فيديو الدرس: زوايا الاتجاه وجيوب تمام الاتجاه الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قياسات زوايا الاتجاه وجيوب تمام الاتجاه لمتجه معطى في الفضاء. سنبدأ بتناول شبكة الإحداثيات الثلاثية الأبعاد. نحن نعلم أنه في الفضاء الثلاثي الأبعاد، لدينا المحاور ﺱ وﺹ وﻉ. كل محور من هذه المحاور متعامد على الآخر أو يوجد بين كل محورين زاوية قائمة.

لنفترض أن لدينا المتجه ﻡ في الاتجاه الموضح، حيث للمتجه ﻡ المركبات ﻡﺱ، ﻡﺹ، ﻡﻉ. من المهم أيضًا أن نتذكر أن متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ تؤثر في الاتجاه ﺱ وﺹ وﻉ، على الترتيب. أول زاوية اتجاه علينا معرفتها هي 𝛼. وهي الزاوية المحصورة بين متجه الوحدة ﺱ والمتجه ﻡ. الزاوية الثانية هي الزاوية 𝛽، وهي الزاوية المحصورة بين متجه الوحدة ﺹ والمتجه ﻡ. وأخيرًا، لدينا الزاوية 𝛾، وهي الزاوية المحصورة بين متجه الوحدة ﻉ والمتجه ﻡ. إذن، هذه هي زوايا الاتجاه الثلاثة 𝛼 و𝛽 و𝛾.

دعونا نتناول الآن جيوب تمام الاتجاه. في حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، نحن نعلم أن جيب تمام أي زاوية يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. جيوب تمام الاتجاه هي ببساطة جيوب تمام الزوايا الثلاثة؛ جتا 𝛼 وجتا 𝛽 وجتا 𝛾. ‏‏جتا 𝛼 يساوي المركبة ﺱ للمتجه، وهي في هذه الحالة ﻡﺱ، مقسومًا على مقدار المتجه ﻡ. وبالطريقة نفسها، جتا 𝛽 يساوي ﻡﺹ مقسومًا على مقدار المتجه ﻡ. وأخيرًا، جتا 𝛾 يساوي ﻡﻉ مقسومًا على مقدار المتجه ﻡ. وتعرف جتا 𝛼 وجتا 𝛽 وجتا 𝛾 بأنها جيوب تمام الاتجاه.

بحساب الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي كل معادلة من المعادلات الثلاثة لدينا، نحصل على مقادير للزوايا 𝛼 و𝛽 و𝛾. فالزاوية 𝛼 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ﻡﺱ على مقدار المتجه ﻡ. وبالمثل، الزاوية 𝛽 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ﻡﺹ مقسومًا على مقدار المتجه ﻡ. والزاوية 𝛾 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ﻡﻉ على مقدار المتجه ﻡ. إننا نتذكر أنه إذا كان للمتجه ﻡ المركبات ﻡﺱ، ﻡﺹ، ﻡﻉ، فإن مقدار المتجه ﻡ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻡﺱ تربيع زائد ﻡﺹ تربيع زائد ﻡﻉ تربيع. لاحظ أن مقدار المتجه يعرف أحيانًا باسم «المعيار». في السؤال الأول، سنوجد متجهًا بمعلومية قياسات زوايا اتجاهه.

أوجد المتجه ﺃ الذي معياره ٤١، وقياسات زوايا اتجاهه ١٣٥ درجة، ١٢٠ درجة، ٦٠ درجة.

نحن نعلم أن معيار المتجه هو مقداره، وأن زوايا الاتجاه 𝛼 و𝛽 و𝛾 هي الزوايا المحصورة بين متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ والمتجه ﻡ. ونعلم أيضًا أن جيوب تمام الاتجاه تكون على الصورة جتا 𝛼 يساوي ﻡﺱ على مقدار ﻡ، وجتا 𝛽 يساوي ﻡﺹ على مقدار ﻡ، وجتا 𝛾 يساوي ﻡﻉ على مقدار ﻡ، حيث للمتجه ﻡ المركبات ﻡﺱ، ﻡﺹ، ﻡﻉ. بالتعويض بقيمتي 𝛼 والمقدار، نجد أن جتا ١٣٥ درجة يساوي ﺃ ﺱ على ٤١. يمكننا بعد ذلك ضرب طرفي هذه المعادلة في ٤١. ‏‏ﺃﺱ يساوي سالب ٤١ جذر اثنين على اثنين. وهذه هي المركبة ﺱ للمتجه ﺃ.

