فيديو الدرس: خواص معكوس المصفوفة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نستخدم بعض خواص معكوس المصفوفة. حسنًا، من المؤكد أنك في هذه المرحلة على دراية بإيجاد المحدد ومعكوس المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين والمصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. قبل أن نبدأ، دعونا نسترجع ما نعنيه بمصفوفة الوحدة؛ إنها المصفوفة التي يكون كل عنصر من عناصر قطرها الرئيسي، أي القطر من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار، هو العدد واحد، وباقي عناصرها تكون أصفارًا. وعليه، تكون عناصر مصفوفة الوحدة من الرتبة اثنين في اثنين هي: واحد، صفر، صفر، واحد. وعناصر مصفوفة الوحدة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة هي: واحد، صفر، صفر، صفر، واحد، صفر، صفر، صفر، واحد.

تذكر أن المصفوفة المربعة ﺃ تكون قابلة للعكس إذا وجد معكوس المصفوفة ﺃ؛ حيث المصفوفة ﺃ مضروبة في معكوس المصفوفة ﺃ تساوي معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في المصفوفة ﺃ، وهذا يعطينا مصفوفة الوحدة. إذن، ما يمكننا استنتاجه من هذا التعريف هو أنه إذا كانت المصفوفة ﺏ هي معكوس المصفوفة ﺃ، فإن حاصل الضرب ﺃﺏ وحاصل الضرب ﺏﺃ يعطياننا مصفوفة الوحدة. ويمكننا استخدام ذلك للتحقق مما إذا كان كل من المصفوفتين ﺃ وﺏ معكوسًا للأخرى.‎

حسنًا، دعونا الآن نستعرض خواص معكوس المصفوفة. من خلال تعريف معكوس المصفوفة، نجد أن معكوس معكوس المصفوفة ﺃ يساوي المصفوفة ﺃ. لدينا بعد ذلك معكوس حاصل الضرب ﺃﺏ يساوي معكوس المصفوفة ﺏ مضروبًا في معكوس المصفوفة ﺃ. علينا أن ننتبه جيدًا هنا لأنه قد يكون من السهل الاعتقاد بأن هذا هو معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في معكوس المصفوفة ﺏ. ونحن نعلم أن ضرب المصفوفات ليس عملية إبدالية.

يمكننا تقديم برهان سريع من شأنه توضيح ذلك. تذكر أننا قلنا إننا إذا ضربنا مصفوفة في معكوسها، فإننا نحصل على مصفوفة الوحدة. لذا، إذا ضربنا المصفوفة ﺃﺏ في معكوسها، وهو معكوس المصفوفة ﺏ مضروبًا في معكوس المصفوفة ﺃ، فإنه ينبغي أن نحصل على مصفوفة الوحدة. دعونا نتحقق من ذلك. وفقًا لخاصية الدمج لعملية ضرب المصفوفات، نجد أن هذا هو نفسه المصفوفة ﺃ مضروبة في المصفوفة ﺏ مضروبة في معكوس المصفوفة ﺏ مضروبة في معكوس المصفوفة ﺃ. ونحن نعلم أن ضرب المصفوفة ﺏ في معكوس المصفوفة ﺏ لا بد من أن يعطينا مصفوفة الوحدة، وذلك وفقًا لتعريف المصفوفة القابلة للعكس. حسنًا، لدينا إذن المصفوفة ﺃ مضروبة في مصفوفة الوحدة مضروبة في معكوس المصفوفة ﺃ. لكن ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة يعطينا المصفوفة نفسها. إذن، هذا يساوي المصفوفة ﺃ مضروبة في معكوس المصفوفة ﺃ. مرة أخرى، من تعريف المصفوفة القابلة للعكس، نجد أن المصفوفة ﺃ مضروبة في معكوس المصفوفة ﺃ تعطينا مصفوفة الوحدة.

إذن، بضرب ﺃﺏ في معكوسها، أي معكوس المصفوفة ﺏ مضروبًا في معكوس المصفوفة ﺃ، وحصولنا على مصفوفة الوحدة، أوضحنا أن معكوس المصفوفة ﺏ مضروبًا في معكوس المصفوفة ﺃ يساوي بالتأكيد معكوس ﺃﺏ. ولإثبات ذلك بشكل قاطع، يمكننا أن نوضح بنفس الطريقة أن معكوس المصفوفة ﺏ مضروبًا في معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في ﺃﺏ يعطينا أيضًا مصفوفة الوحدة.

