فيديو الدرس: تبسيط المقادير الأسية ذات الأسس من الأعداد الصحيحة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجري العمليات ونبسط المقادير التي تتضمن أسسًا من الأعداد الصحيحة. لمساعدتنا في فهم كيفية فعل ذلك، سنبدأ بتناول كيفية إيجاد قيمة قوة ما.

نحن نعلم أنه لأي قوة أساسها ﺃ؛ حيث ﺃ أي عدد حقيقي ما عدا الصفر، وأسها ﻥ؛ حيث ﻥ عدد صحيح موجب، فإن ﺃ أس ﻥ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺃ مضروبًا في ﺃ وهكذا؛ حيث يوجد ﺃ عدد ﻥ من المرات. على سبيل المثال، اثنان أس أربعة يساوي اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في اثنين، وهو ما يساوي ١٦.

بعد ذلك، سنتناول قاعدتي الأس الصفري والأسس السالبة. إذا كان الأساس ﺃ أي عدد حقيقي ما عدا الصفر، فإن ﺃ أس صفر يساوي واحدًا. عند التعامل مع الأسس السالبة، فإن ﺃ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺃ أس ﻥ؛ حيث ﺃ أي عدد حقيقي ما عدا الصفر. في هذا الفيديو، سنتناول فقط قيم الأعداد الصحيحة لـ ﻥ. لكن من المهم أيضًا معرفة أن ذلك ينطبق على جميع قيم ﻥ. وبالمثل، ﺃ أس ﻥ يساوي واحدًا على ﺃ أس سالب ﻥ. في المثال الأول، سنستخدم هذه التعريفات لتبسيط مقدار عددي ذي أسس من أعداد صحيحة.

احسب ١٠ أس خمسة مضروبًا في ٢٥ تربيع مضروبًا في أربعة مقسومًا على ٢٠ تربيع مضروبًا في خمسة أس خمسة.

لحساب هذا المقدار، يمكننا كتابة القوى على الصورة التحليلية، ثم حذف العوامل المشتركة من البسط والمقام. يمكننا إعادة كتابة الحد الأول في البسط، وهو ١٠ أس خمسة، على الصورة ١٠ مضروبًا في ١٠ مضروبًا في ١٠ مضروبًا في ١٠ مضروبًا في ١٠. ويمكننا كتابة ٢٥ تربيع على الصورة ٢٥ مضروبًا في ٢٥. هذا يعني أنه يمكن إعادة كتابة البسط بالكامل كما هو موضح.

يمكننا إجراء الأمر نفسه في المقام وإعادة كتابة ٢٠ تربيع وخمسة أس خمسة. وعلى الرغم من أنه يمكننا الحذف في هذه المرحلة، فإنه يمكننا تبسيط المقدار أكثر من ذلك بكتابة البسط والمقام على صورة حواصل ضرب عوامل أولية. نحن نعلم أن العدد ١٠ يساوي اثنين مضروبًا في خمسة. ويمكننا إعادة كتابة العدد ٢٥ على الصورة خمسة مضروبًا في خمسة. كما يمكننا إعادة كتابة العدد أربعة على الصورة اثنان مضروبًا في اثنين. والعدد ٢٠، مكتوبًا على صورة حاصل ضرب عوامل أولية، يساوي اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في خمسة.

يمكننا استخدام أول ثلاثة من حواصل الضرب هذه لإعادة كتابة البسط كما هو موضح. وبتكرار هذه العملية في المقام، نحصل على المقدار الآتي. بعد ذلك، يمكننا حذف العوامل المشتركة. يمكن حذف اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في اثنين من البسط والمقام. يمكننا أيضًا حذف سبعة أمثال من العدد خمسة من البسط والمقام. وعليه، يمكن تبسيط هذا المقدار إلى اثنين مضروبًا في خمسة مضروبًا في خمسة مضروبًا في اثنين مضروبًا في اثنين الكل مقسوم على واحد. هذا يساوي اثنين تكعيب مضروبًا في خمسة تربيع. وبما أن اثنين تكعيب يساوي ثمانية وخمسة تربيع يساوي ٢٥، يصبح لدينا ثمانية مضروبًا في ٢٥، وهو ما يساوي ٢٠٠. إذن، ١٠ أس خمسة مضروبًا في ٢٥ تربيع مضروبًا في أربعة مقسومًا على ٢٠ تربيع مضروبًا في خمسة أس خمسة يساوي ٢٠٠.

