فيديو: الانتقال الرأسي للتمثيل البياني للدوال المثلثية

يوضِّح الفيديو الانتقال الرأسي للتمثيل البياني للدوال المثلثية عن طريق الإزاحة الرأسية للرسم، ويوضِّح الفرق بين الإزاحة الرأسية وإزاحة الطور، وتعريف خط الوسط.

٠٩:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على الانتقال الرأسي للتمثيل البياني للدوال المثلثية. هنعرف إزّاي ننقل تمثيل بياني لدالة مثلثية إلى أعلى، أو إلى أسفل. وطبعًا الانتقال ده معناه إن الدالة بتتنقل بنفس الشكل، وما بيتغيّرش اتجاهاتها؛ بس إلى أعلى أو إلى أسفل، اللي هو الانتقال الرأسي.

طيّب رسم الدالة: ص تساوي س تربيع زائد اتنين. هو عبارة عن رسم الـ ص تساوي س تربيع، اللي هي الدالة الرئيسية الأم، منقولة بمقدار وحدتين إلى أعلى محور السينات. نفس الكلام ده بنعمله في الدوال المثلثية؛ بيتمّ نقلها رأسيًّا عن طريق الإزاحة الرأسية للرسم.

الإزاحة الرأسية للدالة: ص تساوي أ جا ب 𝜃، زائد ك. أو ص تساوي أ جتا ب 𝜃، زائد ك. أو ص تساوي أ ظا ب 𝜃، زائد ك. قيمة ك دي هو قيمة الإزاحة الرأسية، اللي هتتمثّل في الرسم بالشكل اللي إحنا هنرسمه ده.

زيّ ما إحنا شايفين فيه رسم لونه أحمر، الخط المستمر ده. ده بيمثّل الدالة الرئيسية، اللي هي الدالة الأم، اللي هي: ص تساوي جتا 𝜃. لمّا هنعمل لها انتقال رأسي بمقدار ك؛ بحيث إن الـ ك كانت أصغر من الصفر، الرسم هينزل إلى أسفل. لكن لو عملنا للـ ص جتا 𝜃 انتقال رأسي بمقدار فوق ك أكبر من الصفر، يبقى هيحصل انتقال رأسي إلى أعلى.

يبقى قيمة الـ ك هي اللي مسئولة عن الإزاحة الرأسية للدالة؛ وإشارتها بتبقى مسئولة عن الاتجاه لأعلى، أو إلى أسفل. يبقى زيّ ما إحنا شايفين لو كانت ك أصغر من الصفر، فإن الإزاحة تكون إلى أسفل. وإذا كانت الـ ك أكبر من الصفر، فإن الإزاحة تكون إلى أعلى.

لو عندنا ص تساوي جا 𝜃، زائد أربعة؛ يبقى حصل انتقال رأسي بمقدار أربع وحدات إلى أعلى. لكن لو كانت ص تساوي ظا 𝜃، ناقص تلاتة؛ يبقى حصل انتقال أفقي إلى أسفل بمقدار تلات وحدات.

ناخد بالنا من نقطة مهمة جدًّا. الفرق ما بين جا، 𝜃 زائد س؛ وَ جا 𝜃 لوحدها، زائد س. 𝜃 زائد س جوّه قوسين؛ أو جا 𝜃، زائد س، وما فيش أقواس. القيمة دي لا تساوي القيمة دي؛ لأن الأولانية بتبقى معناها إزاحة للطور بتاع الدالة. لكن جا 𝜃، زائد س، من غير أقواس، ده بيمثّل الإزاحة الرأسية اللي هي إلى أعلى، أو إلى أسفل. لكن إزاحة الطور دي بتبقى لليمين أو للشِّمال، ودي لأعلى أو إلى أسفل. نقلب الصفحة، وناخد مفهوم كمان.

عند انتقال الدالة المثلثية رأسيًّا بمقدار ثابت ك. فإن الخط ص يساوي ك هو المحور الأفقي الجديد الذي يتذبذب عليه الدالة، ويسمّى: «خط الوسط». وبيتمّ استخدامه لرسم الانتقال الرأسي للتمثيل البياني.

يعني الدالة الأساسية اللي عندنا: ص تساوي جتا 𝜃 دي، لمّا هيحصل انتقال رأسي بمقدار الـ ك. الأولانية كان خط الوسط بتاعها، اللي بتتذبذب عليه الدالة، كان هو محور 𝜃. لكن بعد كده لمّا هننقل يبقى خط الوسط، اللي هو هيقسم الدالة هنا ده. هو اللي هيبقى المحور الجديد للدالة: ص تساوي جتا 𝜃، زائد ك. وده الخط يساوي ص يساوي ك، ده بيساعدنا في رسم الانتقال الرأسي للتمثيل البياني، وده اللي هنقلب الصفحة ونشوفه في مثال.

