فيديو: التكامل بالتعويض: التكاملات المحددة

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية استخدام التكامل بالتعويض في التكاملات المحددة.

٢٠:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سنتعلم كيفية استخدام التكامل بالتعويض لإيجاد قيمة التكاملات المحددة. في هذه المرحلة، لا بد وأنك أصبحت متمكنًا من إيجاد المشتقة العكسية للعديد من الدوال، بما في ذلك الدوال كثيرات الحدود والدوال المثلثية والدوال اللوغاريتمية. في هذا الدرس، سنتناول كيفية تطبيق هذه القواعد لإيجاد المشتقة العكسية للدوال الأكثر تعقيدًا.

بسبب النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، من المهم أن نستطيع إيجاد المشتقة العكسية، لكن صيغ هذه النظرية لا توضح كيفية إيجاد قيم التكاملات، مثل التكامل المحدد بين واحد واثنين لـ ‪𝑥‬‏ تربيع في ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ثلاثة الكل تكعيب. لإيجاد قيمة هذا التكامل، نتبع طريقة خاصة باستخدام عنصر إضافي، وهو متغير جديد. يسمى ذلك التكامل بالتعويض. ويشار إليه أحيانًا بقاعدة السلسلة العكسية.

تتمثل الخطوة الأولى دائمًا في صياغة التكامل في هذه الصورة. وهو تكامل الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. لاحظ أن ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ جزء داخلي لدالة مركبة، ثم لدينا مشتقته وهي ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏. بعد ذلك، بمجرد التأكد أن التكامل أصبح بهذه الصورة، نطبق قاعدة التعويض للتكاملات المحددة.

وهي تنص على أنه إذا كانت ‪𝑔‬‏ شرطة دالة متصلة على الفترة المغلقة من ‪𝑎‬‏ إلى ‪𝑏‬‏، وكانت ‪𝑓‬‏ دالة متصلة على مدى ‪𝑢‬‏، وهو ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، فإن التكامل المحدد بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يساوي التكامل المحدد بين ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑏‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑢‬‏. من الأفضل عادة إلقاء نظرة على مثال حول كيفية استخدام ذلك.

أوجد التكامل المحدد بين واحد واثنين لـ ‪𝑥‬‏ تربيع في ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ثلاثة الكل تكعيب بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏.

هذه ليست دالة كثيرة الحدود يسهل حساب تكاملها باستخدام القواعد القياسية لإيجاد المشتقة العكسية. ولا نريد بالتأكيد فك القوس وإيجاد المشتقة العكسية لكل حد. بدلًا من ذلك، نلاحظ أن التكامل مكتوب بهذه الصورة. وهو التكامل المحدد بين الحدين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ لدالة ما لـ ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في مشتقة الجزء الداخلي لتلك الدالة المركبة. ‏‏‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، وهو الجزء الداخلي للدالة المركبة، هو ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ثلاثة.

ولدينا هنا مضاعف قياسي لمشتقته. نستخدم إذن التكامل بالتعويض لإيجاد قيمة التكامل. يتعلق ذلك بالحالة التي تكون فيها ‪𝑔‬‏ شرطة، أي مشتقة ‪𝑔‬‏، دالة متصلة على الفترة المغلقة من ‪𝑎‬‏ إلى ‪𝑏‬‏، وتكون ‪𝑓‬‏ دالة متصلة على مدى ‪𝑢‬‏، وهي الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. في هذه الحالة، التكامل المحدد يساوي التكامل المحدد بين ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑏‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑢‬‏. نجعل ‪𝑢‬‏ يساوي الدالة التي عرفناها بأنها ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. وهي الدالة الموجودة داخل دالة مشتقتها موجودة أيضًا.

بالتالي، نجعل ‪𝑢‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ثلاثة. هذا جيد، لأنه عند اشتقاق ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏، نجد أن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع. وفي التكامل بالتعويض، نعتبر ‪d𝑢‬‏ و‪d𝑥‬‏ تفاضلين. ويمكننا كتابة ذلك بطريقة أخرى، وهي ‪d𝑢‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع ‪d𝑥‬‏. لاحظ أنه على الرغم من أن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ليس كسرًا بالتأكيد، فإننا نعامله على أنه كسر في هذه العملية. نقسم كلا الطرفين على ثلاثة. ونلاحظ أن ثلث ‪d𝑢‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع ‪d𝑥‬‏.