في بعض الأحيان عند تبسيط المقادير ذات الأسس من الأعداد الصحيحة، نحتاج إلى استخدام قوانين الأسس لفعل ذلك. قبل أن نتناول المثال الآتي، سنذكر قوانين الأسس هذه. في هذا الفيديو، سنتناول القوانين الآتية عندما يكون لدينا أساسات غير صفرية وأسس من أعداد صحيحة فقط. في البداية، لدينا قاعدة الضرب التي تنص على أن ﺃ أس ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ زائد ﻥ. بعد ذلك، لدينا قاعدة القسمة. تنص هذه القاعدة على أن ﺃ أس ﻡ مقسومًا على ﺃ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ ناقص ﻥ. وتنص قاعدة قوة حاصل الضرب على أن ﺃﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﺏ أس ﻥ. وبالمثل، تنص قاعدة قوة خارج القسمة على أن ﺃ على ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺏ أس ﻥ. وأخيرًا، لدينا قاعدة القوة التي تنص على أن ﺃ أس ﻡ الكل مرفوع للقوة ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ مضروبًا في ﻥ.

سنتناول الآن بعض الأمثلة التي علينا فيها استخدام قوانين الأسس هذه.

بسط أربعة أس ﺱ مضروبًا في أربعة أس أربعة ﺱ مقسومًا على أربعة أس ثلاثة ﺱ ناقص أربعة مضروبًا في ١٦ أس ﺱ.

لتبسيط هذا المقدار، علينا استخدام قوانين الأسس. نتذكر أنه لاستخدام هذه القوانين، يجب أن يكون لكل حد الأساس نفسه. في هذا السؤال، أساس ثلاثة من الحدود الأربعة هو أربعة. إذن، خطوتنا الأولى هي إعادة كتابة ١٦ أس ﺱ بالأساس أربعة. نحن نعلم أن أربعة تربيع يساوي ١٦. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة ١٦ أس ﺱ على الصورة أربعة تربيع أس ﺱ. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة المقدار الأصلي على الصورة أربعة أس ﺱ مضروبًا في أربعة أس أربعة ﺱ مقسومًا على أربعة أس ثلاثة ﺱ ناقص أربعة مضروبًا في أربعة تربيع أس ﺱ.

سنتناول الآن ثلاثة من قوانين الأسس. في البداية، تنص قاعدة الضرب على أن ﺃ أس ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ زائد ﻥ. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة البسط على الصورة أربعة أس ﺱ زائد أربعة ﺱ. قبل تطبيق القاعدة نفسها على المقام، علينا تناول قاعدة القوة للأسس. وهذه القاعدة تنص على أن ﺃ أس ﻡ الكل مرفوع للقوة ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ مضروبًا في ﻥ. وبذلك، يمكننا إعادة كتابة أربعة تربيع الكل مرفوع للقوة ﺱ على الصورة أربعة أس اثنين ﺱ.

يمكننا بعد ذلك استخدام قاعدة الضرب لإعادة كتابة المقام على الصورة أربعة أس ثلاثة ﺱ ناقص أربعة زائد اثنين ﺱ. ‏‏ ﺱ زائد أربعة ﺱ يساوي خمسة ﺱ، وثلاثة ﺱ ناقص أربعة زائد اثنين ﺱ يساوي خمسة ﺱ ناقص أربعة. إذن، يمكن تبسيط هذا المقدار إلى أربعة أس خمسة ﺱ مقسومًا على أربعة أس خمسة ﺱ ناقص أربعة.

يمكننا الآن استخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن ﺃ أس ﻡ مقسومًا على ﺃ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ ناقص ﻥ. بطرح خمسة ﺱ ناقص أربعة من خمسة ﺱ، يصبح لدينا أربعة أس خمسة ﺱ ناقص خمسة ﺱ ناقص أربعة. بتوزيع القوسين، يصبح لدينا الأس خمسة ﺱ ناقص خمسة ﺱ زائد أربعة. ويمكننا تبسيط هذا المقدار إلى أربعة أس أربعة. وبحساب ذلك، نحصل على أربعة مضروبًا في أربعة مضروبًا في أربعة مضروبًا في أربعة، وهو ما يساوي ٢٥٦. إذن، أربعة أس ﺱ مضروبًا في أربعة أس أربعة ﺱ مقسومًا على أربعة أس ثلاثة ﺱ ناقص أربعة مضروبًا في ١٦ أس ﺱ يساوي ٢٥٦.

في المثال الآتي، سنستخدم قوانين الأسس لتبسيط مقدار جبري ذي أساسين مختلفين.

بسط ﺱ أس ﻥ زائد تسعة مضروبًا في ﺹ أس ﻥ زائد أربعة مقسومًا على ﺱ أس ﻥ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺹ أس ﻥ.

