فيديو: إيجاد القيمة المجهولة في دالة متعددة التعريف التي تجعلها متصلة عند نقطة معينة

أوجد قيمة 𝑘 التي تجعل الدالة 𝑓 متصلة عند 𝑥 = 3، هذا إذا كانت الدالة 𝑓(𝑥) = (𝑥⁻¹ − 3⁻¹)/(𝑥² − 3²) إن كان 𝑥 ≠ 3، 𝑓(𝑥) = 𝑘 إن كان 𝑥 = 3.

٠٥:٥٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة 𝑘 التي تجعل الدالة 𝑓 متصلة عند 𝑥 يساوي ثلاثة. إذا كان 𝑓 في المتغير 𝑥 يساوي 𝑥 أس سالب واحد ناقص ثلاثة أس سالب واحد على 𝑥 تربيع ناقص ثلاثة تربيع، لكل 𝑥 لا يساوي ثلاثة، وتساوي 𝑘، لكل 𝑥 يساوي ثلاثة.

بحسب التعريف، تكون الدالة 𝑓 متصلة عند العدد 𝑐، إن كانت نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 حين يقترب 𝑥 من 𝑐 تساوي 𝑓 لـ 𝑐. ونحن نريد أن نجعل دالتنا 𝑓 متصلة عند 𝑥 يساوي ثلاثة. إذن، بعد التعريف السابق للدالة 𝑓، نحتاج أن تساوي نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥، حين يقترب 𝑥 من ثلاثة، 𝑓 لثلاثة. ويمكننا معرفة قيمة الدالة 𝑓 لثلاثة من تعريف الدالة. فالدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑘 إن كان 𝑥 يساوي ثلاثة. إذن، فإن قيمة 𝑓 لثلاثة تساوي 𝑘. وعند تبديل طرفي المعادلة، نرى أن قيمة 𝑘 التي تجعل الدالة 𝑓 متصلة حين يساوي 𝑥 ثلاثة تساوي نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 حين يقترب 𝑥 من ثلاثة.

إذن، أصبحت مهمتنا الآن إيجاد قيمة هذه النهاية. نلاحظ أنه إن كانت هذه النهاية غير موجودة لسبب ما، فليس هناك ما يمكننا فعله. فلا توجد قيمة لـ 𝑘 تجعل الدالة 𝑓 متصلة. لذا، علينا أن نأمل فقط أن تكون هذه النهاية موجودة. هيا إذن نوجد هذه النهاية. إن نهاية الدالة، حين يقترب 𝑥 من ثلاثة، لا تعتمد على قيمة الدالة عند 𝑥 يساوي ثلاثة، ولكن فقط على القيم القريبة من 𝑥 يساوي ثلاثة. إذن، يمكننا التعويض عن الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 داخل هذه النهاية بقاعدة الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 حين لا يساوي 𝑥 ثلاثة.

هذا لا يكتب في شكل دالة كسرية. نلاحظ الأس السالب في الأس للمتغير 𝑥 في البسط وهو ما يعني أن البسط ليس كثير الحدود. لكن ما زلنا نأمل أن تكون هذه الدالة متصلة. وأننا نستطيع إيجاد قيمة النهاية هنا، باستخدام التعويض المباشر. لكن للأسف، التعويض بثلاثة عن 𝑥 يعطينا صفرًا على صفر، وهي الصيغة غير المعينة. إذن، الأمر ليس بهذه البساطة. وسيكون علينا إجراء بعض العمليات الجبرية.

أول شيء يمكننا فعله هو تحويل المقدارين ذوي الأس سالب واحد إلى كسرين. وهكذا، فإن 𝑥 أس سالب واحد يصبح واحدًا على 𝑥. وثلاثة أس سالب واحد تصبح واحدًا على ثلاثة، أو ثلثًا. وفي الخطوة نفسها، يمكننا أن نحلل المقام الذي نرى أنه فرق بين قيمتين مربعتين. إذن، أصبح لدينا كسران داخل الكسر الخاص بنا. ويمكننا التخلص منهما بضرب كل من البسط والمقام في ثلاثة 𝑥. المقام سهل لأننا حللناه. سنضع الثلاثة 𝑥 في الأمام فحسب، وبالنسبة للبسط، لدينا ثلاثة 𝑥 في واحد على 𝑥، وهو ما يساوي ثلاثة، ناقص ثلاثة 𝑥 في ثلث، وهو ما يساوي 𝑥.

الآن، إن استخرجنا العامل سالب واحد من البسط، فسنحصل على سالب واحد في 𝑥 ناقص ثلاثة. وكتابة البسط بهذه الطريقة تتيح لنا ملاحظة وجود عامل مشترك وهو ما سنحذفه. وبعد حذف العامل المشترك 𝑥 ناقص ثلاثة من البسط والمقام، نأمل أن يعطينا التعويض المباشر بـ 𝑥 يساوي ثلاثة شيئًا محددًا، وليس الصيغة غير المعينة، صفرًا على صفر.

لنجرب ونر. نعوض بثلاثة عن 𝑥. وعند فعل هذا، نحصل على سالب واحد على ثلاثة في ثلاثة في ثلاثة زائد ثلاثة، وهو ما يساوي سالب واحد على 54. وإن عرفنا الدالة 𝑔 بالقاعدة التي تقول إن الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑥 أس سالب واحد ناقص ثلاثة أس سالب واحد على 𝑥 تربيع ناقص ثلاثة تربيع، إذن فإن الدالة 𝑔 لا تكون متصلة عند 𝑥 يساوي ثلاثة. وهذا لأن الدالة 𝑔 ليست معرفة لمدخل قيمته ثلاثة. ومحاولة إيجاد قيمة 𝑔 لثلاثة باستخدام قاعدتها يعطينا الصيغة غير المعينة صفرًا على صفر.

لكننا قد رأينا أننا نستطيع تعريف الدالة 𝑓، حيث تكون الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 مساوية للدالة 𝑔 في المتغير 𝑥، إن كان 𝑥 لا يساوي ثلاثة، وتكون الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 مساوية لسالب واحد على 54، إن كان 𝑥 يساوي ثلاثة. وهذه الدالة متصلة عند 𝑥 يساوي ثلاثة. وبتعريف الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 بأنها تساوي سالب واحد على 54 عند 𝑥 يساوي ثلاثة، استطعنا إصلاح عدم الاتصال في الدالة 𝑔. وحين نستطيع فعل ذلك، يمكننا القول إن عدم الاتصال قابل للإزالة. وهكذا نرى أن الدالة 𝑔 لديها نقطة من عدم الاتصال القابل للإزالة عند 𝑥 يساوي ثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.