فيديو: اشتقاق الدوال الكسرية باستخدام قاعدة خارج القسمة

أوجد ‪d𝑦/d𝑥‬‏، إذا كانت ‪𝑦 = (𝑥³ + 7𝑥² + 6)/(𝑥 + 8)‬‏.

٠٦:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏، إذا كانت ‪𝑦‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ستة على ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية.

حسنًا، لحل هذه المسألة، ما علينا فعله هو اشتقاق الدالة. ولنتمكن من ذلك، سوف نستخدم قاعدة خارج القسمة. ويمكننا استخدام قاعدة خارج القسمة لأن الدالة تتخذ الشكل ‪𝑢‬‏ على ‪𝑣‬‏. لذا، دعونا نلق نظرة على تعريف هذه القاعدة. تقول القاعدة إن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪𝑣‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ناقص ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏، الكل على ‪𝑣‬‏ تربيع. وما يعنيه ذلك عمليًا هو ضرب ‪𝑣‬‏ في مشتقة ‪𝑢‬‏ ناقص ‪𝑢‬‏ في مشتقة ‪𝑣‬‏، الكل على ‪𝑣‬‏ تربيع.

حسنًا، رائع. فها نحن قد عرفنا قاعدة خارج القسمة. فلنطبقها إذن لإيجاد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وأول ما سنفعله هو تحديد قيمة ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ في المسألة. ‏‏‪𝑢‬‏ هي ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ستة، لأن هذا هو البسط هنا. و‪𝑣‬‏ هي المقام، أي، ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية. بعد ذلك، سنوجد ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. سنشتق أولًا قيمة ‪𝑢‬‏ الموجودة لدينا هنا. لذا، سنشتق ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ستة.

فلنراجع سريعًا كيفية اشتقاق كل من هذه الحدود. سوف ننظر إلى إحدى القواعد العامة لعملية الاشتقاق، وهي قاعدة الأس. وهي تنص على أنه إذا كان لدينا دالة في صورة ‪𝑎𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏، فتكون المشتقة الأولى لهذه الدالة ‪𝑎𝑏𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ ناقص واحد. إذ نضرب المعامل في الأس. ثم نقلل الأس بمقدار واحد، وبالتالي، سيكون ‪𝑎𝑏𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ ناقص واحد. حسنًا، ها نحن قد راجعناها. فلنبدأ في عملية الاشتقاق، ونوجد ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

إذن، سنطبق قاعدة الأس. وسيكون الحد الأول ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع. وذلك لأن المعامل الذي هو واحد مضروبًا في الأس الذي هو ثلاثة يعطينا ثلاثة. ثم نقلل الأس بمقدار واحد، بالتالي، يكون ‪𝑥‬‏ أس اثنين أو ‪𝑥‬‏ تربيع. والحد الثاني سيكون ‪14𝑥‬‏، وبالتالي، موجب ‪14𝑥‬‏. أما الستة، فعند اشتقاقه، يختفي، لأننا إذا اشتققنا عددًا صحيحًا بمفرده، فسنحصل على صفر. حسنًا، رائع. إذن، فقد أوجدنا ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

والآن ننتقل إلى ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وسنجري عملية الاشتقاق لـ ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية. وبذلك نحصل على واحد. وذلك لأن اشتقاق ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا. ومثل المرة السابقة، اشتقاق موجب ثمانية يساوي صفرًا. رائع، بذلك، نكون قد أوجدنا ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ و‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏. والآن، يمكننا الانتقال إلى المرحلة النهائية، وهي أن نطبق قاعدة خارج القسمة لإيجاد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

وعند تطبيق قاعدة خارج القسمة، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي. أولًا، ‪𝑣‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. إذن، نضرب ‪𝑣‬‏، أي، ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية، في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏، أي ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪14𝑥‬‏. ثم نطرح منه ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ستة، لأن هذه هي قيمة ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وليس هناك سوى هذه القيمة، لأن ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ تساوي واحدًا. حسنًا، رائع. وأخيرًا، ما نفعله هو أن نقسم الكل على ‪𝑣‬‏ تربيع. أي، ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية تربيع. حسنًا، مذهل. وهكذا نكون قد عوضنا بكل القيم في قاعدة خارج القسمة. فلنبسط ذلك لإيجاد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

حسنًا، الخطوة الأولى هي أن نفك الأقواس. ‏‏‪𝑥‬‏ في ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع، وهو ما يعطينا ثلاثة ‪𝑥‬‏ تكعيب. ثم ‪𝑥‬‏ في موجب ‪14𝑥‬‏، وهو ما يعطينا موجب ‪14𝑥‬‏ تربيع. ثم لدينا موجب ثمانية في ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع، وهو ما يعطينا موجب ‪24𝑥‬‏ تربيع. وأخيرًا، نحصل على موجب ‪112𝑥‬‏. إذ كان لدينا موجب ثمانية في موجب ‪14𝑥‬‏. ثم لدينا ناقص ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ستة.

يمكننا عند هذه النقطة لفت الانتباه إلى خطأ شائع محتمل. فكما ترون، هناك إشارة سالبة أمام القوسين. وقد وضعت الجزء الثاني بين قوسين لأذكرك بأن كل ما بالداخل لا بد أن يكون بالسالب. إذن، هو سالب ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ستة. فالشائع أن يضع الناس هنا علامة السالب أمام ‪𝑥‬‏ تكعيب فقط. ثم يكون الباقي: موجب سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ستة. فكن حذرًا فيما يتعلق بهذا. حسنًا، بعد ذلك، نقسم الكل على ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية تربيع.

وعند تبسيط ذلك، نجد لدينا ثلاثة ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ‪𝑥‬‏ تكعيب، وهو ما يعطينا اثنين ‪𝑥‬‏ تكعيب. ثم لدينا ‪14𝑥‬‏ تربيع زائد ‪24𝑥‬‏ تربيع ناقص سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع، وهو ما يعطينا موجب ‪31𝑥‬‏ تربيع. ثم زائد ‪112𝑥‬‏ ناقص ستة، على ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية الكل تربيع.

وبذلك، يمكننا القول إنه إذا كانت ‪𝑦‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ستة على ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي اثنين ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد ‪31𝑥‬‏ تربيع زائد ‪112𝑥‬‏ ناقص ستة، على ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية الكل تربيع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.