لتبسيط هذا المقدار، يمكننا استخدام قوانين الأسس. لكننا نلاحظ أن لدينا أساسين مختلفين. بما أن القوانين لا تنطبق إلا على الأسس ذات الأساسات نفسها، يمكننا إعادة كتابة المقدار كما هو موضح. لدينا ﺱ أس ﻥ زائد تسعة مقسومًا على ﺱ أس ﻥ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺹ أس ﻥ زائد أربعة مقسومًا على ﺹ أس ﻥ. بتذكر أن قاعدة القسمة للأسس تنص على أن ﺃ أس ﻡ مقسومًا على ﺃ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ ناقص ﻥ، يمكننا إعادة كتابة الجزء الأول من هذا المقدار على الصورة ﺱ أس ﻥ زائد تسعة ناقص ﻥ زائد ثلاثة.

وبالطريقة نفسها، يمكننا تبسيط الجزء الثاني من هذا المقدار إلى ﺹ أس ﻥ زائد أربعة ناقص ﻥ. في كلا الجزأين، نحذف ﻥ. وبما أن تسعة ناقص ثلاثة يساوي ستة، يصبح لدينا ﺱ أس ستة مضروبًا في ﺹ أس أربعة. إذن، المقدار ﺱ أس ﻥ زائد تسعة مضروبًا في ﺹ أس ﻥ زائد أربعة مقسومًا على ﺱ أس ﻥ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺹ أس ﻥ، مكتوبًا في أبسط صورة، يساوي ﺱ أس ستة ﺹ أس أربعة.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا علينا فيه تبسيط مقدار جبري باستخدام قوانين الأسس، وبإخراج العوامل المشتركة التي تمثل قوى.

أوجد قيمة ﺃ في المعادلة اثنان أس ﺱ زائد ستة ناقص اثنين أس ﺱ زائد اثنين يساوي ﺃ مضروبًا في اثنين أس ﺱ.

لإيجاد قيمة ﺃ في هذه المعادلة، يجب أن يكون الطرف الأيمن من المعادلة على نفس صورة الطرف الأيسر. بعبارة أخرى، علينا إعادة كتابة اثنان أس ﺱ زائد ستة ناقص اثنين أس ﺱ زائد اثنين؛ بحيث يكون على الصورة ﺃ مضروبًا في اثنين أس ﺱ.

نتذكر أن قاعدة الضرب للأسس تنص على أن ﺃ أس ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ زائد ﻥ. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة الحد الأول على الصورة اثنان أس ﺱ مضروبًا في اثنين أس ستة. وبالمثل، يمكننا إعادة كتابة اثنان أس ﺱ زائد اثنين على الصورة اثنان أس ﺱ مضروبًا في اثنين تربيع. أصبح الآن لكلا الحدين العامل المشترك اثنان أس ﺱ.

بإخراج هذا العامل المشترك، يصبح لدينا اثنان أس ﺱ مضروبًا في اثنين أس ستة ناقص اثنين تربيع. نحن نعلم أن اثنين تربيع يساوي أربعة، واثنين أس ستة يساوي ٦٤. وبذلك، يمكننا تبسيط هذا المقدار إلى اثنان أس ﺱ مضروبًا في ٦٠ أو ٦٠ مضروبًا في اثنين أس ﺱ. وبما أن هذا المقدار يساوي ﺃ مضروبًا في اثنين أس ﺱ، يمكننا مقارنة المعاملين لنحصل على قيمة ﺃ التي تساوي ٦٠.

سنختتم الآن هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية التي تناولناها. رأينا في هذا الفيديو أنه يمكننا تبسيط المقادير الأسية بحساب قيم القوى وحذف العوامل المشتركة. يمكننا أيضًا تبسيط المقادير الأسية باستخدام قوانين الأسس. أولًا، لدينا قاعدة الضرب للأسس التي تنص على أن ﺃ أس ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ زائد ﻥ. ثانيًا، تنص قاعدة القسمة على أن ﺃ أس ﻡ مقسومًا على ﺃ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ ناقص ﻥ. ثالثًا، تنص قاعدة القوة للأسس على أن ﺃ أس ﻡ الكل مرفوع للقوة ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ مضروبًا في ﻥ. وأخيرًا، لدينا أيضًا قاعدة قوة حاصل الضرب التي تنص على أن ﺃﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﺏ أس ﻥ، وقاعدة قوة خارج القسمة التي تنص على أن ﺃ على ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺏ أس ﻥ.

في هذا الفيديو، طبقنا هذه القوانين على الأساسات غير الصفرية والأسس من الأعداد الصحيحة فقط. لكن من المهم ملاحظة أنها تنطبق أيضًا على الأسس من الأعداد غير الصحيحة. ورأينا أيضًا في المثال الأخير أنه يمكننا استخدام قوانين الأسس لحل المعادلات.