فيديو: تمثيل الدوال التربيعية بيانيًّا

يوضِّح الفيديو خطوات التمثيل البياني للدوال التربيعية، وكيفيته، وأمثلةً عليها.

١١:٢٧

‏نسخة الفيديو النصية

تمثيل الدوال التربيعية بيانيًّا.

في الفيديو ده هنتعلم تمثيل الدوال التربيعية بيانيًّا، باستخدام خصائصها. خطوات تمثيل الدوال التربيعية بيانيًّا هي؛ الخطوة الأولى: إيجاد معادلة محور التماثل. الخطوة التانية: إننا نوجد رأس المنحنى، ونحدّد إذا كانت ليها قيمة عظمى أو صغرى. الخطوة التالتة: إيجاد المقطع الصادي. الخطوة الرابعة: إننا نستخدم التماثل؛ عشان نوجد نقط أخرى على التمثيل البياني عند الضرورة. والخطوة الخامسة: إننا نوصّل ما بين النقط اللي حدّدناها، بمنحنى.

نتنقل لصفحة تانية، ونحلّ مثال. مثّل بيانيًّا الدالة: د س بتساوي س تربيع زائد أربعة س زائد تلاتة.

الخطوة الأولى: إيجاد معادلة محور التماثل. نكتب صيغة محور التماثل. اللي هي: س بتساوي سالب ب على اتنين أ. وعشان نعرف قيمة أ وَ ب، هنقارن الدالة بالمعادلة الرئيسية للدالة التربيعية. اللي هي: د س بتساوي أ س تربيع زائد ب س زائد ج. فهنلاقي إن أ بيساوي واحد، وَ ب بيساوي أربعة، وَ ج بيساوي تلاتة. فهنعوّض بالقيم دي في صيغة معادلة محور التماثل. فهتبقى س بتساوي سالب أربعة على، اتنين في واحد. وده هيساوي سالب أربعة على اتنين، يعني سالب اتنين. يبقى معادلة محور التماثل س بيساوي سالب اتنين.

الخطوة التانية: إيجاد رأس المنحنى، وتحديد إذا كانت لها قيمة عظمى أم صغرى. عشان نوجد رأس المنحنى، هنعوّض بقيمة س في معادلة محور التماثل، في الدالة الأصلية، على إنها الإحداثي السيني. ومنها هنوجد الإحداثي الصادي. فده هيساوي د سالب اتنين تساوي سالب اتنين تربيع، زائد أربعة في سالب اتنين، زائد تلاتة. وده هيساوي أربعة ناقص تمنية زائد تلاتة. اللي هيساوي سالب واحد. يبقى رأس المنحنى هو النقطة: سالب اتنين، وسالب واحد. ولأن أ أكبر من صفر، فبالتالي المنحنى هيكون مفتوح للأعلى، وليه قيمة صغرى.

الخطوة التالتة: إيجاد المقطع الصادي. عشان نوجد المقطع الصادي، هنعوّض عن س بصفر، في الدالة الأصلية. لأن طالما المنحنى قطع محور الصادات، يبقى س بتساوي صفر. يبقى د صفر بتساوي صفر تربيع، زائد أربعة في صفر، زائد تلاتة، هيساوي تلاتة. يبقى المقطع الصادي هيساوي تلاتة. ونقطة تقاطُع المنحنى مع محور الصادات، هي النقطة صفر، وتلاتة.

الخطوة الرابعة: استخدام التماثل لإيجاد نقاط أخرى على التمثيل البياني، عند الضرورة. محور التماثل بيقسم القطع المكافئ لجزئين متطابقين. عشان كده أيّ نقطة على جزء منهم، ليها نقطة مناظرة على الجزء الآخر. وبتبعد نفس المسافة عن محور التماثل. وليهم نفس الإحداثي الصادي.

في الصفحة الجاية هيظهر قدامنا مخطّط بياني. هنحدّد عليه المعطيات اللي وصلنا لها. اللي هي: معادلة محور التماثل، ورأس المنحنى، ونقطة تقاطُع المنحنى مع محور الصادات. الخط المرسوم البرتقالي هو محور التماثل. والنقطة دي هي رأس المنحنى. والنقطة دي هي نقطة تقاطُع المنحنى مع محور الصادات. والنقطة المناظرة ليها هتبعد نفس المسافة عن محور الصادات، فهتبقى هنا.

وممكن نوجد نقطة كمان، عشان نسهّل على نفسنا الرسم. فهنعوّض في معادلة الدالة الأصلية، بـ س بتساوي واحد. فهتبقى د واحد بتساوي واحد تربيع، زائد أربعة في واحد، زائد تلاتة. ده هيساوي واحد زائد أربعة زائد تلاتة، هيساوي تمنية. يبقى النقطة هي: واحد، وتمنية. فهنحدّدها عَ الشكل، فهتبقى هنا. والنقطة المناظرة ليها هتبقى هنا. الخطوة الخامسة: إننا نوصّل بين النقط دي بمنحنى. فالتمثيل البياني للدالة هيبقى بالشكل ده.

