تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: التكامل المحدد باستخدام النهايات ومجموع ريمان

سوزان فائق

يوضح الفيديو كيفية إيجاد المساحة تحت أي منحنًى باستخدام مجموع ريمان، وتعريف التكامل المحدد، ومفكوك صيغ المجاميع لبعض الدوال، وأمثلة توضيحية.

١٧:٥٦

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم على التكامل المحدّد باستخدام النهايات، ومجموع ريمان. هنعرف يعني إيه التكامل المحدّد. وإزاي نحسب قيمته باستخدام مجموع ريمان، واستخدام خواص النهايات.

أول حاجة لازم نعرفها، إزاي بنوجد المساحة تحت أيّ منحنى. لإيجاد المساحة تحت أيّ منحنى، بيتمّ تقسيم المساحة إلى مستطيلات متساوية العرض، ومختلفة الارتفاعات؛ لتغطّي كل المساحة تحت المنحنى. وحساب مجموع مساحات المستطيلات؛ لتمثّل قيمة تقريبية للمساحة تحت المنحنى. وكلما قلّ عرض المستطيلات، فإن مساحتها الكلية بتقترب من المساحة الفعلية تحت المنحنى.

يعني في الرسم اللي قدامنا ده، الدالة ص تساوي د س. علشان نحسب المساحة تحت المنحنى، بينها وبين المحور س، بنقسّم المساحة لمستطيلات. في الشكل ده، إحنا قسّمنا واستخدمنا القاعدة للمستطيل من الطرف الأيمن. وخلّينا طرف كل مستطيل هو اللي موجود على المنحنى، من الناحية اليمنى للقاعدة. بعد كده بنجيب مساحات المستطيلات دي. كلها عرضها نفس العرض، كل العرض متساوي. لكن بيختلف طولها، اللي هو بيمثّل ارتفاع المستطيل ده، اللي هو بيمثّل قيمة الدالة عند مثلًا هنا د س واحد. هنا د س اتنين. وهكذا … بنحسب مجموع المساحات للمستطيلات. وبتبقى دي مساحة تقريبية لِمَا هو تحت المنحنى. ما بين المنحنى ومحور السينات.

العرض ده، اللي هو من س واحد لِـ س اتنين. ومن س اتنين لِـ س تلاتة. كل امّا بيقلّ ويقرب للصفر، بتبقى قيمة المساحات أقرب للقيمة الحقيقية. لأن المستطيلات دي، ساعات بيبقى فيه أجزاء صغيرة كده مش محسوبة. وفيه أجزاء بنزوّدها وما بتبقاش موجودة تحت المنحنى. فكل امّا يقلّ العرض، بيقلّ الزيادات دي. اللي هي المفروض ما اتحسبتش، أو اتحسبت بزيادة.

وعلشان كده، بنستنتج إن النهاية لمجموع مساحات المستطيلات، لمّا تقترب عرض المستطيل من الصفر. دي بتبقى مساحة دقيقة للمنطقة المحصورة ما بين المنحنى، ومحور الـ س. يبقى زيّ ما قلنا. نستنتج أن المساحة المطلوبة هي نهاية مجموع مساحات المستطيلات. عندما يقترب عرض كل مستطيل من الصفر.

في الرسم اللي قدامنا، قسّمنا الفترة من أ إلى ب، إلى ن من الفترات الجزئية، المتساوية الطول. يعني طول كل فترة، اللي هو من س واحد لِـ س اتنين. هو نفسه من س اتنين لِـ س تلاتة. وهكذا … طول الفترة علشان نحسبه من أ إلى ب، بنقول إنه هو ب ناقص الـ أ. وبذلك يكون طول كل فترة جزئية، اللي هو عرض كل مستطيل من المستطيلات التي عددها ن إنْ . هو ب ناقص الـ أ، على الـ ن اللي هو عدد المستطيلات. ويرمز له بالرمز Δ س.

وبما أن ارتفاع كل مستطيل بيساوي قيمة الدالة عند الطرف الأيمن لقاعدة المستطيل. فإن ارتفاع المستطيل الأول اللي هو د س واحد. وارتفاع المستطيل التاني د س اتنين. وهكذا يكون ارتفاع المستطيل الأخير د س ن. يبقى دلوقتي نقدر نحسب مساحة كل مستطيل، ونجمّعهم على بعض. هنحسب مساحة كل مستطيل، بأن إحنا هنضرب طول المستطيل، في عرض المستطيل. الطول اللي هو بيمثَّل بِـ د س ن. وعرض المستطيل اللي بيمثل بِـ Δ س.