هيا نتابع ونتناول الخاصية الثالثة لمعكوس المصفوفة. معكوس مدور المصفوفة ﺃ يساوي مدور معكوس المصفوفة ﺃ. تذكر أن الحرف مد هنا يعني مدور المصفوفة. وأننا ندور أي مصفوفة بجعل الصفوف أعمدة والأعمدة صفوفًا. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا المصفوفة ﺃ وعناصرها هي: واحد، أربعة، ستة، اثنان، فإن مدور المصفوفة ﺃ تكون عناصره: واحدًا، ستة، أربعة، اثنين. مرة أخرى، يمكننا التحقق من هذه النتيجة لأننا نعلم أنه يمكننا ضرب مصفوفة في معكوسها للحصول على مصفوفة الوحدة. إذن، إذا ضربنا مدور المصفوفة ﺃ في معكوسه، وهو مدور معكوس المصفوفة ﺃ، فإننا نحصل على مصفوفة الوحدة.

للمتابعة من هنا، سنسترجع خاصية مدور المصفوفة. مدور ﺃﺏ يساوي مدور المصفوفة ﺏ مضروبًا في مدور المصفوفة ﺃ. وذلك يعني أن هذا يساوي معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في مدور المصفوفة ﺃ. لكن من خلال تعريف معكوس المصفوفة، نجد أن معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في المصفوفة ﺃ يعطينا مصفوفة الوحدة. وبذلك، نحصل على مدور مصفوفة الوحدة. لكن إذا قمنا بتدوير مصفوفة الوحدة، فلن نحصل إلا على مصفوفة الوحدة. وبذلك نكون قد أوضحنا أن ضرب مدور المصفوفة ﺃ في مدور معكوس المصفوفة ﺃ يعطينا مصفوفة الوحدة، مما يؤكد هذه الخاصية. ولتأكيد ذلك باستخدام طريقة مشابهة، يمكننا توضيح أن مدور معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في مدور المصفوفة ﺃ يعطينا أيضًا مصفوفة الوحدة.

وأخيرًا، لدينا معكوس المصفوفة ﺃ أس ﻥ يساوي معكوس المصفوفة ﺃ مرفوعًا للقوة ﻥ. مرة أخرى، يمكننا توضيح ذلك بإثبات أن المصفوفة ﺃ أس ﻥ مضروبة في معكوس المصفوفة ﺃ أس ﻥ يعطينا مصفوفة الوحدة. نلاحظ هنا أنه سيكون بإمكاننا الإقران بين عدد من المصفوفات ﺃ ومعكوساتها. وفي كل مرة نفعل ذلك، نحصل على مصفوفة الوحدة. إننا نعلم أن عدد المصفوفات ﺃ يجب أن يساوي عدد معكوساتها. إذن، من خلال الإقران بينها وضربها معًا، نجد أن الناتج سيكون مصفوفة الوحدة. وبنفس الطريقة، يمكننا إثبات أن معكوس المصفوفة ﺃ أس ﻥ مضروبًا في المصفوفة ﺃ أس ﻥ يعطينا أيضًا مصفوفة الوحدة. دعونا نر الآن كيف يمكننا استخدام هذه الخواص للإجابة عن بعض الأسئلة.

إذا كانت ﺃ مصفوفة، فأي مما يأتي يساوي مربع معكوس ﺃ؟ ‏ﺃ أس نصف، أم ﺃ تربيع، أم معكوس ﺃ أس نصف، أم معكوس ﺃ تربيع.

حسنًا، يمكننا الإجابة عن هذا السؤال بتذكر خاصية معكوس المصفوفة. وهي أن معكوس ﺃ أس ﻥ يساوي معكوس ﺃ مرفوعًا للقوة ﻥ؛ حيث ﻥ عدد صحيح موجب. إذن، بوضع هذا في الاعتبار، يمكننا قول إن مربع معكوس ﺃ يساوي معكوس ﺃ تربيع. لكن دعونا نتحقق من هذه العلاقة على سبيل التأكد فقط. لقد وجدنا أن معكوس ﺃ تربيع يساوي مربع معكوس ﺃ. ونحن نعرف أننا إذا ضربنا مصفوفة في معكوسها، فإننا نحصل على مصفوفة الوحدة. لذا دعونا نتحقق من ذلك.

إذا ضربنا المصفوفة ﺃ تربيع في معكوسها، أي مربع معكوس ﺃ، فينبغي أن نحصل على مصفوفة الوحدة. يمكننا كتابة ذلك على الصورة: ﺃ مضروبًا في ﺃ مضروبًا في معكوس ﺃ مضروبًا في معكوس ﺃ. وبسبب خاصية الدمج لعملية ضرب المصفوفات، يمكننا كتابتها بهذه الطريقة. إننا نعلم أن ﺃ مضروبًا في معكوس ﺃ يعطينا مصفوفة الوحدة. ونعلم أن ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة يعطينا المصفوفة نفسها. إذن، هذا يساوي ﺃ مضروبًا في معكوس ﺃ، وهو ما يعطينا مصفوفة الوحدة.