نتنقل لصفحة تانية، ونحلّ مثال تاني. مهرّج يقوم بقذف الكرات. وكان ارتفاع الكرات المقذوفة بالأمتار، يعبَّر عنه بالمعادلة: ص بتساوي سالب ستاشر س تربيع، زائد ستاشر س، زائد خمسة. حيث ص تساوي ارتفاع الكرة بالأمتار في س ثانية. والمطلوب؛ واحد: مثِّل المعادلة بيانيًّا. اتنين: ما ارتفاع الكرة عند قذفها؟ تلاتة: ما أقصى ارتفاع للكرة؟

نبدأ بالمطلوب الأول: مثِّل المعادلة بيانيًّا. فأول حاجة، نوجد معادلة محور التماثل. فهنعوّض في صيغة محور التماثل، اللي هي: س بتساوي سالب ب على اتنين أ، بقيم أ وَ ب. وهنوجدهم بإننا هنقارن معادلة قذف الكرات، بالمعادلة الرئيسية للدالة التربيعية. اللي هي: ص بتساوي أ س تربيع، زائد ب س، زائد ج. فهنلاقي منها إن أ بتساوي سالب ستاشر، وَ ب بتساوي ستاشر، وَ ج بيساوي خمسة.

فهنعوّض بالقيم دي في معادلة محور التماثل. فهتبقى س بتساوي سالب ستاشر على، اتنين في سالب ستاشر. وده هيساوي سالب ستاشر على سالب اتنين وتلاتين. اللي هيساوي واحد على اتنين. يعني معادلة محور التماثل هي: س بتساوي واحد على اتنين.

س بتساوي واحد على اتنين، هو نفسه الإحداثي السيني لنقطة رأس المنحنى. فهنعوّض بيها في الدالة الأصلية، عشان نوجد الإحداثي الصادي. فهتبقى د واحد على اتنين بتساوي سالب ستاشر في، واحد على اتنين تربيع؛ زائد ستاشر في، واحد على اتنين؛ زائد خمسة. وده هيساوي سالب أربعة زائد تمنية زائد خمسة. وده هيساوي تسعة. تبقى نقطة رأس المنحنى هي: واحد على اتنين، وتسعة. ولأن أ أصغر من صفر، يبقى المنحنى هيكون مفتوح للأسفل، وليه قيمة عظمى.

بعدين نوجد المقطع الصادي، فهنعوّض بـ س تساوي صفر، في معادلة الدالة الأصلية. فهتبقى د صفر بتساوي سالب ستاشر في صفر تربيع، زائد ستاشر في صفر، زائد خمسة؛ هتساوي خمسة. وبالتالي المقطع الصادي هيساوي خمسة. نتنقل لصفحة تانية ونكمّل حل. كده اللي وصلنا له لحدّ دلوقتي، هي معادلة محور التماثل. اللي هي: س بتساوي واحد على اتنين. ورأس المنحنى، اللي هي النقطة: واحد على اتنين، وتسعة. ونقطة تقاطُع المنحنى مع محور الصادات، وهي: صفر، وخمسة.

نوجد نقطة تانية عشان نسهّل الرسم. فهنعوّض في الدالة بـ س بتساوي اتنين. فهتبقى د اتنين بتساوي سالب ستاشر في اتنين تربيع، زائد ستاشر في اتنين، زائد خمسة. ده هيساوي سالب أربعة وستين زائد اتنين وتلاتين زائد خمسة. اللي هيساوي سالب سبعة وعشرين. يبقى النقطة التانية هتبقى: اتنين، وسالب سبعة وعشرين. وبتعويض النقط دي والنقط المناظرة ليها، على شكل بياني. هيبقى التمثيل البياني للدالة بالشكل ده.

المطلوب التاني: ما ارتفاع الكرة عند قذفها؟ ارتفاع الكرة عند قذفها، يبقى لمّا الزمن هيساوي صفر. يعني لمّا س بتساوي صفر. يعني عند المقطع الصادي. وبالتالي ارتفاع الكرة عند قذفها هو خمسة متر.

المطلوب التالت: ما أقصى ارتفاع للكرة؟ وبما إن الشكل مفتوح للأسفل، يبقى ليه قيمة عظمى عند رأس المنحنى. فأقصى ارتفاع للكرة هو الإحداثي الصادي لنقطة رأس المنحنى. يعني تسع أمتار.

وبكده نبقى خلّصنا الفيديو ده. اللي اتعلّمنا فيه تمثيل الدوال التربيعية بيانيًّا، باستخدام خصائصها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.