﺩﺱ تسري على جميع قيم ﻥ إلا إذا كان ﻥ يساوي صفرًا. لكن في هذا السؤال، لسنا بحاجة إلى إيجاد قيم ﻥ التي ستكون عندها المشتقة الثانية سارية. ولذا، لا نحتاج إلى تضمين ذلك. لكن يجدر بنا التفكير فيه. تذكر أننا وجدنا أن التعبير ﺩﺹ على ﺩﺱ هذا يساعدنا على إيجاد تعبير لـ ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع.

يمكننا أن نلاحظ في هذا التعبير أن علينا إيجاد مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﻥ. لذا، سيكون علينا اشتقاق تعبير ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﻥ. وباستخدام هذا، نحصل على مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﻥ تساوي مشتقة ستة ﻥ زائد خمسة الكل مقسوم على ستة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ.

وبما أن هذا هو خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق، فقد نميل إلى استخدام قاعدة خارج القسمة هنا. لكن تذكر أن قيمة ﻥ لا يمكن أن تساوي صفرًا. إذن، في الحقيقة، يمكننا قسمة كلا الحدين في البسط على ستة ﻥ. إذن، بقسمة كل حد في البسط على حدة على المقام، نحصل على مشتقة ستة ﻥ مقسوم على ستة ﻥ زائد خمسة مقسوم على ستة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. مرة أخرى، نعلم أن ﻥ لا يساوي صفرًا. لذا، يمكننا تبسيط الكسر الأول لنحصل على واحد. وبما أن علينا اشتقاق ذلك، فقد يكون من الأسهل إعادة كتابة ﻥ من المقام في البسط باستخدام قوانين الأسس. بدلًا من القسمة على ﻥ، سنضرب في ﻥ أس سالب واحد.

يمكننا الآن إيجاد قيمة هذه المشتقة حدًّا تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. أولًا، مشتقة الثابت واحد بالنسبة إلى ﻥ تساوي صفرًا. بعد ذلك، مشتقة خمسة في ﻥ أس سالب واحد مقسوم على ستة تساوي سالب خمسة ﻥ أس سالب اثنين مقسومًا على ستة. ومرة أخرى، سنستخدم قوانين الأسس لتبسيط هذا التعبير. بدلًا من الضرب في ﻥ أس سالب اثنين، سنقسم على ﻥ تربيع. وهكذا نكون قد أوجدنا مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﻥ. لدينا سالب خمسة مقسوم على ستة ﻥ تربيع.

نحن الآن جاهزون لاستخدام هذا لإيجاد تعبير لـ ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع. لقد وجدنا بالفعل تعبيرًا لكل من بسط هذه الصيغة ومقامها. البسط، وهو مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﻥ، يساوي سالب خمسة مقسومًا على ستة ﻥ تربيع. والمقام ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي ستة ﻥ. بالتعويض بهذين التعبيرين في الصيغة، نحصل على ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي سالب خمسة مقسومًا على ستة ﻥ تربيع الكل مقسوم على ستة ﻥ. ومرة أخرى، نعلم أن هذا لن يكون ساريًا عند ﻥ يساوي صفرًا. ويمكننا تبسيط هذا التعبير. بدلًا من القسمة على ستة ﻥ، يمكننا الضرب في مقلوب ستة ﻥ. إذن، باستخدام هذه الطريقة، نحصل على ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي سالب خمسة مقسومًا على ستة ﻥ تربيع الكل مضروب في واحد على ستة ﻥ.

والآن يمكننا تبسيط هذا التعبير. أولًا، في المقام، يمكن تبسيط ستة مضروب في ستة لنحصل على ٣٦. وباستخدام قوانين الأسس، نبسط ﻥ تربيع في ﻥ لنحصل على ﻥ تكعيب. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. إذا كان ﺱ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع زائد واحد وﺹ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع زائد خمسة ﻥ، أمكننا إثبات أن ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي سالب خمسة مقسومًا على ستة ﻥ تكعيب. قد تكون هذه الصيغة مفيدة في مساعدتنا في إيجاد تقعر المنحنيات المعرفة بالمعادلات البارامترية كما سنرى في المثال التالي.