اوجد: السعة، وطول الدورة، والإزاحة الرأسية، ومعادلة خط الوسط؛ للدالة: ص تساوي نُصّ جتا 𝜃، ناقص اتنين. ثم ارسم الدالة.

السعة هنا هتبقى قيمتها اللي هو الرقم اللي بيبقى مضروب في الـ جتا 𝜃، يبقى السعة هتساوي نُصّ. القيمة المطلقة للـ أ دي السعة. طيّب وطول الدورة بيساوي تلتمية وستين درجة على القيمة المطلقة للـ ب. والـ ب دي اللي بتبقى مضروبة جوّه الـ جتا؛ يعني هنا هتبقى الـ ب تساوي واحد. يبقى تلتمية وستين درجة هو طول الدورة بتاعتنا.

بعد كده الإزاحة الرأسية، اللي هي قيمة الـ ك هنا عندنا. الـ ك هتساوي سالب اتنين، اللي هي الإزاحة الرأسية. يبقى خط الوسط، اللي هو ص يساوي ك، هيساوي سالب اتنين. يبقى المعادلة بتاعة خط الوسط هتبقى: ص تساوي سالب اتنين.

عشان نرسم: ص تساوي نُصّ جتا 𝜃، ناقص اتنين؛ هنرسمه على مراحل. أول حاجة هنرسم الدالة الرئيسية الأم اللي هي جتا 𝜃. زيّ ما إحنا شايفين كده دي جتا 𝜃؛ ص تساوي جتا 𝜃. وبعد كده هنضرب الـ جتا في القيمة اللي هي المعامل بتاعها، اللي هو النُّص. يعني هنرسم رسم هيبقى أصغر؛ يعني القيمة العظمى بتاعته بدل ما كانت واحد هتبقى النُّص.

زيّ ما إحنا شايفين كده هنا كانت دي قيمته … الارتفاع بتاعه واحد، هنا بقى الارتفاع نُصّ. ونفس الكلام هنا تحت يبقى سالب نُصّ، ودي واحد. يبقى الرسم التاني ده، اللي هو المنقّط لونه أزرق، ده ص تساوي نُصّ في جتا 𝜃.

تالت خطوة هنحقّق بقى اللي هو الإزاحة الرأسية، اللي هي قيمتها سالب اتنين. يبقى الـ ك أصغر من الصفر، اللي هي لأن الـ ك تساوي سالب اتنين، يبقى الإزاحة هتبقى إلى أسفل. وعلشان نعرف نرسمها هنرسم خط الوسط، اللي هو ص يساوي سالب اتنين.

يبقى زيّ ما إحنا شايفين كده رسمنا الخط ص يساوي سالب اتنين. وبعد كده هننقل الرسم، اللي لونه أزرق منقّط ده، هننقله يبقى الخط الوسط له هو الـ ص يساوي سالب اتنين. نقلب الصفحة، ونشوف الرسم النهائي بتاعنا هيبقى شكله عامل إزّاي.

يبقى كده زيّ ما إحنا شايفين الأزرق، اللي هو خط متّصل ده. بيمثّل الدالة اللي إحنا كنا عايزين نرسمها، اللي هي: ص تساوي نُصّ جتا 𝜃، ناقص اتنين. يبقى أول خطوة عندنا: رسمنا الدالة الرئيسية اللي هي الدالة الأم. تاني خطوة: معامل نضربه في الدالة الرئيسية، ونرسمها. وبعد كده تالت حاجة: نعمل خط الوسط؛ نرسمه. وبعد كده رابع خطوة: ننقل الدالة على خط الوسط؛ زيّ ما إحنا شايفين في الرسم كده.

يبقى كانت الأولانية رسمنا ص تساوي جتا 𝜃. وبعدين رسمنا ص تساوي نُصّ جتا 𝜃. وبعدين رسمنا ص تساوي سالب اتنين. وبعدين ص تساوي نُصّ جتا 𝜃، ناقص اتنين؛ وهي دي الدالة اللي كنا عايزين نرسمها.

يبقى عرفنا في الفيديو ده إزّاي هننقل التمثيل البياني للدوال المثلثية رأسيًّا؛ باستخدام ثابت ك. اللي كان بيأثّر على إن الدالة يا إمّا تتنقل إلى أعلى، أو إلى أسفل. وعرفنا يعني إيه خط الوسط.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.