باستخدام الطريقة نفسها مع الزاوية 𝛽، نجد لدينا جتا ١٢٠ درجة يساوي ﺃﺹ على ٤١. مرة أخرى نضرب طرفي المعادلة في ٤١، فيصبح لدينا ﺃﺹ يساوي سالب ٤١ على اثنين. وأخيرًا، لدينا جتا ٦٠ درجة، أي الزاوية 𝛾، يساوي ﺃ ﻉ مقسومًا على ٤١. وعليه، فإن ﺃ ﻉ يساوي ٤١ مضروبًا في جتا ٦٠ درجة، وهو ما يساوي ٤١ على اثنين. هذا يعني أن مركبات المتجه ﺃ هي سالب ٤١ جذر اثنين على اثنين، سالب ٤١ على اثنين، ٤١ على اثنين. إذن، هذا هو المتجه الذي مقداره أو معياره ٤١ وقياسات زوايا اتجاهه هي ١٣٥ درجة و١٢٠ درجة و٦٠ درجة.

قبل الانتقال إلى المثال التالي، سنتناول صيغة تربط بين جيوب تمام الاتجاه. ‏‏جتا تربيع 𝛼 زائد جتا تربيع 𝛽 زائد جتا تربيع 𝛾 يساوي واحدًا. في ضوء ما نعرفه عن جيوب تمام الاتجاه، دعونا نفكر في سبب صحة ذلك. نحن نعلم أن جتا 𝛼 وجتا 𝛽 وجتا 𝛾 يساوي ما هو موضح. بتربيع طرفي هذه المعادلة، نجد أن جتا تربيع 𝛼 يساوي ﻡﺱ تربيع مقسومًا على مقدار ﻡ تربيع. وبتكرار الأمر نفسه مع المعادلتين الأخريين، نحصل على جتا تربيع 𝛽 يساوي ﻡﺹ تربيع على مقدار ﻡ تربيع وجتا تربيع 𝛾 يساوي ﻡﻉ تربيع على مقدار ﻡ تربيع.

يمكننا الآن جمع المقادير الثلاثة في الطرف الأيسر، بحيث يساوي هذا جتا تربيع 𝛼 زائد جتا تربيع 𝛽 زائد جتا تربيع 𝛾. وبما أن الكسور الثلاثة لها المقام نفسه، فإن هذا يساوي ﻡﺱ تربيع زائد ﻡﺹ تربيع زائد ﻡﻉ تربيع الكل مقسومًا على مقدار ﻡ تربيع. إننا نعلم أن مقدار ﻡ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻡﺱ تربيع زائد ﻡﺹ تربيع زائد ﻡﻉ تربيع.

بتربيع طرفي هذه المعادلة، نحصل على مقدار ﻡ تربيع يساوي ﻡﺱ تربيع زائد ﻡﺹ تربيع زائد ﻡﻉ تربيع. وبالتعويض بذلك في المقدار لدينا، نحصل على مقدار ﻡ تربيع على مقدار ﻡ تربيع. نحن نعلم أن قسمة أي كمية قياسية على نفسها تعطينا واحدًا. إذن، هذا يثبت أن جتا تربيع 𝛼 زائد جتا تربيع 𝛽 زائد جتا تربيع 𝛾 يساوي واحدًا. سنستخدم هذه المعادلة لمساعدتنا في حل المسألة التالية.

نفترض أن ٣١ درجة و٦٥ درجة و𝜃 هي زوايا اتجاه متجه. أي مما يلي قياس الزاوية 𝜃 لأقرب جزء من مائة؟ (أ) ٧٢٫٨٨ درجة، أم (ب) ٨٤٫٠٠ درجة، أم (ج) ٨٥٫٠٣ درجة، أم (د) ٢٦٤٫٠٠ درجة.