لنعد إلى التكامل الأصلي. نلاحظ الآن أنه يمكننا التعويض عن ‪𝑥‬‏ تربيع ‪d𝑥‬‏ بثلث ‪d𝑢‬‏. ويمكننا التعويض عن ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ثلاثة بـ ‪𝑢‬‏. لكن ماذا سنفعل بالحدين واحد واثنين؟ علينا التعويض عنهما بـ ‪𝑔‬‏ لواحد و‪𝑔‬‏ لاثنين. نعود إلى التعويض الأصلي. ذكرنا أن ‪𝑢‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ثلاثة، ويكون الحد الأدنى عند ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا. يعني ذلك أنه يكون عند ‪𝑢‬‏ يساوي واحدًا تكعيب ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي سالب اثنين.

ويكون الحد العلوي عند ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين. إذن في هذه المرحلة، ‪𝑢‬‏ يساوي اثنين تكعيب ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي خمسة. يمكننا الآن التعويض عن كل جزء من التكامل بقيم التعويض المختلفة. ونلاحظ أن علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد بين سالب اثنين وخمسة لثلث ‪𝑢‬‏ تكعيب بالنسبة إلى ‪𝑢‬‏. تذكر أنه يمكننا أخذ أي عوامل ثابتة خارج التكامل والتركيز على تكامل ‪𝑢‬‏ تكعيب.

ونتذكر، بعد ذلك، أنه يمكننا حساب تكامل حد لكثيرة حدود أسه لا يساوي سالب واحد بإضافة واحد إلى ذلك الأس ثم القسمة على تلك القيمة. وبالتالي، فإن تكامل ‪𝑢‬‏ تكعيب يساوي ‪𝑢‬‏ أس أربعة مقسومًا على أربعة. هذا يعني أن التكامل يساوي ثلثًا في ‪𝑢‬‏ أس أربعة مقسومًا على أربعة بين سالب اثنين وخمسة. نعوض عن ‪𝑢‬‏ مرة بخمسة ومرة أخرى بسالب اثنين، ونوجد الفرق بينهما.

في هذه الحالة، يساوي ذلك ثلثًا في خمسة أس أربعة مقسومًا على أربعة ناقص سالب اثنين أس أربعة مقسومًا على أربعة. وهو ما يعطينا ثلثًا في ‪609‬‏ على أربعة. ويمكننا القسمة على ثلاثة. فنحصل على الحل، وهو ‪203‬‏ على أربعة، أو ‪50.75‬‏. وبالتالي، فإن قيمة التكامل المحدد بين واحد واثنين لـ ‪𝑥‬‏ تربيع في ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ثلاثة تكعيب بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي ‪50.75‬‏.

في هذا المثال، لاحظنا أنه علينا جعل ‪𝑢‬‏ عاملًا في الدالة التي سيتم تكاملها ويمكن تفاضلها، وإن كان مضاعفًا قياسيًا لها. وإذا لم يكن ذلك ممكنًا، نحاول جعل ‪𝑢‬‏ يساوي جزءًا أكثر تعقيدًا من الدالة التي سيتم تكاملها. قد يكون ذلك الدالة الداخلية في دالة مركبة أو ما شابه.

دعونا نلق نظرة على مثال بهذه الصورة.

أوجد التكامل المحدد بين سالب واحد وأربعة لـ ‪𝑥‬‏ في الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ زائد خمسة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ لأقرب جزء من ألف.

في هذه المسألة، الدالة التي سيتم تكاملها هي حاصل ضرب دالتين، إحداهما دالة مركبة. وهي بالتأكيد دالة يصعب حساب تكاملها. لدينا هنا خياران. فيمكننا تجريب طريقة التعويض أو التكامل بالتجزيء. لاحظ أن الجزء الداخلي للدالة المركبة له مشتقة سهلة وبسيطة. يشير ذلك إلى أننا قد يمكننا استخدام التكامل بالتعويض.