إذا كانت ﺃ مصفوفة، فأي مما يأتي يساوي مدور معكوس ﺃ؟

تذكر أن مد هنا يعني مدور المصفوفة. هذا يعني أن الصفوف تصبح أعمدة والأعمدة تصبح صفوفًا. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا المصفوفة ﺱ تساوي اثنين، واحدًا، ستة، سبعة، فإن مدور المصفوفة ﺱ يساوي اثنين، ستة، واحدًا، سبعة. حسنًا، للإجابة عن هذا السؤال، سنسترجع خاصية معكوس المصفوفة. وهي أن معكوس مدور المصفوفة ﺃ يساوي مدور معكوس المصفوفة ﺃ. وهذا يوضح أن الإجابة هي الخيار الأول. مدور معكوس المصفوفة ﺃ يساوي معكوس مدور المصفوفة ﺃ. إذن هذا يوضح أننا إذا أوجدنا معكوس المصفوفة ﺃ، ثم قمنا بتدويره، فهذه هي نفس النتيجة التي نحصل عليها إذا أوجدنا مدور المصفوفة ﺃ، ثم أوجدنا معكوسه.

‏ﺃ تساوي سالب ثلاثة، واحدًا، سالب اثنين، خمسة، مصفوفة. أوجد معكوس معكوس المصفوفة ﺃ.

حسنًا، سنسترجع تعريف معكوس المصفوفة ﺃ؛ إنه المصفوفة التي يكون فيها ﺃ مضروبًا في معكوس المصفوفة ﺃ يساوي مصفوفة الوحدة. إننا لدينا بالفعل طريقة لإيجاد معكوس مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين. وهي أنه إذا كانت المصفوفة ﺱ تساوي ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، فإن معكوس المصفوفة ﺱ يساوي واحدًا على ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ مضروبًا في المصفوفة ﺩ، سالب ﺏ، سالب ﺟ، ﺃ. إذن لإيجاد معكوس معكوس ﺃ، يمكننا استخدام هذه الطريقة لإيجاد معكوس ﺃ ثم استخدام هذه الطريقة مرة أخرى لإيجاد معكوس ذلك المعكوس.

لكننا لدينا خاصية واحدة لمعكوس المصفوفة يمكن أن تساعدنا في فعل ذلك بشكل أسرع قليلًا. وهي أن معكوس معكوس المصفوفة ﺃ يساوي المصفوفة ﺃ. إذا أوجدنا معكوس مصفوفة ما، ثم أوجدنا معكوس المصفوفة الناتجة، فسنحصل على المصفوفة الأصلية. إذن، معكوس معكوس المصفوفة ﺃ يساوي المصفوفة ﺃ التي عناصرها هي: سالب ثلاثة، واحد، سالب اثنين، خمسة.

إذا كانت لدينا المصفوفتان ﺃ وﺏ؛ حيث ﺃ تساوي واحدًا، سالب اثنين، ثلاثة، صفرًا، سالب واحد، أربعة، صفرًا، صفرًا، واحدًا وﺏ تساوي واحدًا، سالب اثنين، خمسة، صفرًا، سالب واحد، أربعة، صفرًا، صفرًا، واحدًا، فأوجد ﺃﺏ. والجزء الثاني من السؤال هو: دون إجراء المزيد من الحسابات، أوجد معكوس المصفوفة ﺃ.

حسنًا، أول ما سنفعله هنا هو إيجاد حاصل الضرب ﺃﺏ. باستخدام الطريقة المعتادة لضرب مصفوفتين من الرتبة ثلاثة في ثلاثة معًا، نجد أن ﺃﺏ يساوي واحدًا، صفرًا، صفرًا، صفرًا، واحدًا، صفرًا، صفرًا، صفرًا، واحدًا. ونلاحظ أن هذه هي مصفوفة الوحدة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. إذن ما الذي يعنيه هذا للمصفوفتين ﺃ وﺏ؟

حسنًا، تعريف معكوس المصفوفة؛ أي معكوس ﺃ، هو أن ﺃ مضروبًا في معكوس ﺃ يساوي مصفوفة الوحدة. وعليه، فإن حقيقة أننا وجدنا أن حاصل الضرب ﺃﺏ هو مصفوفة الوحدة، تعني أن المصفوفة ﺏ يجب أن تكون معكوس المصفوفة ﺃ.