إننا نتذكر أنه إذا كانت زوايا اتجاه المتجه الثلاثة هي 𝛼 و𝛽 و𝛾، فإن جتا تربيع 𝛼 زائد جتا تربيع 𝛽 زائد جتا تربيع 𝛾 يساوي واحدًا. إذن، في هذا السؤال، سنعوض بـ 𝛼 يساوي ٣١ درجة، و𝛽 يساوي ٦٥ درجة، و𝛾 يساوي 𝜃. وهذا يعطينا المعادلة الموضحة. إننا نتذكر أن جتا تربيع ٣١ درجة يساوي جتا ٣١ درجة الكل تربيع. هذه هي طريقة كتابة ذلك على الآلة الحاسبة العلمية. ‏‏جتا تربيع ٣١ درجة زائد جتا تربيع ٦٥ درجة يساوي ٠٫٩١٣٣٤ وهكذا مع توالي الأرقام. يمكننا بعد ذلك طرح هذا من طرفي المعادلة، فنحصل على جتا تربيع 𝜃 يساوي ٠٫٠٨٦٦٥ وهكذا مع توالي الأرقام.

سنحسب بعد ذلك الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة. ‏‏جتا 𝜃 يساوي ٠٫٢٩٤٣٧ وهكذا مع توالي الأرقام. وأخيرًا، نحسب الدالة العكسية لـ جتا لكلا الطرفين، حيث نحصل على 𝜃 تساوي ٧٢٫٨٧٩٧ وهكذا مع توالي الأرقام. إننا نريد الإجابة لأقرب جزء من مائة. هذا يعني أن العدد تسعة في خانة الجزء من ألف هو العدد المحدد. وبالتقريب لأعلى، نحصل على ٧٢٫٨٨ درجة. إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار (أ). قياسات زوايا اتجاه المتجه الثلاثة هي ٣١ درجة و٦٥ درجة و٧٢٫٨٨ درجة.

في السؤال التالي، علينا إيجاد جيوب تمام الاتجاه لمتجه.

أوجد جيوب تمام الاتجاه للمتجه ﺃ الذي مركباته خمسة، اثنان، ثمانية.

إننا نتذكر أنه إذا كانت مركبات المتجه ﻡ هي ﻡﺱ، ﻡﺹ، ﻡﻉ، وزوايا الاتجاه هي 𝛼 و𝛽 و𝛾، فإن جيوب تمام الاتجاه جتا 𝛼 وجتا 𝛽 وجتا 𝛾 تساوي ﻡﺱ على مقدار ﻡ، وﻡﺹ على مقدار ﻡ، وﻡﻉ على مقدار ﻡ، على الترتيب، حيث مقدار المتجه ﻡ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻡﺱ تربيع زائد ﻡﺹ تربيع زائد ﻡﻉ تربيع.

في هذا السؤال، علمنا أن مركبات المتجه ﺃ هي خمسة، اثنان، ثمانية. إذن، مقدار المتجه ﺃ يساوي الجذر التربيعي لخمسة تربيع زائد اثنين تربيع زائد ثمانية تربيع. خمسة تربيع يساوي ٢٥، واثنان تربيع يساوي أربعة، وثمانية تربيع يساوي ٦٤. وبجمع هذه القيم الثلاثة، نحصل على الناتج ٩٣. إذن، مقدار المتجه ﺃ يساوي الجذر التربيعي لـ ٩٣. وهذا يعني أن جتا 𝛼 يساوي خمسة على الجذر التربيعي لـ ٩٣، وجتا 𝛽 يساوي اثنين على الجذر التربيعي لـ ٩٣، وأخيرًا، جتا 𝛾 يساوي ثمانية على الجذر التربيعي لـ ٩٣. إذن، جيوب تمام الاتجاه للمتجه ﺃ هي خمسة على الجذر التربيعي لـ ٩٣، واثنان على الجذر التربيعي لـ ٩٣، وثمانية على الجذر التربيعي لـ ٩٣.

في السؤال الأخير، علينا حساب قياسات زوايا الاتجاه في مسألة هندسية.

أوجد قياسات زوايا الاتجاه للمتجه ﻕ، الممثلة في الشكل الآتي، مقربًا الناتج لأقرب منزلة عشرية.

