نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نقارن الأعداد الحقيقية ونرتبها.
المجموعة المرتبة هي المجموعة التي يمكننا فيها مقارنة أي عنصرين من المجموعة؛ أي ﺃ وﺏ، بواحد من ثلاثة نواتج محتملة. إما أن ﺃ وﺏ متساويان، وإما أن رتبة ﺃ أكبر من رتبة ﺏ، وإما أن رتبة ﺏ أكبر من رتبة ﺃ.
دعونا نبدأ بتذكر كيفية المقارنة بين عددين حقيقيين على خط الأعداد. إذا كان ﺃ وﺏ عددين حقيقيين ممثلين بالنقطتين ﺃ وﺏ على خط الأعداد، كما هو موضح على الشاشة، وبما أن ﺏ تقع على يمين ﺃ، وبما أن هذا الاتجاه هو الاتجاه الموجب لخط الأعداد، فيمكننا القول إن ﺏ أكبر من ﺃ. ولاحظ أن هذا يماثل قولنا إن ﺃ أقل من ﺏ. ويمكننا أن نعكس مكان النقطتين، كما هو موضح على خط الأعداد الثاني. في هذه الحالة تصبح ﺃ أكبر من ﺏ أو ﺏ أقل من ﺃ. الاحتمال الثالث هو أن تقع ﺃ وﺏ عند النقطة نفسها على خط الأعداد. في هذه الحالة يصبح لدينا ﺃ يساوي ﺏ.
سنتناول الآن مثالين علينا فيهما أن نقارن بين عددين حقيقيين معطيين في صورتين مختلفتين.
املأ الفراغ باستخدام أقل من أو يساوي أو أكبر من. سبعة على ٣٠ (فراغ) ٤٫٩.
في هذا السؤال علينا أن نقرر إذا ما كان الكسر سبعة على ٣٠ أقل من أو يساوي أو أكبر من ٤٫٩. وإحدى طرق فعل ذلك تناول موضع كل من العددين الحقيقيين على خط الأعداد. دعونا نتناول خط الأعداد بين صفر وخمسة كما هو موضح. بما أن ٤٫٩ مكتوب بالفعل في الصورة العشرية، فيمكننا وضعه على خط الأعداد بين العددين الصحيحين أربعة وخمسة. وفي الكسر سبعة على ٣٠، المقام؛ أي ٣٠، أكبر من البسط؛ أي سبعة. وهذا يعني أن سبعة على ٣٠ أقل من واحد.
إذن يمكننا إضافة سبعة على ٣٠ إلى خط الأعداد كما هو موضح. وسيقع بين صفر وواحد. وبما أن سبعة على ٣٠ يقع على يسار ٤٫٩، يمكننا القول إنه أقل من ٤٫٩. ونعبر عن ذلك بكتابة رمز «أقل من» بين سبعة على ٣٠ و٤٫٩. ويمكننا استخدام هذه الطريقة للمقارنة بين أي عددين حقيقيين باستخدام خط الأعداد.
والآن دعونا نتناول مثالًا آخر من هذا النوع.
املأ الفراغ باستخدام أقل من أو يساوي أو أكبر من. ٧٫٢ (فراغ) القيمة المطلقة لسالب ٤٧ على ٣٨.
دعونا نبدأ بتذكر أنه يمكننا ترتيب الأعداد بناء على موضعها على خط الأعداد. وإحدى طرق فعل ذلك كتابة كل عدد في صورته العشرية. ونلاحظ أن ٧٫٢ مكتوب بالفعل في الصورة العشرية، ونعلم أنه يقع بين العددين الصحيحين سبعة وثمانية كما هو موضح. بعد ذلك، لعلنا نتذكر أن إيجاد القيمة المطلقة يحذف الإشارة السالبة للعدد. وهذا يعني أن القيمة المطلقة لسالب ٤٧ على ٣٨ هي ٤٧ على ٣٨. ويمكننا إيجاد قيمة هذا الكسر باستخدام الآلة الحاسبة. ولكن هذا ليس ضروريًّا. بملاحظة أن العدد ٣٨ يتكرر في العدد ٤٧ مرة واحدة ويتبقى تسعة، يمكن إعادة كتابة ٤٧ على ٣٨ على صورة واحد زائد تسعة على ٣٨. وبما أن تسعة على ٣٨ يقع بين صفر وواحد، فلا بد أن ٤٧ على ٣٨ يقع بين العددين الصحيحين واحد واثنين. وعليه لا بد أن ينطبق ذلك أيضًا على القيمة المطلقة لسالب ٤٧ على ٣٨.