انظر المنحنى المعرف بارامتريًّا ﺱ يساوي جتا 𝜃 وﺹ يساوي جا 𝜃. حدد إذا كان هذا المنحنى مقعرًا لأعلى، أو لأسفل، أو لا هذا ولا ذاك عند 𝜃 يساوي 𝜋 على ستة.

هنا مطلوب منا إيجاد تقعر المنحنى. كما نعلم أنه للتحقق من تقعر المنحنى، سنحتاج إلى إيجاد تعبير للمشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. نعلم أنه عندما تكون المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ أكبر من صفر، فإن ميل خطوط المماس يتزايد. هذا يعني أن خطوط المماس هذه ستكون أسفل المنحنى، وبذلك يكون المنحنى مقعرًا لأعلى على هذه الفترة. ونعرف أيضًا أنه عندما تكون قيمة المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ أقل من صفر، فإن ميل خطوط المماس يتناقص. هذا يعني أن خطوط المماس كلها تقع أعلى المنحنى، ومن ثم سيكون المنحنى مقعرًا لأسفل.

ومن ثم، فإن إحدى طرق تحديد تقعر المنحنى هي إيجاد تعبير لـ ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع. ويمكننا ملاحظة أن ﺱ وﺹ هما زوجان من المعادلات البارامترية. إذن، لإيجاد ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع، سيكون علينا أن نتذكر صيغة إيجاد هذه المعادلات البارامترية. لدينا ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى 𝜃 مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩ𝜃. ونعلم أن هذه الصيغة لن تكون سارية عندما يكون ﺩﺱ على ﺩ𝜃 يساوي صفرًا.

ويمكننا أن نرى أنه لنستخدم هذه الصيغة، سيكون علينا أولًا إيجاد تعبير عن ﺩﺹ على ﺩﺱ. مرة أخرى، يمكننا فعل ذلك باستخدام الصيغ التي تتضمن منحنيات بارامترية. نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩ𝜃 مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩ𝜃. ومرة أخرى، هذه الصيغة لن تكون سارية إلا إذا كان ﺩﺱ على ﺩ𝜃 لا يساوي صفرًا. والآن يمكننا ملاحظة أن لدينا ﺹ بدلالة 𝜃 وﺱ بدلالة 𝜃. لذا يمكننا إيجاد تعبيرين لـ ﺩﺹ على ﺩ𝜃، وﺩﺱ على ﺩ𝜃.

لنبدأ بإيجاد ﺩﺱ على ﺩ𝜃. أولًا، نعلم من المعطيات أن ﺱ يساوي جتا 𝜃. إذن ﺩﺱ على ﺩ𝜃 سيكون مشتقة جتا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. وهذا ناتج مشتقة دالة مثلثية قياسية. نعرف أن هذا يساوي سالب جا 𝜃. بذلك نكون قد أوضحنا أن ﺩﺱ على ﺩ𝜃 يساوي سالب جا 𝜃. يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد ﺩﺹ على ﺩ𝜃. علمنا من المعطيات أن ﺹ هو جا 𝜃، إذن ﺩﺹ على ﺩ𝜃 سيكون مشتقة جا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. ونعرف أن هذا يساوي جتا 𝜃. يمكننا الآن التعويض بهاتين القيمتين في تعبير ﺩﺹ على ﺩﺱ. وهذا يعطينا أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي جتا 𝜃 مقسومًا على سالب جا 𝜃. ويمكننا تبسيط ذلك باستخدام المتطابقات المثلثية لنحصل على سالب ظتا 𝜃.

وتذكر أننا أوجدنا ذلك لإيجاد تعبير لـ ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع. في هذا البسط، علينا الآن اشتقاق ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى 𝜃. لذا، علينا اشتقاق سالب ظتا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. ومرة أخرى، هذا ناتج مشتقة دالة مثلثية قياسية علينا أن نحفظه عن ظهر قلب. مشتقة ظتا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃 تساوي سالب قتا تربيع 𝜃.

وهذا يعني أن سالب ظتا 𝜃 يشتق ليعطينا قتا تربيع 𝜃. والآن نحن جاهزون لإيجاد تعبير لـ ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع. لقد أوجدنا بالفعل تعبيرًا لمشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى 𝜃، ووجدنا بالفعل تعبيرًا لمشتقة ﺱ بالنسبة إلى 𝜃. إذن، بالتعويض بهذين التعبيرين، نحصل على ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي قتا تربيع 𝜃 مقسومًا على سالب جا 𝜃. وتذكر أنه باستخدام المتطابقات المثلثية، القسمة على جا 𝜃 تساوي الضرب في قتا 𝜃. لذا، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة سالب قتا تكعيب 𝜃.