هنقلب الصفحة. يبقى يمكن حساب مساحة كل مستطيل من خلال ضرب Δ س، في ارتفاع ذلك المستطيل. أيّ أن مساحة المستطيل الأول د س واحد، في Δ س. مساحة المستطيل التاني د س اتنين، في Δ س. وهكذا … يبقى تُعطى المساحة الكلية للمستطيلات بمجموع مساحتها. اللي هي هتساوي د س واحد، في Δ س. زائد د س اتنين، في Δ س. زائد … زائد … لغاية ما هنوصل لِـ د س ن، في Δ س.

لو أخدنا Δ س مشترك. يبقى المساحة الكلية هتساوي Δ س في؛ د س واحد زائد د س اتنين، زائد د س تلاتة … وهكذا لغاية ما هنوصل لِـ د س ن. اللي لو استخدمنا رمز المجموع اللي هو ده. بيمثِّل المجموع من هـ تساوي واحد إلى ن، لِـ د س هـ. وهنضرب برّه في Δ س.

من خواصّ رمز المجموع ده، إن أنا أقدر أدخّل Δ س جوّه. طالما ما فيش فيها الـ هـ؛ يعني ما فيش فيها قيمة الـ هـ متغير. يبقى نقدر نقول إن ده كله هيساوي مجموع من هـ يساوي واحد لِـ ن، لِـ د س هـ، مضروبة في Δ س.

هنا محتاجين نعرف قيمة الـ س هـ تتحسب إزاي. والـ Δ س تتحسب إزاي. ولتسهيل الحسابات، بنستخدم خط الأعداد بالشكل ده. هنقسّم من أ إلى ب؛ س واحد، س اتنين، س تلاتة. كل واحدة ما بينهم، بينها وبين التانية Δ س متساوية. يبقى الـ س واحد هنا بتمثِّل أ زائد واحدة من الـ Δ س. طيب الـ Δ س اتنين هتساوي أ زائد اتنين من الـ Δ س. س تلاتة هتساوي أ زائد تلاتة Δ س. يبقى س تلاتة، هنضرب هنا في تلاتة. س اتنين، هنضرب هنا في اتنين. يبقى س هـ، هتبقى أ زائد الـ هـ مضروبة في الـ Δ س. وآخر واحدة اللي هي الـ ب، هتبقى أ زائد … هنا قيمة الـ ن، يبقى الـ ن في الـ Δ س.

يبقى كده الـ س هـ هتساوي الـ أ زائد، الـ هـ مضروبة في الـ Δ س. وقبل كده حسبنا قيمة الـ Δ س، كانت بتساوي نهاية الفترة ناقص بداية الفترة، على عدد الفترات اللي هنقسّمها. اللي هي ب ناقص الـ أ، على الـ ن. يبقى علشان نحسب قيمة المجموع دي، عندنا من الـ هـ تساوي واحد للـ ن. والـ س هـ نعوّض بيها في الـ د س. والـ Δ س عرفنا نجيب قيمتها إزاي. الكلام ده كله هيوصّلنا يعني إيه التكامل المحدّد؟

دلوقتي إحنا عندنا مستطيلات، والمساحة الكلية بتاعتهم. لو قلّلنا عرض المستطيل، لغاية ما يقرب للصفر. عدد المستطيلات هيزيد معانا أوي أوي، لغاية ما يقترب من عدد المالانهاية. يبقى لو جِبنا نهاية العدد اللي هنقسّم … اللي هو عدد المستطيلات، للمّا يقترب من المالانهاية. يبقى كده وصلنا لأدقّ قيمة للمساحة اللي تحت المنحنى. وهي دي تُسمى التكامل المحدّد.