سنبدأ بكتابة المتجه ﻕ بدلالة مركباته الثلاثة. في الاتجاه ﺱ، نتحرك بمقدار ثمانية سنتيمترات. إذن، المركبة ﺱ للمتجه تساوي ثمانية. وفي الاتجاه ﺹ، نتحرك بمقدار ١٩ سنتيمترًا. إذن، المركبة ﺹ للمتجه ﻕ تساوي ١٩. وفي الاتجاه ﻉ، نتحرك بمقدار تسعة سنتيمترات. إذن، المركبة ﻉ تساوي تسعة. ومن ثم، المتجه ﻕ يساوي ثمانية، ١٩، تسعة. ومقدار المتجه ﻕ يساوي الجذر التربيعي لثمانية تربيع زائد ١٩ تربيع زائد تسعة تربيع، حيث نعلم أن مقدار أي متجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربع كل مركبة على حدة.

ثمانية تربيع زائد ١٩ تربيع زائد تسعة تربيع يساوي ٥٠٦. وعليه، فإن مقدار المتجه ﻕ يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٠٦. مطلوب منا إيجاد قياسات زوايا الاتجاه. وهي تسمى عادة 𝛼 و𝛽 و𝛾، حيث 𝛼 هي الزاوية المحصورة بين المحور ﺱ والمتجه ﻕ، و𝛽 هي الزاوية المحصورة بين المحور ﺹ والمتجه ﻕ، وأخيرًا، 𝛾 هي الزاوية المحصورة بين المحور ﻉ والمتجه ﻕ.

في ضوء ما نعرفه عن جيوب تمام الاتجاه، نحن نعلم أن 𝛼 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ﻕﺱ على مقدار ﻕ، و𝛽 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ﻕﺹ على مقدار ﻕ، و𝛾 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ﻕﻉ على مقدار ﻕ، حيث ﻕﺱ، ﻕﺹ، ﻕﻉ هي المركبات الثلاثة للمتجه ﻕ. سنفرغ الآن بعض المساحة لحساب هذه القيم.

الزاوية 𝛼 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ثمانية على الجذر التربيعي لـ ٥٠٦. وهذا يساوي ٦٩٫١٦٧١ وهكذا مع توالي الأرقام. بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، نجد أن قياس الزاوية 𝛼 يساوي ٦٩٫٢ درجة. الزاوية 𝛽 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ١٩ على الجذر التربيعي لـ ٥٠٦. وهذا يساوي ٣٢٫٣٦٥٢ وهكذا مع توالي الأرقام. بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، نحصل على ٣٢٫٤ درجة. الزاوية 𝛾 تساوي الدالة العكسية لـ جتا تسعة على الجذر التربيعي لـ ٥٠٦. وهذا يساوي ٦٦٫٤١٥٦ وهكذا مع توالي الأرقام. بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، نجد أن قياس الزاوية 𝛾 يساوي ٦٦٫٤ درجة. يمكن أيضًا كتابة الزوايا 𝛼 و𝛽 و𝛾 على الصورة 𝜃ﺱ، و𝜃ﺹ، و𝜃ﻉ. إذن، في هذا السؤال، قياسات هذه الزوايا هي ٦٩٫٢ درجة و٣٢٫٤ درجة و٦٦٫٤ درجة على الترتيب.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. زوايا الاتجاه — التي يشار إليها عادة بـ 𝛼 و𝛽 و𝛾 — هي الزوايا المحصورة بين المتجه والمحاور ﺱ وﺹ وﻉ على الترتيب. وجيوب تمام الاتجاه لأي متجه تكون على الصورة جتا 𝛼 يساوي ﻡﺱ مقسومًا على مقدار المتجه ﻡ، وجتا 𝛽 يساوي ﻡﺹ على مقدار المتجه ﻡ، وجتا 𝛾 يساوي ﻡﻉ على مقدار المتجه ﻡ، حيث ﻡﺱ، ﻡﺹ، ﻡﻉ هي مركبات المتجه في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ.

مقدار المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربع كل مركبة على حدة. لقد أثبتنا أيضًا في هذا الفيديو أن مجموع مربعات جيوب تمام الاتجاه يساوي واحدًا. ‏‏جتا تربيع 𝛼 زائد جتا تربيع 𝛽 زائد جتا تربيع 𝛾 يساوي واحدًا. يمكننا استخدام هذه المعادلات لإيجاد قياسات زوايا الاتجاه أو جيوب تمام الاتجاه أو أي قيم مجهولة أخرى.