بذلك نكون قد وجدنا تعبيرًا لـ ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع. كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة هذا عند 𝜃 يساوي 𝜋 على ستة. بالتعويض بـ 𝜃 يساوي 𝜋 على ستة، نحصل على ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع عند 𝜋 على ستة يساوي سالب قتا تكعيب 𝜋 على ستة. ويمكننا استخدام حقيقة أن قتا 𝜃 يساوي واحدًا مقسومًا على جا 𝜃 لتسهيل الأمر. بإجراء ذلك، نحصل على سالب واحد مقسوم على جا تكعيب لـ 𝜋 على ستة. وفي الواقع، نعلم أن جا 𝜋 على ستة يساوي نصفًا. ومن ثم، يمكننا تبسيط مقام الكسر ليصبح لدينا نصف تكعيب. وبالطبع، نصف تكعيب يساوي ثمنًا، وسالب واحد مقسومًا على ثمن يساوي سالب ثمانية.

وبذلك نكون قد أوجدنا ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع عند 𝜃 يساوي 𝜋 على ستة يساوي سالب ثمانية. وبما أن هذه قيمة سالبة، يمكننا استنتاج أن المنحنى يجب أن يكون مقعرًا لأسفل عند قيمة 𝜃 هذه. إذن بإمكاننا التوضيح أنه عندما تكون 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة، فإن المنحنى يكون مقعرًا لأسفل.

الآن لنتناول ماذا يحدث عندما نحاول إيجاد مشتقات ذات رتبة أعلى للمعادلات البارامترية. لنبدأ بـ ﺩ ثلاثة ﺹ على ﺩﺱ تكعيب. يمكننا القول إن هذه القيمة تساوي مشتقة ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. وبالطبع، أوجدنا بالفعل تعبيرًا لـ ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع لزوجين من المعادلات البارامترية. والآن لدينا نفس المشكلة التي واجهناها من قبل. البسط هو دالة في ﻥ، والمقام هو دالة في ﻥ. إذن ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع دالة في ﻥ، وهو ما يعني أنه لإيجاد قيمة هذه المشتقة، سنحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة. هذا يعطينا ﺩ ثلاثة ﺹ على ﺩﺱ تكعيب يساوي مشتقة ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع بالنسبة إلى ﻥ مضروبًا في ﺩﻥ على ﺩﺱ. وكما فعلنا من قبل، يمكننا تطبيق نظرية الدالة العكسية لإعادة كتابة ﺩﻥ على ﺩﺱ على صورة واحد مقسوم على ﺩﺱ على ﺩﻥ.

وجدير بالذكر أنه بما أننا استخدمنا صيغة ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع، فنحن نعلم بالفعل أن ﺩﺱ على ﺩﻥ لا يساوي صفرًا. وبتطبيق ذلك، يصبح لدينا ﺩ ثلاثة ﺹ على ﺩﺱ تكعيب يساوي مشتقة ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع بالنسبة إلى ﻥ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ. والآن، بدأنا نلاحظ أن ثمة نمطًا يظهر. في التعبير ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع، في البسط، لدينا مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﻥ. وفي المقام، لدينا ﺩﺱ على ﺩﻥ. وفي التعبير ﺩ ثلاثة ﺹ على ﺩﺱ تكعيب، لا يزال لدينا ﺩﺱ على ﺩﻥ في المقام. ولكن في البسط، لدينا المشتقة الثانية بدلًا من المشتقة الأولى. وفي الواقع، يستمر هذا النمط للمشتقات ذات الرتب العليا. فنحصل على ﺩ ن ﺹ على ﺩﺱ ن يساوي مشتقة ﺩ ن ناقص واحد ﺹ على ﺩﺱ ن ناقص واحد بالنسبة إلى ﻥ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ.

وكما فعلنا من قبل، علينا أن نكون حريصين إذا ما كان ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك استخدام هذه الصيغة لإيجاد المشتقات ذات الرتب العليا للمعادلات البارامترية. سنرى كيف نفعل ذلك في المثال الأخير.

