تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: المتباينات التي تتضمَّن الدوال الكسرية

أحمد لطفي

حُلَّ المتباينة (ﺱ − ١)/((ﺱ + ١)(ﺱ − ٣)) ≤ ٣/١.

٠٦:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

حل المتباينة: س ناقص واحد الكل مقسوم على س زائد واحد مضروبة في س ناقص تلاتة، أصغر من أو بتساوي واحد على تلاتة.

في البداية عشان نقدر نحل المتباينة، محتاجين نحل المعادلة المرتبطة بالمتباينة، اللي هتكون س ناقص واحد الكل مقسوم على س زائد واحد مضروبة في س ناقص تلاتة بيساوي واحد على تلاتة.

أول خطوة هنضرب الطرفين في س زائد واحد مضروبة في س ناقص تلاتة، فهيكون عندنا س ناقص واحد بيساوي واحد على تلاتة مضروبة في س زائد واحد مضروبة في س ناقص تلاتة؛ يعني هيكون عندنا س ناقص واحد بتساوي واحد على تلاتة س تربيع ناقص اتنين على تلاتة س ناقص واحد، هنطرح من الطرفين س؛ فهيكون عندنا سالب واحد بيساوي واحد على تلاتة س تربيع ناقص خمسة على تلاتة س ناقص واحد، هنجمع على الطرفين واحد؛ فهيكون عندنا واحد على تلاتة س تربيع ناقص خمسة على تلاتة س بيساوي صفر، هنضرب الطرفين في تلاتة؛ فهيكون عندنا س تربيع ناقص خمسة س بيساوي صفر، هناخد س عامل مشترك؛ فهيكون عندنا س مضروبة في س ناقص خمسة بيساوي صفر.

فهيكون عندنا حلين: أول حل إن س بتساوي صفر، وتاني حل إن س ناقص خمسة هيساوي صفر. هنجمع خمسة عَ الطرفين فهيكون عندنا س بتساوي خمسة؛ وبالتالي هيكون عندنا حلول المعادلة المرتبطة بالمتباينة هتكون س بتساوي صفر، وَ س بتساوي خمسة.

ولو عايزين نوجد باقي النقاط الحرجة فهتكون هي النقاط اللي بتجعل المقام يساوي صفر، يعني اللي بتجعل س زائد واحد مضروبة في س ناقص تلاتة بتساوي صفر؛ فهنجد إن هتكون قيم س … س بتساوي سالب واحد، وَ س بتساوي تلاتة؛ ويبقى كده عندنا أربع نقاط حرجة: س بتساوي صفر، وَ س بتساوي خمسة، وَ س بتساوي سالب واحد، وَ س بتساوي تلاتة.

هنمثّل النقاط على خط الأعداد فهيكونوا بالشكل ده، فهنلاحظ إن هيكون عندنا خمس فترات: بالنسبة لأول فترة اللي هي من عند خمسة إلى ما لا نهاية، هنختار أي قيمة لـ س بداخل الفترة، مثلًا لمّا س بتساوي ستة، وهنعوض في المتباينة عن س بتساوي ستة، وهنشوف إذا كانت المتباينة هتكون أصغر من أو بتساوي واحد على تلاتة ولا لأ؛ يعني محتاجين نشوف ستة ناقص واحد على ستة زائد واحد مضروبة في ستة ناقص تلاتة، هتكون أصغر من أو بتساوي واحد على تلاتة ولا لأ؛ فهنجد إن الطرف الأيمن من المتباينة هيكون خمسة على واحد وعشرين، وهنلاحظ إن خمسة على واحد وعشرين هتكون أصغر من أو بتساوي واحد على تلاتة؛ وبالتالي لمّا س بتساوي ستة قدرت تحقق المتباينة. وبالتالي جميع قيم س في الفترة من خمسة إلى ما لا نهاية هتكون بتحقق المتباينة.