تتعلق قاعدة التعويض للتكاملات المحددة بالحالة التي تكون فيها ‪𝑔‬‏ شرطة دالة متصلة على الفترة المغلقة من ‪𝑎‬‏ إلى ‪𝑏‬‏، وتكون ‪𝑓‬‏ دالة متصلة على مدى ‪𝑢‬‏، وهو ما يساوي ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. في هذه الحالة، يكون التكامل المحدد بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يساوي التكامل المحدد بين ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑏‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑢‬‏. باستخدام هذه الطريقة، نحاول أن نجعل ‪𝑢‬‏، الذي يساوي ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، عاملًا للدالة التي سيتم تكاملها ويمكن تفاضلها، وإن كان مضاعفًا قياسيًا لها. لكن ما يمكن أن يكون عليه ذلك لا يتضح لنا الآن.

لذا، بدلًا من ذلك، نجعل ‪𝑢‬‏ جزءًا أكثر تعقيدًا من الدالة، وهو هنا الجزء الداخلي لدالة مركبة لها مشتقة بسيطة. نجعل ‪𝑢‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ زائد خمسة. مشتقة ‪𝑥‬‏ زائد خمسة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ هي واحد. على الرغم من أننا نعلم أن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ليس كسرًا، فإننا نتعامل معه على أنه كذلك. نتعامل مع ‪d𝑢‬‏ و‪d𝑥‬‏ على أنهما تفاضلان. ويمكننا القول إن ‪d𝑢‬‏ يساوي ‪d𝑥‬‏. قد لا يبدو ذلك مفيدًا الآن؛ لأننا إذا عوضنا عن ‪d𝑥‬‏ بـ ‪d𝑢‬‏ وعن ‪𝑥‬‏ زائد خمسة بـ ‪𝑢‬‏، فسيظل لدينا جزء من الدالة بدلالة ‪𝑥‬‏.

لكن، إذا رجعنا إلى التعويض، فسيمكننا إعادة ترتيب ذلك وقول إن ‪𝑥‬‏ يجب أن يساوي ‪𝑢‬‏ ناقص خمسة. يمكننا الآن التعويض عن كل جزء من الدالة التي سيتم تكاملها وعن ‪d𝑥‬‏ بـ ‪d𝑢‬‏. لكن ماذا عن الحدين؟ نستخدم هنا التعويض لإعادة تعريفهما. يكون الحد السفلي عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب واحد. وبما أن ‪𝑢‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ زائد خمسة، فإن ‪𝑢‬‏ يساوي سالب واحد زائد خمسة، وهو ما يساوي أربعة. وعند ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة، وهو الحد العلوي، يساوي ‪𝑢‬‏ أربعة زائد خمسة، أي تسعة.

نعيد كتابة التكامل المحدد ليكون التكامل المحدد بين أربعة وتسعة، وهما الحدان الجديدان، لـ ‪𝑢‬‏ ناقص خمسة — تذكر أننا قلنا إن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑢‬‏ ناقص خمسة — في الجذر التربيعي لـ ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑢‬‏. دعونا نعد كتابة الجذر التربيعي لـ ‪𝑢‬‏ في صورة ‪𝑢‬‏ أس نصف. يمكننا بعد ذلك فك الأقواس. عند ضرب ‪𝑢‬‏ في ‪𝑢‬‏ أس نصف، نجمع الأسين. فنحصل على ‪𝑢‬‏ أس ثلاثة على اثنين. إذن، الدالة التي سيتم تكاملها هي ‪𝑢‬‏ أس ثلاثة على اثنين ناقص خمسة ‪𝑢‬‏ أس نصف.