إذا كان ﺱ يساوي أربعة ﻥ زائد ثلاثة وﺹ يساوي اثنين ﻫ أس ﻥ ناقص ﻥ تكعيب، فأوجد ﺩ ثلاثة ﺹ على ﺩﺱ تكعيب.

لدينا زوجان من المعادلات البارامترية، والمطلوب إيجاد المشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. علينا أولًا أن نتذكر صيغة إيجاد المشتقات ذات الرتب العليا لأزواج المعادلات البارامترية. نتذكر الصيغة التالية، وهي سارية طالما أن ﺩﺱ على ﺩﻥ لا يساوي صفرًا. نريد إيجاد المشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. ولذا، نريد أن تكون قيمة ن تساوي ثلاثة. ومن ثم، يمكننا التعويض فحسب بـ ن يساوي ثلاثة في هذا التعبير.

ولكي نستخدم هذا، علينا إيجاد تعبير لـ ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع. ولدينا أيضًا صيغة لإيجاد ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع. لكن لاستخدام هذه الصيغة، نحتاج أيضًا إلى تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ. ولحسن الحظ، لدينا أيضًا صيغة لإيجاد هذا لمعادلات بارامترية قابلة للاشتقاق. إذن لإيجاد المشتقة الثالثة، علينا أولًا إيجاد تعبيرين لـ ﺩﺹ على ﺩﻥ وﺩﺱ على ﺩﻥ. لنبدأ بـ ﺩﺱ على ﺩﻥ. تلك مشتقة أربعة ﻥ زائد ثلاثة بالنسبة إلى ﻥ. هذه دالة خطية، ومن ثم فإن مشتقتها ستكون معامل ﻥ الذي يساوي أربعة. علينا أيضًا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﻥ. وهي مشتقة اثنين ﻫ أس ﻥ ناقص ﻥ تكعيب بالنسبة إلى ﻥ. ويمكننا إجراء هذا حدًّا تلو الآخر.

أولًا، مشتقة الدالة الأسية تساوي نفسها. ومن ثم يشتق الحد الأول لنحصل على اثنين ﻫ أس ﻥ. بعد ذلك، يمكننا اشتقاق سالب ﻥ تكعيب باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. فنحصل على سالب ثلاثة ﻥ تربيع. يمكننا التعويض بهذه التعبيرات في صيغة ﺩﺹ على ﺩﺱ. فنحصل على اثنين ﻫ أس ﻥ ناقص ثلاثة ﻥ تربيع الكل مقسوم على أربعة. يمكننا بعد ذلك اشتقاق هذا بالنسبة إلى ﻥ لنحصل على ﺩ على ﺩﻥ لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﻫ أس ﻥ ناقص ستة ﻥ الكل مقسوم على أربعة. ويمكننا حذف العامل المشترك اثنين.

لإيجاد ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع، علينا قسمة ذلك على ﺩﺱ على ﺩﻥ، وهو ما يساوي أربعة. هذا يعطينا ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي ﻫ أس ﻥ ناقص ثلاثة ﻥ الكل مقسوم على ثمانية. لإيجاد ﺩ ثلاثة ﺹ على ﺩﺱ تكعيب، علينا اشتقاق ذلك بالنسبة إلى ﻥ. وإذا فعلنا ذلك، فسنحصل على ﻫ أس ﻥ ناقص ثلاثة الكل مقسوم على ثمانية. وأخيرًا، في صيغة ﺩ ثلاثة ﺹ على ﺩﺱ تكعيب، علينا قسمة ذلك على ﺩﺱ على ﺩﻥ. لذلك نقسم الطرفين على أربعة، فنحصل على ﻫ أس ﻥ ناقص ثلاثة الكل مقسوم على ٣٢.

لنراجع الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا، استطعنا إيجاد تعبير لـ ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع لمنحنى معرف من خلال زوجين من المعادلات البارامترية. ورأينا أن هذا مفيد لمساعدتنا في تحديد تقعر منحنى معرف بزوجين من المعادلات البارامترية. وأخيرًا، رأينا أيضًا كيف يمكننا توسيع نطاق هذا التعريف ليشمل المشتقات ذات الرتب العليا في أزواج المعادلات البارامترية.