نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد حدًا معينًا في مفكوك ذات الحدين والعلاقة بين حدين متتابعين. سنبدأ بإلقاء نظرة على نظرية ذات الحدين وتذكر ما يمثله كل جزء منها على حدة.
توفر لنا نظرية ذات الحدين صيغة عامة لفك ذوات الحدين المرفوعة لأسس كبيرة. فتنص نظرية ذات الحدين على أن ﺃ زائد ﺏ مرفوعًا للأس ﻥ يساوي ﻥ توافيق صفر، مضروبًا في ﺃ أس ﻥ زائد ﻥ توافيق واحد، مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد، مضروبًا في ﺏ أس واحد، وهكذا. والحد العام للمفكوك هو ﻥ توافيق ﺭ، مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﺭ، مضروبًا في ﺏ أس ﺭ. ويستمر ذلك حتى الحد الأخير ﻥ توافيق ﻥ، مضروبًا في ﺏ أس ﻥ. يقل أس أو قوة ﺃ، بينما يزداد أس ﺏ.
يشير ترميز التوافيق ﻥ توافيق ﺭ أو ﻥﻕﺭ إلى مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في مضروب ﺭ. وتوجد طرق أخرى لكتابة ذلك كما هو موضح، لكننا سنواصل العمل بالترميز الأول الموضح في هذا الفيديو. بالإضافة إلى النظرية العامة، نهتم أحيانًا بحد معين في المفكوك. سنركز على ذلك في النصف الأول من هذا الفيديو. الحد العام، كما نرى في المفكوك، هو ﻥﻕﺭ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في ﺏ أس ﺭ. يرمز للحد العام بـ ﺃﺭ زائد واحد. هذا لأن الحد الأول يحدث عندما يكون ﺭ يساوي صفرًا كما نرى في المفكوك. من المهم أيضًا ملاحظة أن إجمالي الحدود يكون ﻥ زائد واحد في أي مفكوك ذات حدين.
سنتناول الآن سؤالًا مطلوب منا فيه إيجاد حد معين في مفكوك ذات حدين.
أوجد الحد الثالث في مفكوك اثنين ﺱ زائد خمسة على الجذر التربيعي لـ ﺱ أس خمسة.
هذا مثال على مفكوك ذات حدين مكتوبة على الصورة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ. يمكننا كتابة المفكوك بالكامل. لكننا نعلم أن الحد العام ﺭﺃ زائد واحد يساوي ﻥ توافيق ﺭ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في ﺏ أس ﺭ. في هذا السؤال، نريد إيجاد الحد الثالث ﺃ ثلاثة. داخل الأقواس، لدينا حدان. ﺃ، وهو الحد الأول، يساوي اثنين ﺱ. وﺏ، وهو الحد الثاني، يساوي خمسة على الجذر التربيعي لـ ﺱ.
والأس أو القوة المرفوع إليها ذلك هي خمسة. إذن، ﻥ يساوي خمسة. وبما أننا نحاول إيجاد الحد الثالث، فإن ﺭ زائد واحد يساوي ثلاثة. بطرح واحد من كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺭ يساوي اثنين. يمكننا الآن التعويض بهذه القيم الأربعة في صيغة الحد العام. ومن ثم، فإن الحد الثالث يساوي خمسة توافيق اثنين مضروبًا في اثنين ﺱ تكعيب مضروبًا في خمسة على الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع.
نعلم أن ﻥ توافيق ﺭ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في مضروب ﺭ. ومن ثم، فإن خمسة توافيق اثنين يساوي مضروب خمسة مقسومًا على مضروب ثلاثة مضروبًا في مضروب اثنين. يمكننا إعادة كتابة مضروب خمسة ليصبح خمسة مضروبًا في أربعة مضروبًا في مضروب ثلاثة. ويمكن تبسيط ذلك إلى خمسة مضروبًا في أربعة مقسومًا على مضروب اثنين، وهو ما يساوي ١٠. خمسة توافيق اثنين يساوي ١٠.