لو عايزين نشوف بالنسبة لتاني فترة من تلاتة إلى خمسة، فهنختار أي قيمة لـ س بداخل الفترة، مثلًا عند س بتساوي أربعة، وهنعوض في المتباينة عن س بتساوي أربعة، فهيكون عندنا أربعة ناقص واحد على أربعة زائد واحد مضروبة في أربعة ناقص تلاتة، عايزين نشوف هتكون أصغر من أو بتساوي واحد على تلاتة ولا لأ؛ فهنجد إن الطرف الأيمن من المتباينة هيكون تلاتة على خمسة، وتلاتة على خمسة هتكون ليست أصغر من أو بتساوي واحد على تلاتة؛ وبالتالي قيم س اللي بداخل الفترة هتكون لا تحقق المتباينة.

وبالنسبة للفترة من صفر إلى تلاتة، فهنختار أي قيمة لـ س بداخل الفترة، مثلًا عند س بتساوي واحد، هنعوّض عن س بواحد في المتباينة؛ فهيكون عندنا واحد ناقص واحد الكل مقسوم على واحد زائد واحد مضروب في واحد ناقص تلاتة، محتاجين نشوف هتكون أصغر من أو بتساوي واحد على تلاتة ولا لأ؛ فهنجد إن الطرف الأيمن من المتباينة هيكون بيساوي صفر، وصفر هيكون أصغر من أو بيساوي واحد على تلاتة؛ وبالتالي قيم س اللي في الفترة من صفر إلى تلاتة هتكون بتحقق المتباينة.

وبالنسبة للفترة من سالب واحد إلى صفر، فهنختار أي قيمة لـ س بداخل الفترة، مثلًا لمّا س بتساوي سالب واحد عَ الاتنين، هنعوّض عن س بسالب واحد عَ الاتنين في المتباينة، هيكون عندنا سالب واحد عَ الاتنين ناقص واحد الكل مقسوم على سالب واحد عَ الاتنين زائد واحد مضروبة في سالب واحد عَ الاتنين ناقص تلاتة، محتاجين نشوف هتكون أصغر من أو بتساوي واحد على تلاتة ولا لأ؛ هنجد إن الطرف الأيمن هيكون ستة على سبعة، وستة على سبعة هتكون ليست أصغر من أو بتساوي واحد على تلاتة؛ وبالتالي قيم س اللي بداخل الفترة من سالب واحد إلى صفر هتكون لا تحقق المتباينة.

بالنسبة لآخر فترة وهي من سالب ما لا نهاية إلى سالب واحد، فهنختار أي قيمة لـ س بداخل الفترة، مثلًا عند س بتساوي سالب اتنين، هنعوّض في المتباينة عن س بتساوي سالب اتنين؛ فهيكون عندنا سالب اتنين ناقص واحد الكل مقسوم على سالب اتنين زائد واحد مضروبة في سالب اتنين ناقص تلاتة، محتاجين نشوف هتكون أصغر من أو بتساوي واحد على تلاتة ولا لأ؛ فهنجد إن الطرف الأيمن هيكون بيساوي سالب تلاتة على خمسة، وسالب تلاتة على خمسة هتكون أصغر من أو بتساوي واحد على تلاتة؛ وبالتالي لمّا س تكون بتساوي سالب اتنين هتحقق المتباينة، ويبقى جميع قيم س في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى سالب واحد هتكون بتحقق المتباينة.

وبالنسبة للنقاط الحرجة فهنجد … فهنجد إن عند س بتساوي خمسة، بما أن س بتساوي خمسة بتحقق المعادلة المرتبطة بالمتباينة، وبما إن المتباينة أصغر من أو بتساوي؛ يبقى س بتساوي خمسة أيضًا هتحقق المتباينة، وبالمثل س بتساوي صفر أيضًا هتحقق المتباينة، لكن عند أصفار المقام اللي هو عند س بتساوي سالب واحد وعند س بتساوي تلاتة، هنجد إنهم لا يحققوا المتباينة؛ وبالتالي حل المتباينة هيكون الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى سالب واحد، اتحاد الفترة المغلقة عند صفر والمفتوحة عند تلاتة، اتحاد الفترة المغلقة عند خمسة والمفتوحة عند ما لا نهاية؛ ويبقى كده قدرنا نوجد حل المتباينة.