عند حساب تكامل حدود دالة كثيرة الحدود بسيطة أسها لا يساوي سالب واحد، نضيف واحدًا إلى الأس ونقسم على هذه القيمة الجديدة. وبالتالي، عند حساب تكامل ‪𝑢‬‏ أس ثلاثة على اثنين، نحصل على ‪𝑢‬‏ أس خمسة على اثنين مقسومًا على خمسة على اثنين. وهو ما يساوي خمسين في ‪𝑢‬‏ أس خمسة على اثنين. وبالمثل، عند حساب تكامل سالب خمسة ‪𝑢‬‏ أس نصف، نحصل على سالب خمسة ‪𝑢‬‏ أس ثلاثة على اثنين مقسومًا على ثلاثة على اثنين. ويبسط ذلك إلى سالب ‪10‬‏ على ثلاثة ‪𝑢‬‏ أس ثلاثة على اثنين.

وبالطبع، يجب ألا ننسى أننا نريد إيجاد قيمة ذلك بين الحدين أربعة وتسعة. يساوي هذا ‪50‬‏ في تسعة أس خمسة على اثنين ناقص ‪10‬‏ أثلاث في تسعة أس ثلاثة على اثنين، ناقص ‪50‬‏ في أربعة أس خمسة على اثنين ناقص ‪10‬‏ أثلاث في أربعة أس ثلاثة على اثنين. نحصل بذلك على ‪316‬‏ على ‪15‬‏، وهو ما يساوي ‪21.067‬‏ لأقرب جزء من ألف.

في المثال التالي، سنتناول كيف تنطبق هذه العملية على الدوال الكسرية أيضًا.

أوجد التكامل المحدد بين سالب خمسة وسالب اثنين لاثنين على الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ زائد ستة ‪d𝑥‬‏.

قد لا يتضح من الوهلة الأولى كيف سنوجد قيمة هذا التكامل. لكننا إذا دققنا النظر، فسيمكننا ملاحظة أن البسط مضاعف قياسي لمشتقة الدالة الداخلية في المقام. بعبارة أخرى، مشتقة ‪𝑥‬‏ زائد ستة مضروبة في اثنين تساوي البسط. وهو العدد اثنان. وهذا تلميح بأنه علينا استخدام التكامل بالتعويض لإيجاد قيمة التكامل.

تذكر أنه في التكامل بالتعويض، يكون لدينا دالة جديدة. وهي ‪𝑢‬‏، التي نجعلها تساوي ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. نلاحظ أن التكامل المحدد بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يساوي التكامل المحدد بين ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑏‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑢‬‏. سنجعل ‪𝑢‬‏ يساوي الجزء الداخلي من الدالة المركبة، وهو ‪𝑥‬‏ زائد ستة، بحيث يساوي ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ واحدًا. على الرغم من أن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ليس كسرًا، فإننا يمكننا معاملته على أنه كذلك عند إجراء تكامل بالتعويض. ويمكننا القول إن ‪d𝑢‬‏ يساوي ‪d𝑥‬‏.

وبالتالي، يمكننا التعويض عن ‪d𝑥‬‏ بـ ‪d𝑢‬‏ وعن ‪𝑥‬‏ زائد ستة بـ ‪𝑢‬‏. لكن سيكون علينا فعل شيء ما مع الحدين. نستخدم التعويض لإعادة تعريفهما. يكون الحد السفلي عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب خمسة. ومن ثم، ‪𝑢‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ زائد ستة، وهو ما يساوي هنا سالب خمسة زائد ستة، الذي يساوي واحدًا. يكون الحد العلوي عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين. وبالتالي، ‪𝑢‬‏ يساوي سالب اثنين زائد ستة، وهو ما يساوي أربعة. وبذلك، فإن التكامل يساوي التكامل المحدد بين واحد وأربعة لاثنين على الجذر التربيعي لـ ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑢‬‏.