إذن يمكننا استنتاج أنه بما أن ٧٫٢ يقع على يمين القيمة المطلقة لسالب ٤٧ على ٣٨، فلا بد أنه أكبر منها. إذن الإجابة الصحيحة هي: «أكبر من». ٧٫٢ أكبر من القيمة المطلقة لسالب ٤٧ على ٣٨.
قبل الانتقال إلى المثال التالي يمكننا استخدام تعريف المقارنة بين الأعداد الحقيقية هذا لتعريف بعض المجموعات الجزئية المفيدة للأعداد الحقيقية. أولًا مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الموجبة هي المجموعة المكونة من جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من الصفر. ويمكن التعبير عن هذا التعريف رياضيًّا باستخدام الصيغة المعروضة على الشاشة. ومجموعة جميع الأعداد الحقيقية السالبة هي المجموعة المكونة من جميع الأعداد الحقيقية الأقل من الصفر، ويمكن أيضًا التعبير عنها بصيغة مماثلة.
جدير بالذكر أن الصفر لا ينتمي إلى أي من هاتين المجموعتين؛ وذلك لأننا لا نعتبر الصفر عددًا موجبًا أو سالبًا. ويمكننا تضمين الصفر من خلال تناول الأعداد غير السالبة والأعداد غير الموجبة كالآتي. إذن مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة هي المجموعة المكونة من جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة. وتساوي اتحاد المجموعة المكونة من جميع الأعداد الحقيقية الموجبة والمجموعة التي تحتوي على الصفر. وبالمثل، مجموعة الأعداد الحقيقية غير الموجبة هي المجموعة المكونة من جميع الأعداد الحقيقية غير الموجبة. وتساوي اتحاد المجموعة المكونة من جميع الأعداد الحقيقية السالبة والمجموعة التي تحتوي على الصفر.
إذن يمكننا استنتاج أن جميع الأعداد الحقيقية؛ إما أن تكون موجبة، وإما أن تكون سالبة، وإما أنها تساوي صفرًا. وعلى خط الأعداد، تقع الأعداد السالبة على يسار الصفر، وتقع الأعداد الموجبة على يمين الصفر.
والآن سنتناول مثالًا علينا فيه تحديد إذا ما كان العدد الحقيقي المعطى موجبًا أم سالبًا.
لأي عدد حقيقي ﺱ، حدد إذا ما كان ﺱ موجبًا أم سالبًا في كل من الحالات الآتية. أولًا: ﺱ يساوي سالب سبعة، ثانيًا: ﺱ أكبر من اثنين، ثالثًا: سالب ثلاثة أكبر من ﺱ.
سنبدأ بتذكر أن الأعداد الموجبة تقع على يمين الصفر على خط الأعداد، بينما تقع الأعداد السالبة على يسار الصفر. ومن ثم يمكننا تحديد إشارة ﺱ في كل حالة عن طريق تناول مواضع ﺱ الممكنة على خط الأعداد.
في الجزء الأول من السؤال، نعلم من المعطيات أن ﺱ يساوي سالب سبعة. ونعلم أن سالب سبعة يقع على يسار الصفر، كما هو موضح. وعليه سيمكننا استنتاج أنه عندما ﺱ يساوي سالب سبعة، فإن ﺱ يكون سالبًا. وفي الجزء الثاني من السؤال، نعلم من المعطيات أن ﺱ أكبر من اثنين. وهذا يعني أن ﺱ يقع على يمين العدد اثنين على خط الأعداد. وبما أن ﺱ يقع على يمين العدد اثنين، ويقع العدد اثنان على يمين الصفر، فيمكننا استنتاج أن ﺱ يقع على يمين الصفر، ومن ثم يكون موجبًا.