نقلب الصفحة. يبقى كلما اقترب عرض المستطيل من الصفر، فإن عدد المستطيلات يقترب من المالانهاية. وتُسمى هذه النهاية، التكامل المحدّد. التكامل المحدّد للدالة د س، في الفترة المغلقة أ وَ ب، هو تكامل من أ إلى ب، لِـ د س د س. بيساوي … بنشيل علامة التكامل. ونقول إن هي هتبقى نهاية مجموع هـ تساوي واحد للـ ن، لِـ د س هـ، في Δ س. دي بتمثِّل ارتفاع المستطيل، اللي هو طول المستطيل. والـ Δ س بتمثِّل عرض المستطيل، أو قاعدة المستطيل. اللي هي قيمة طول الفترة اللي بنقسّمها. واللي بنحسب قيمتها Δ س بتساوي ب ناقص الـ أ؛ نهاية الفترة ناقص بداية الفترة، على ن عدد الفترات. وَ س هـ بتساوي أ زائد، هـ في Δ س.

وبيعبّر هذا التكامل عن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة د س، والمحور س في الفترة المغلقة أ وَ ب. وبيسمى مجموع ريمان الأيمن. لأن لمّا استخدمنا، استخدمنا الطرف الأيمن لقاعدة المستطيل. وممكن نستخدم الطرف الأيسر لقاعدة المستطيل. ونحسب التكامل المحدّد، اللي بنسميه مجموع ريمان الأيسر. وكمان بنقدر نستخدم نقاط المنتصف، لتحديد ارتفاعات المستطيلات. بدل ما نستخدم الطرف الأيمن، أو الأيسر لقاعدة المستطيل.

عملية حساب التكامل بتسمى تكاملًا. وبتُستخدم صيغ المجاميع الآتية، لحساب التكامل المحدّد. نقلب الصفحة ونشوفها. الصيغ اللي قدامنا دي، أول صيغة مجموع من هـ يساوي واحد لِـ ن، للـ ث يساوي هـ ث. حيث الـ ث عدد ثابت. لأن عند استخدام صيغة المجموع لعدد ثابت ن مرة، بيبقى هو ن في الثابت. اللي هو مجموع من هـ يساوي واحد للـ ن ثابت بتساوي ن في الثابت. يعني لو كان عندنا الثابت ده بيساوي خمسة، يبقى صيغة المجموع من هـ يساوي واحد لِـ ن، للعدد الثابت خمسة، هتساوي خمسة ن.

ولو هنستخدم صيغة التجميع لِـ هـ يساوي واحد إلى ن، للـ هـ بتساوي ن في، ن زائد واحد؛ على الاتنين. لو هنستخدمها للـ هـ تربيع، هتساوي ن في، ن زائد الواحد، في قوس تاني اتنين ن زائد الواحد؛ على الستة. والـ هـ تكعيب، والـ هـ أس أربعة، والـ هـ أس خمسة؛ زيّ ما إحنا شايفين. وبنستخدم الخاصيتان الآتيتان لحساب بعض التكاملات. اللي هو لو عندنا أ هـ زائد أو ناقص ب هـ، فبنوزّع صيغة المجموع على الـ أ هـ لوحدها. ونجمعها أو نطرحها من مجموع الـ ب هـ. ولو كان فيه عدد ثابت، بنقدر نسحبه برّه علامة المجموع.

هنقلب الصفحة، وناخد مثال إزاي هنحسب التكامل المحدّد. التكامل المحدّد ده بيبقى معناه إن إحنا عندنا فترة مغلقة من إلى. يعني هنا الفترة اللي في المثال ده، من صفر إلى أربعة. المثال بيقول: استخدم النهايات لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى ص يساوي س تربيع، والمحور س. في الفترة المغلقة من صفر إلى أربعة. اللي هو تكامل من صفر إلى أربعة، للـ س تربيع د س.

أول حاجة هنرسم المنطقة المحصورة، اللي عايزين نجيب مساحتها. إحنا عندنا الفترة من صفر إلى أربعة. والمنحنى ص يساوي س تربيع، اللي هو ده لونه أحمر. يبقى عايزين نجيب مساحة المنطقة دي، اللي هي بينها وبين المحور س.

أول حاجة علشان نقدر نحسب قيمة التكامل المحدّد، هنحسب قيمة الـ Δ س، والـ س هـ. الـ Δ س بتساوي نهاية الفترة ناقص بداية الفترة، على الـ ن. الـ ن دي عدد المفروض اللي إحنا هنوصل ليه لما لا نهاية. فبنسيب رقمها مجهول. يبقى الـ ب ناقص الـ أ. اللي هو نهاية الفترة أربعة، ناقص الـ أ اللي هو قيمتها صفر؛ على الـ ن. يبقى الـ Δ س أربعة على ن.