والآن يمكننا كتابة واحد على الجذر التربيعي لـ ‪𝑢‬‏ بالصورة ‪𝑢‬‏ أس سالب نصف. الخطوة التالية ليست ضرورية، لكنها قد تيسر هذه العملية. نتذكر هنا أنه يمكننا أخذ أي عوامل ثابتة خارج التكامل والتركيز على حساب تكامل الدالة المتضمنة في ‪𝑢‬‏ نفسها. هذا يساوي اثنين في التكامل المحدد بين واحد وأربعة لـ ‪𝑢‬‏ أس سالب نصف. وعند حساب تكامل ‪𝑢‬‏ أس سالب نصف، نضيف واحدًا إلى الأس ثم نقسم على ذلك العدد الجديد. يصبح إذن ‪𝑢‬‏ أس سالب نصف يساوي ‪𝑢‬‏ أس نصف مقسومًا على نصف، وهو ما يساوي اثنين في ‪𝑢‬‏ أس نصف.

نعوض بعد ذلك عن ‪𝑢‬‏ بأربعة وواحد، ونوجد الفرق. نحصل على اثنين في اثنين في أربعة أس نصف ناقص اثنين في واحد أس نصف. أربعة أس نصف يساوي اثنين. وواحد أس نصف يساوي واحدًا. يصبح لدينا بذلك اثنان في اثنين في اثنين ناقص اثنين في واحد، وهو ما يساوي أربعة. وبذلك نكون قد انتهينا. وبما أننا غيرنا الحدين، فلا نحتاج إلى إجراء أي خطوات أخرى. فالتكامل المحدد يساوي أربعة.

في المثالين السابقين، رأينا كيف يمكننا إجراء التكامل بالتعويض، حتى وإن لم يتضح مباشرة ما سيكون عليه. فسنرى الآن كيف يمكننا استخدام هذه العملية لحساب تكامل دالة مثلثية أكثر تعقيدًا.

أوجد التكامل المحدد بين صفر و‪𝜋‬‏ على أربعة لسالب تسعة ‪tan 𝑧‬‏ في ‪sec‬‏ تربيع ‪𝑧‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑧‬‏.

أولًا، لا داعي للقلق بشأن كون هذه الدالة بدلالة ‪𝑧‬‏. فنحن نحسب التكامل بالنسبة إلى ‪𝑧‬‏، وبالتالي نجري العملية كالمعتاد. نلاحظ أن ‪sec‬‏ تربيع ‪𝑧‬‏ هي مشتقة ‪tan 𝑧‬‏. ونستنتج من ذلك أنه يمكننا استخدام التكامل بالتعويض لإيجاد قيمة ذلك. نجعل ‪𝑢‬‏ يساوي ‪tan 𝑧‬‏. نعلم أن المشتقة الأولى لـ ‪tan 𝑧‬‏ هي ‪sec‬‏ تربيع ‪𝑧‬‏. ورغم أن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑧‬‏ ليس كسرًا، فإننا نعامله على أنه كذلك، ونقول إن ‪d𝑢‬‏ يساوي ‪sec‬‏ تربيع ‪𝑧 d𝑧‬‏.

نلاحظ الآن أنه يمكننا التعويض عن ‪tan 𝑧‬‏ بـ ‪𝑢‬‏ وعن ‪sec‬‏ تربيع ‪𝑧 d𝑧‬‏ بـ ‪d𝑢‬‏. قبل المتابعة، علينا إيجاد قيمتي الحدين الجديدين. فنستخدم التعويض. قلنا إن ‪𝑢‬‏ يساوي ‪tan 𝑧‬‏، ويكون الحد السفلي عند ‪𝑧‬‏ يساوي صفرًا، أي عند ‪𝑢‬‏ يساوي ‪tan‬‏ لصفر، وهو ما يساوي صفرًا. والحد العلوي هو ‪𝑧‬‏ يساوي ‪𝜋‬‏ على أربعة. إذن، ‪𝑢‬‏ يساوي ‪tan 𝜋‬‏ على أربعة، وهو ما يساوي واحدًا. هذا رائع؛ إذ يمكننا الآن إعادة كتابة التكامل المحدد في صورة التكامل المحدد بين صفر وواحد لسالب تسعة ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑢‬‏.