في الجزء الأخير من السؤال، لدينا سالب ثلاثة أكبر من ﺱ، وهو ما يمكن قراءته أيضًا على صورة ﺱ أقل من سالب ثلاثة. وبتحديد سالب ثلاثة على خط الأعداد، نعلم أن ﺱ يقع على يسار هذا الخط. وبما أن جميع القيم على يسار سالب ثلاثة سالبة، يمكننا استنتاج أنه إذا كان سالب ثلاثة أكبر من ﺱ، فسيكون ﺱ سالبًا.
والآن بما أننا نستطيع المقارنة بين أي عددين حقيقيين، يمكننا استخدام ذلك لترتيب أي قائمة أعداد حقيقية. ويمكن فعل ذلك بإحدى طريقتين: إما من الأصغر إلى الأكبر، وهو ما يسمى بالترتيب التصاعدي، وإما من الأكبر إلى الأصغر، وهو ما يسمى بالترتيب التنازلي. يقال إن قائمة الأعداد الحقيقية ﺃ واحدًا وﺃ اثنين وهكذا، حتى ﺃﻥ مرتبة ترتيبًا تصاعديًّا، إذا كان ﺃ واحد أقل من ﺃ اثنين، وهكذا، أقل من ﺃﻥ. بعبارة أخرى: إذا كانت الأعداد تكبر. وبالمثل، يقال إن قائمة الأعداد الحقيقية ﺃ واحدًا وﺃ اثنين وهكذا حتى ﺃﻥ؛ مرتبة ترتيبًا تنازليًّا، إذا كان ﺃ واحد أكبر من ﺃ اثنين، وهكذا أكبر من ﺃﻥ. في هذه الحالة، فإن الأعداد تقل.
في المثال الآتي، علينا ترتيب مجموعة من الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية. لمساعدتنا في ترتيب أي أعداد غير نسبية، علينا أن نتذكر خاصيتين أساسيتين. أولًا: إذا كان ﺃ أكبر من ﺏ، وﺃ وﺏ أكبر من أو يساويان واحدًا، فإن ﺃ تربيع أكبر من ﺏ تربيع. ثانيًا: إذا كان ﺃ وﺏ عددين موجبين؛ حيث ﺃ أكبر من ﺏ، فإن الجذر التربيعي لـ ﺃ أكبر من الجذر التربيعي لـ ﺏ. والآن سنتناول مثالًا علينا فيه استخدام هاتين الخاصيتين لترتيب قائمة أعداد حقيقية.
بالأخذ في الاعتبار الأعداد المربعة، رتب الجذر التربيعي لـ ١٩ والجذر التربيعي لـ ٢٤ والجذر التربيعي لـ ٢٨ وأربعة والجذر التربيعي لـ ١٧ وخمسة و٤٫٥ من الأصغر إلى الأكبر.
في هذا السؤال لدينا مزيج من الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية التي علينا ترتيبها من الأصغر إلى الأكبر. ويسمى أيضًا الترتيب التصاعدي. سنبدأ بترتيب الأعداد النسبية الثلاثة. أربعة أقل من ٤٫٥، وهو أقل بدوره من خمسة. وبما أن ١٧ و١٩ و٢٤ و٢٨ ليست أعدادًا مربعة، فإن الجذور التربيعية لهذه الأعداد ستعطينا أعدادًا غير نسبية.
بعد ذلك، لعلنا نتذكر أنه إذا كان لدينا عددان موجبان؛ حيث ﺃ أقل من ﺏ، فسيكون الجذر التربيعي لـ ﺃ أقل من الجذر التربيعي لـ ﺏ. وعليه يمكننا ترتيب الأعداد غير النسبية الأربعة. الجذر التربيعي لـ ١٧ أقل من الجذر التربيعي لـ ١٩، الذي يكون بدوره أقل من الجذر التربيعي لـ ٢٤، الذي يكون أقل من الجذر التربيعي لـ ٢٨.