عند تكعيب اثنين ﺱ، يمكننا تكعيب الاثنين وﺱ كل على حدة. وبما أن اثنين تكعيب يساوي ثمانية، فإن اثنين ﺱ تكعيب يساوي ثمانية ﺱ تكعيب. يمكننا استخدام الطريقة نفسها عند تربيع الكسر. فنقوم بتربيع البسط والمقام كل على حدة. خمسة تربيع يساوي ٢٥، والجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع يساوي ﺱ. فالجذر التربيعي والتربيع عمليتان عكسيتان. الحد الثالث إذن يساوي ١٠ مضروبًا في ثمانية ﺱ تكعيب مضروبًا في ٢٥ على ﺱ.
يمكن تبسيط ذلك إلى ٢٠٠٠ﺱ تربيع، حيث إن ٢٥ مضروبًا في ثمانية مضروبًا في ١٠ يساوي ٢٠٠٠، وﺱ تكعيب مقسومًا على ﺱ يساوي ﺱ تربيع. الحد الثالث في مفكوك اثنين ﺱ زائد خمسة على الجذر التربيعي لـ ﺱ أس خمسة هو ٢٠٠٠ﺱ تربيع. ولتوفير الوقت، كان بإمكاننا أيضًا حساب خمسة توافيق اثنين على الآلة الحاسبة.
في المسألة التالية، سنتناول حدين مختلفين في مفكوك ذات حدين.
افترض أن مفكوك ﺱ أس خمسة على ثمانية ناقص ثمانية على ﺱ الكل مرفوعًا إلى أس تسعة مرتب حسب قوى ﺱ التنازلية. ما قيم ﺱ التي تجعل مجموع الحدين الأوسطين يساوي صفرًا؟
في هذا السؤال، لدينا مقدار ذو حدين مكتوب على الصورة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ. عند فك أي مقدار من هذا النوع، نعرف أنه سيحتوي على عدد من ﻥ زائد واحد من الحدود. وهو ما يعني أن مفكوك هذا المقدار سيحتوي على ١٠ حدود، وأن الحدين الأوسطين هما الخامس والسادس. ما يعنينا هو الحدان ﺃ خمسة وﺃ ستة، وهما الحدان الخامس والسادس من المفكوك.
نعلم أن الحد العام لأي مفكوك ذات حدين ﺃﺭ زائد واحد يساوي ﻥ توافيق ﺭ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في ﺏ أس ﺭ. إذن، الحد الخامس يساوي تسعة توافيق أربعة مضروبًا في ﺱ أس خمسة على ثمانية أس خمسة مضروبًا في سالب ثمانية على ﺱ أس أربعة.
والحد السادس يساوي تسعة توافيق خمسة مضروبًا في ﺱ أس خمسة على ثمانية أس أربعة مضروبًا في سالب ثمانية على ﺱ أس خمسة. نعلم من المعطيات أن مجموع هذين الحدين يساوي صفرًا. هذا يعني أن الحد الخامس يساوي سالب الحد السادس. نلاحظ أن تسعة توافيق أربعة يساوي تسعة توافيق خمسة لأن كلًا منهما يساوي مضروب تسعة مقسومًا على مضروب خمسة مضروبًا في مضروب أربعة.
يمكننا إذن حذف ذلك من كلا طرفي المعادلة. يمكن كذلك قسمة كلا طرفي المعادلة على ﺱ أس خمسة مقسومًا على ثمانية أس أربعة. يعني هذا أن الطرف الأيمن يصبح ﺱ أس خمسة على ثمانية. يمكننا أيضًا قسمة كلا الطرفين على سالب ثمانية على ﺱ أس أربعة. يصبح الطرف الأيسر سالب سالب ثمانية على ﺱ. وتتحول الإشارتان السالبتان إلى إشارة موجبة.