الجزء الثاني من السؤال هو: دون إجراء المزيد من الحسابات، أوجد معكوس المصفوفة ﺃ. حسنًا، بما أنه عند إيجاد حاصل الضرب ﺃﺏ نحصل على مصفوفة الوحدة، فهذا يعني أن المصفوفة ﺏ هي معكوس ﺃ. إذن، معكوس ﺃ يساوي المصفوفة ﺏ، وعناصرها هي: واحد، سالب اثنين، خمسة، صفر، سالب واحد، أربعة، صفر، صفر، واحد.

إذا كان معكوس ﺃﺏ يساوي سدسًا مضروبًا في خمسة، سالب ثلاثة، سالب ٣٣، ٢١، والمصفوفة ﺃ تساوي سالب اثنين، سالب واحد، سالب ثلاثة، سالب اثنين، فأوجد معكوس ﺏ.

سنبدأ باسترجاع ما يعنيه معكوس المصفوفة. معكوس المصفوفة المربعة ﺃ، أي معكوس ﺃ، هو المصفوفة التي يكون فيها ﺃ مضروبًا في معكوس المصفوفة ﺃ يساوي مصفوفة الوحدة. وإحدى خواص معكوس المصفوفة التي ستكون مفيدة لنا هنا هي أن معكوس ﺃﺏ يساوي معكوس ﺏ مضروبًا في معكوس ﺃ. وبما أننا نعلم أن معكوس حاصل الضرب ﺃﺏ يساوي سدسًا مضروبًا في المصفوفة خمسة، سالب ثلاثة، سالب ٣٣، ٢١، فوفقًا لخاصية معكوس المصفوفة هذه، يمكننا قول إن هذا هو نفسه معكوس ﺏ مضروبًا في معكوس ﺃ. لكن كيف سيساعدنا ذلك في إيجاد معكوس ﺏ؟

حسنًا، هناك حيلة يمكننا تطبيقها هنا. وكل ما يتطلبه الأمر هو تذكر تعريف معكوس المصفوفة. يمكننا إيجاد معكوس ﺏ، معكوس ﺃ، ﺃ بضرب معكوس ﺏ، معكوس ﺃ في المصفوفة ﺃ من اليسار. لذا دعونا نضرب الآن هاتين المصفوفتين معًا لنرى ما سنحصل عليه. سنفعل ذلك بالطريقة المعتادة لضرب مصفوفتين من الرتبة اثنين في اثنين معًا. وبعد ذلك يمكننا تبسيط كل عنصر. ويصبح لدينا: سدس مضروبًا في المصفوفة سالب واحد، واحد، ثلاثة، سالب تسعة. نتذكر بعد ذلك أنه عندما تكون لدينا كمية قياسية مضروبة في مصفوفة، فإننا نضرب كل عنصر لدينا في هذه الكمية القياسية. وهذا يعطينا المصفوفة: سالب واحد على ستة، واحدًا على ستة، واحدًا على اثنين، سالب ثلاثة على اثنين. ولكن كيف ساعدنا ذلك في إيجاد معكوس المصفوفة ﺏ؟

حسنًا، ما توصلنا إليه هو معكوس المصفوفة ﺏ مضروبًا في معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في المصفوفة ﺃ. ووفقًا لتعريف معكوس المصفوفة، فإن معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في المصفوفة ﺃ يعطينا مصفوفة الوحدة. وعليه، فإن ما توصلنا إليه بالفعل هو معكوس المصفوفة ﺏ مضروبًا في مصفوفة الوحدة. لكن ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة يعطينا تلك المصفوفة. لذا، فإن ما توصلنا إليه هو معكوس المصفوفة ﺏ. إذن، باستخدام تعريف معكوس المصفوفة وإحدى خواص معكوس المصفوفة، تمكنا من إيجاد مجهول باستخدام معكوس المصفوفة.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. لأي مصفوفتين مربعتين ﺃ وﺏ، وجدنا أن معكوس معكوس المصفوفة ﺃ يساوي المصفوفة ﺃ. معكوس حاصل الضرب ﺃﺏ يساوي معكوس المصفوفة ﺏ مضروبًا في معكوس المصفوفة ﺃ. معكوس مدور المصفوفة ﺃ يساوي مدور معكوس المصفوفة ﺃ. لذا، سواء أقمنا بتدوير المصفوفة ثم إيجاد معكوس المدور أم بإيجاد معكوس المصفوفة أولًا ثم تدويره، فإننا نحصل على النتيجة نفسها. وأخيرًا، رفع المصفوفة ﺃ للقوة ﻥ ثم إيجاد معكوسها يعطينا نفس نتيجة إيجاد معكوس المصفوفة ﺃ ثم رفعه للقوة ﻥ. وهذا لأي عدد صحيح موجب ﻥ.