يمكننا الآن أخذ سالب تسعة عاملًا ثابتًا خارج التكامل، إذا أردنا. وبالطبع لا نحتاج إلى إجراء ذلك. إذا لم نفعل ذلك، فسنجد أن تكامل سالب تسعة ‪𝑢‬‏ يساوي سالب تسعة ‪𝑢‬‏ تربيع مقسومًا على اثنين. نوجد قيمة هذا بين صفر وواحد. فيصبح لدينا سالب تسعة في واحد تربيع على اثنين ناقص سالب تسعة في صفر تربيع على اثنين، وهو ما يساوي سالب تسعة على اثنين. تساوي إذن قيمة التكامل المحدد سالب تسعة على اثنين.

في المثال الأخير، نلقي نظرة على كيفية استخدام التكامل بالتعويض لإيجاد قيمة تكامل دالة لوغاريتمية.

أوجد التكامل المحدد بين واحد و‪𝑒‬‏ للوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ على ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏.

لإيجاد قيمة هذا التكامل، علينا ملاحظة أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏، وأن جزءًا من هذه الدالة مضاعف قياسي لواحد على ‪𝑥‬‏. وبالتالي، نجعل ‪𝑢‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. عند اشتقاق ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏، نحصل على واحد على ‪𝑥‬‏. ‏‏‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ليس كسرًا، ولكننا نعامله على أنه كذلك. ونلاحظ كذلك أن هذا يماثل قولنا إن ‪d𝑢‬‏ يساوي واحدًا على ‪𝑥 d𝑥‬‏. هذا رائع؛ لأنه يمكننا الآن التعويض عن اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ بـ ‪𝑢‬‏ وعن واحد على ‪𝑥 d𝑥‬‏ بـ ‪d𝑢‬‏.

وسيكون علينا تغيير الحدين. فنستخدم التعويض. ذكرنا أن ‪𝑢‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. عند ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا، لا بد أن يساوي ‪𝑢‬‏ اللوغاريتم الطبيعي لواحد، وهو ما يساوي صفرًا. وعند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏، وهو الحد العلوي، يساوي ‪𝑢‬‏ اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑒‬‏، وهو ما يساوي واحدًا. هذا رائع؛ إذ أصبح التكامل المحدد لدينا الآن يساوي التكامل المحدد بين صفر وواحد لـ ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑢‬‏.

تكامل ‪𝑢‬‏ يساوي ‪𝑢‬‏ تربيع على اثنين. وعند إيجاد قيمة ذلك بين الحدين صفر وواحد، نحصل على واحد تربيع على اثنين ناقص صفر تربيع على اثنين، وهو ما يساوي نصفًا. التكامل المحدد بين واحد و‪𝑒‬‏ للوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ على ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يساوي نصفًا.

في هذا الفيديو، عرفنا أن قاعدة التعويض للتكاملات المحددة تتعلق بالحالة التي تكون فيها ‪𝑔‬‏ شرطة، أي المشتقة الأولى لـ ‪𝑔‬‏، دالة متصلة على الفترة المغلقة من ‪𝑎‬‏ إلى ‪𝑏‬‏، وتكون ‪𝑓‬‏ نفسها دالة متصلة على مدى ‪𝑢‬‏، وهو ما يساوي ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. في هذه الحالة، يكون التكامل المحدد بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يساوي التكامل المحدد بين ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑏‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑢‬‏.

وعرفنا كذلك أننا نجعل عادة ‪𝑢‬‏ عاملًا للدالة التي سيتم تكاملها ويمكن تفاضلها، وإن كان مضاعفًا قياسيًا لها. وإذا لم يتضح ذلك في الحال، فإننا نجعل ‪𝑢‬‏ جزءًا أكثر تعقيدًا من الدالة التي سيتم تكاملها. وقد يكون ذلك الدالة الداخلية في دالة مركبة. ورأينا أنه من المهم للغاية استخدام التعويض الذي اخترناه لتغيير الحدين قبل إجراء عملية التكامل. عرفنا أيضًا أنه يمكن استخدام هذه الطريقة لحساب تكامل الدوال التي تتضمن جذورًا ودوال مثلثية ولوغاريتمات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.