الـ س هـ بتساوي أ زائد، الـ هـ مضروبة في الـ Δ س. وعندنا أ قيمتها صفر، زائد الـ هـ، مضروبة في الـ Δ س اللي جِبنا قيمتها. اللي هي أربعة على ن. يبقى الـ س هـ هتساوي أربعة هـ على ن. الأربعة هـ على ن، الـ هـ دي اللي هي العدّاد اللي بنعدّ بيه علامة المجموع. اللي هو بيبقى هـ يساوي واحد إلى ن من الفترات. وعندنا هنا ن، عدد الفترات اللي بنقسّم ليها. اللي هي هنجيب قيمة النهاية لها، لمّا الـ ن بتئول لما لا نهاية. يبقى بعد ما حسبنا القيمتين دول، هنشوف إزاي هنحسب التكامل المحدّد، اللي هيعطى المساحة المطلوبة.

نقلب الصفحة. نحسب التكامل المحدّد الذي يعطي المساحة المطلوبة. هيبقى التكامل من صفر إلى أربعة، للـ س تربيع في الـ د س. هيساوي نهاية من ن تئول للمالانهاية، لمجموع هـ يساوي واحد إلى ن، للـ د س هـ في Δ س.

الـ د س عندنا بتساوي س تربيع. لمّا هنعوّض بالـ س هـ، هتبقى د س هـ هتساوي … الـ س تربيع هنشيل الـ س ونحطّ مكانها قيمة الـ س هـ. اللي هي أربعة هـ على ن. الكل تربيع. وحسبنا الـ Δ س، كانت بتساوي أربعة على ن. هنعوّض بالقيمتين دول، ونجيب النهاية لهم. يبقى قيمة التكامل هتساوي نهاية من ن تئول لما لا نهاية، لمجموع هـ يساوي واحد إلى ن. الـ د س هـ اللي هي ستاشر هـ تربيع، على ن تربيع؛ مضروبة في أربعة على ن. يبقى هنساوى نهاية من ن تئول إلى المالانهاية، لمجموع الـ هـ يساوي واحد إلى ن. الستاشر في الأربعة هتبقى أربعة وستين هـ تربيع، على ن تكعيب.

هنا قيمة العدّاد من هـ يساوي واحد إلى ن. العدّاد ده ما بنقدرش نطلّع قيمته برّه علامة المجموع. أيّ حاجة ما فيهاش هـ، نقدر ناخدها برّه المجموع. يعني الأربعة وستين ناخدها برّه الجموع. الـ ن تكعيب ناخدها برّه المجموع. لكن ما نقدرش ناخد حاجة فيها قيمة النهاية اللي هنعوّض بيها، برّه النهاية. يعني نقدر ناخد الثابت أربعة وستين برّه النهاية. لكن الـ ن تكعيب لازم تفضل جوّه النهاية.

يبقى نقدر نقول إن الكلام ده هيساوي أربعة وستين في نهاية ن تئول للمالانهاية، للواحد على ن تكعيب. الكلام ده كله هيبقى مضروب في مجموع من هـ يساوي واحد للـ ن، للـ هـ تربيع. الـ هـ تربيع لمّا بنحب نجيب المجموع لها، بيبقى ن في، ن زائد الواحد، مضروبين في اتنين ن زائد الواحد؛ على الستة. هنعوّض بقيمة المجموع ده، ونحسب النهاية. يبقى هيساوي أربعة وستين نهاية ن تئول للمالانهاية، للـ واحد على ن تكعيب. وهنشيل قيمة المجموع، نحطّ قيمتها. هتبقى ن في، ن زائد الواحد، في اتنين ن زائد الواحد؛ على ستة.

هنا عندنا ن تكعيب، نقدر نختصر معاها ن، وهيتبقّى لنا ن تربيع. هنستخدم خصائص النهايات، ونحسب قيمة النهاية. وهتطلع قيمة تقريبًا واحد وعشرين وتلاتة وتلاتين من مية وحدة مربعة. وده قيمة التكامل. ممكن أيضًا نقدر نحسب قيمة التكامل، لو كانت البداية مش صفر، لو كانت أيّ رقم تاني، بنفس الطريقة.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده إزاي هنحسب قيمة التكامل المحدّد، باستخدام مجموع ريمان، واستخدام النهايات.