والآن علينا المقارنة بين الأعداد غير النسبية، أو الجذور، والأعداد النسبية الثلاثة. وإحدى طرق فعل ذلك إعادة كتابة كل عدد نسبي على صورة جذر. وبما أن أربعة تربيع يساوي ١٦ فإننا نعلم أن أربعة يساوي الجذر التربيعي لـ ١٦. وبالمثل، بما أن خمسة تربيع يساوي ٢٥ فإن الجذر التربيعي لـ ٢٥ يساوي خمسة. والآن يتبقى لنا ٤٫٥، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٤٫٥ تربيع. وبملاحظة أن ٤٫٥ يساوي الكسر غير الفعلي أو الكسر الذي بسطه أكبر من مقامه، تسعة على اثنين، يمكننا حساب ٤٫٥ تربيع عن طريق تربيع تسعة على اثنين. بتربيع كل من البسط والمقام على حدة، نحصل على ٨١ على أربعة، وهو ما يساوي العدد العشري ٢٠٫٢٥. إذن ٤٫٥ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٠٫٢٥.
أصبح بإمكاننا الآن أن نرتب المقادير الجذرية السبعة. القيمة الأصغر هي الجذر التربيعي لـ ١٦. ثم يليها الجذر التربيعي لـ ١٧، ثم الجذر التربيعي لـ ١٩، ثم الجذر التربيعي لـ ٢٠٫٢٥، ثم الجذر التربيعي لـ ٢٤، ثم الجذر التربيعي لـ ٢٥، وأخيرًا: الجذر التربيعي لـ ٢٨. وبالتعويض عن المقادير الجذرية الثلاثة بمكافئاتها النسبية الأصلية، نحصل على المجموعة المكونة من سبعة أعداد مرتبة من الأصغر إلى الأكبر. في الترتيب التصاعدي، لدينا أربعة، والجذر التربيعي لـ ١٧، والجذر التربيعي لـ ١٩، و٤٫٥، والجذر التربيعي لـ ٢٤، وخمسة، والجذر التربيعي لـ ٢٨.
والآن سنختتم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الأساسية. بدأنا هذا الفيديو بملاحظة أنه إذا كان ﺃ وﺏ عددين حقيقيين ممثلين بالنقطتين ﺃ وﺏ على خط الأعداد، فإننا نعلم الآتي. إذا كانت ﺃ تقع على يمين ﺏ، فإن ﺃ أكبر من ﺏ. وإذا كانت ﺃ تقع على يسار ﺏ، فإن ﺃ أقل من ﺏ. وإذا كانت ﺃ وﺏ منطبقتين، فإن ﺃ يساوي ﺏ. لعلنا لاحظنا أن قولنا إن ﺃ أكبر من ﺏ يماثل قولنا إن ﺏ أقل من ﺃ. وهذا يعني أنه يمكننا تبديل الأعداد وتبديل اتجاه الترتيب.
رأينا سابقًا الصيغة الرياضية لمجموعتي الأعداد الحقيقية الموجبة والسالبة؛ حيث إن مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة هي جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من الصفر، ومجموعة الأعداد الحقيقية السالبة هي جميع الأعداد الحقيقية الأقل من الصفر. بعد ذلك وسعنا نطاق هاتين المجموعتين لتشملا مجموعتي الأعداد الحقيقية غير السالبة وغير الموجبة. ورأينا أن مجموعة الأعداد الحقيقية ﺃ واحدًا، ﺃ اثنين، حتى ﺃﻥ؛ يقال إنها مرتبة ترتيبًا تصاعديًّا أو تنازليًّا إذا كانت المتباينة الموضحة تتحقق. وعندما تكون الأعداد مرتبة ترتيبًا تصاعديًّا، فهذا يعني أن قيمها تكبر. وعندما تكون الأعداد مرتبة ترتيبًا تنازليًّا، فهذا يعني أن قيمها تقل. ولأي عددين حقيقيين ﺃ وﺏ أكبر من أو يساويان الصفر، إذا كان ﺃ أكبر من ﺏ، فإن ﺃ تربيع أكبر من ﺏ تربيع والجذر التربيعي لـ ﺃ أكبر من الجذر التربيعي لـ ﺏ.
وأخيرًا: لأي عدد حقيقي ﺱ، الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع يساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ. بوجه عام: يمكننا القول إن الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع أكبر من أو يساوي ﺱ مع شرط التساوي فقط عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا.