يمكننا بعد ذلك إجراء الضرب التبادلي. فنضرب كلا الطرفين في ثمانية وﺱ. وهذا يعطينا ﺱ أس ستة يساوي ٦٤. نحسب بعد ذلك الجذر السادس لكلا الطرفين. وهذا يعطينا ﺱ يساوي موجب أو سالب اثنين لأن كلًا من موجب وسالب اثنين أس ستة يساوي ٦٤.
تشير كلمة «قيم» في السؤال إلى أن لدينا أكثر من إجابة واحدة. يساوي مجموع الحدين الأوسطين صفرًا عندما يكون ﺱ يساوي سالب اثنين أو اثنين.
خلال ما تبقى من هذا الفيديو، سنتناول ما يحدث عندما ننظر إلى النسبة بين حدين متتابعين من مفكوك ذات حدين.
انظر إلى مفكوك ثمانية ﺱ زائد اثنين ﺹ أس ٢٣. أوجد النسبة بين الحدين الثامن والسابع.
نتذكر أن الحد العام ﺃﺭ زائد واحد يساوي ﻥ توافيق ﺭ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في ﺏ أس ﺭ. هذا يعني أن النسبة بين الحدين الثامن والسابع، ﺃ ثمانية مقسومًا على ﺃ سبعة، تساوي ٢٣ توافيق سبعة مضروبًا في ثمانية ﺱ أس ١٦ مضروبًا في اثنين ﺹ أس سبعة مقسومًا على ٢٣ توافيق ستة مضروبًا في ثمانية ﺱ أس ١٧ مضروبًا في اثنين ﺹ أس ستة.
نلاحظ على الفور أنه يمكننا قسمة البسط والمقام على ثمانية ﺱ أس ١٦. وبذلك، يتبقى لدينا ثمانية ﺱ في المقام. ونلاحظ أن ذلك يساوي الحد الأول في ذات الحدين.
يمكننا أيضًا قسمة البسط والمقام على اثنين ﺹ أس ستة. وبذلك، يتبقى لدينا اثنان ﺹ في البسط، وهو ما يساوي الحد الثاني من ذات الحدين. نتذكر هنا أن النسبة بين التوافيق المتتابعة ﻥ توافيق ﺭ مقسومًا على ﻥ توافيق ﺭ ناقص واحد تساوي ﻥ ناقص ﺭ زائد واحد على ﺭ. هذا يعني أن ٢٣ توافيق سبعة مقسومًا على ٢٣ توافيق ستة يساوي ٢٣ ناقص سبعة زائد واحد الكل على سبعة. يمكن تبسيط ذلك إلى ١٧ على سبعة.
وبالتالي، فإن نسبة الحد الثامن إلى الحد السابع تساوي ١٧ مضروبًا في اثنين ﺹ مقسومًا على سبعة مضروبًا في ثمانية ﺱ. وهذا يبسط بدوره إلى ١٧ﺹ على ٢٨ﺱ. وهي النسبة بين الحد الثامن والحد السابع.
يقودنا هذا المثال إلى تعبير بسيط عن النسبة العامة بين الحدود المتتابعة. إذا كان لدينا حدان متتابعان، ﺃﺭ زائد واحد وﺃﺭ، في مفكوك ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ، فإن النسبة بين هذين الحدين تساوي ﻥ توافيق ﺭ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في ﺏ أس ﺭ الكل مقسومًا على ﻥ توافيق ﺭ ناقص واحد مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﺭ زائد واحد مضروبًا في ﺏ أس ﺭ ناقص واحد. نبسط ذلك إلى ﻥ ناقص ﺭ زائد واحد على ﺭ مضروبًا في ﺏ على ﺃ. يمكننا كتابة هذه الصيغة لمساعدتنا في حل المسائل التي تتضمن نسبًا بين حدود متتابعة في مفكوك ذات الحدين.
في السؤال الأخير، سنتناول النسبة بين حدود غير متتابعة.
أوجد النسبة بين الحد الـ ١٥ والحد الـ ١٧ في مفكوك ﺱ ناقص ١٢ أس ١٩.
للإجابة عن هذا السؤال، سنستخدم صيغتين مرتبطتين بمفكوك ذات الحدين المكتوبة على الصورة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ. نعلم أن الحد العام لهذا المفكوك، ﺃﺭ زائد واحد، يساوي ﻥ توافيق ﺭ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في ﺏ أس ﺭ. نعلم أيضًا أن النسبة بين الحدود المتتابعة في مفكوك ذات الحدين، ﺃﺭ زائد واحد على ﺃﺭ، تساوي ﻥ ناقص ﺭ زائد واحد على ﺭ مضروبًا في ﺏ على ﺃ.
في هذا السؤال، نتعامل مع الحدين ١٥ و١٧ في المفكوك. الحد ١٥ يساوي ١٩ توافيق ١٤ مضروبًا في ﺱ أس خمسة مضروبًا في سالب ١٢ أس ١٤. والحد ١٧ يساوي ١٩ توافيق ١٦ مضروبًا في ﺱ تكعيب مضروبًا في سالب ١٢ أس ١٦. يمكننا قسمة ﺱ أس خمسة وﺱ تكعيب على ﺱ تكعيب، فيتبقى لدينا ﺱ تربيع في البسط. وبالمثل، بقسمة كل من البسط والمقام على سالب ١٢ أس ١٤ نحصل على سالب ١٢ تربيع في المقام. وهذا يماثل ﺃ تربيع على ﺏ تربيع.
علينا الآن فهم ما يحدث عندما نقسم التوافيق غير المتتابعة. بما أن الحد ١٧ يلي الحد ١٥ بحدين، فإن لدينا ﺃﺭ على ﺃﺭ زائد اثنين. جزء التوافيق لهذا سيساوي ﻥ توافيق ﺭ ناقص واحد على ﻥ توافيق ﺭ زائد واحد. عند كتابة ذلك بدلالة المضروبات، قد يبدو الأمر معقدًا إلى حد كبير. لكننا سنلاحظ على الفور أن بعض الحدود ستحذف. يمكننا بعد ذلك استخدام خصائص المضروبات، مع العلم بأن قسمة كسر على كسر آخر يساوي ضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني. سيساوي جزء التوافيق إذن ﺭ مضروبًا في ﺭ زائد واحد مقسومًا على ﻥ ناقص ﺭ زائد واحد مضروبًا في ﻥ ناقص ﺭ.
يمكننا الآن أن نرى العلاقة بين هذه النسبة والنسبة بين الحدود المتتابعة. نعود الآن إلى السؤال لحساب ١٩ توافيق ١٤ مقسومًا على ١٩ توافيق ١٦. بما أن ﻥ يساوي ١٩ وﺭ يساوي ١٥، فإن لدينا ١٥ مضروبًا في ١٦ مقسومًا على خمسة مضروبًا في أربعة. نعرف أن سالب ١٢ تربيع يساوي ١٤٤. علينا إذن ضرب الجزء الأول في ﺱ تربيع على ١٤٤. ويمكن تبسيط هذا التعبير بدوره ليصبح ١٢ﺱ تربيع على ١٤٤. وأخيرًا، يمكننا قسمة البسط والمقام على ١٢، بحيث تكون النسبة بين الحدين ١٥ و١٧ هي ﺱ تربيع على ١٢.
سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. الحد العام في مفكوك ذات الحدين ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ يرمز له بـ ﺃﺭ زائد واحد. وهذا يساوي ﻥ توافيق ﺭ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في ﺏ أس ﺭ. الصيغة التي توضح العلاقة بين الحدود المتتابعة في مفكوك ذات الحدين هي ﺃﺭ زائد واحد على ﺃﺭ يساوي ﻥ ناقص ﺭ زائد واحد على ﺭ مضروبًا في ﺏ على ﺃ. رأينا كذلك في السؤال الأخير أنه يمكن تعديل هذه الصيغة عند التعامل مع النسب بين الحدود غير المتتابعة.
