فيديو: نظرية القيمة المتوسطة

الدالة ‪𝐹(𝑥) = 1/𝑥 + 3‬‏ تحقق الدالة ‪𝐹(−1) < 3‬‏، والدالة ‪𝐹(1) > 3‬‏. لكن لا يوجد ‪𝑥‬‏ بين ‪−1‬‏، ‪1‬‏؛ حيث ‪𝐹(𝑥) = 3‬‏. لماذا لا يتناقض ذلك مع نظرية القيمة المتوسطة؟ [أ] لأن الدالة ‪𝐹‬‏ غير متصلة على مجالها [ب] لأن نظرية القيمة المتوسطة تنطبق على الدوال الكثيرات الحدود فقط [ج] لأن نظرية القيمة المتوسطة تنطبق على الحالة التي تكون فيها ‪𝐹(𝑥) = 0‬‏ فقط، وليس ‪𝐹(𝑥) = 3‬‏ [د] لأن الدالة غير معرفة على الفترة ‪[−1, 1]‬‏ [هـ] لأن نظرية القيمة المتوسطة تنطبق على الفترة ‪(0, ∞)‬‏ فقط

٠٤:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

الدالة 𝐹 في المتغير 𝑥 تساوي واحدًا على 𝑥 زائد ثلاثة؛ تحقق الدالة 𝐹 لسالب واحد أقل من ثلاثة، والدالة 𝐹 لواحد أكبر من ثلاثة. لكن لا يوجد 𝑥 بين سالب واحد وواحد؛ حيث الدالة 𝐹 في المتغير 𝑥 تساوي ثلاثة. لماذا لا يتناقض ذلك مع نظرية القيمة المتوسطة؟ (أ) لأن الدالة 𝐹 غير متصلة في مجالها؛ أم (ب) لأن نظرية القيمة المتوسطة تنطبق على الدوال كثيرات الحدود فقط؛ أم (ج) لأن نظرية القيمة المتوسطة لا تنطبق إلا على الحالة التي تكون فيها الدالة 𝐹 في المتغير 𝑥 تساوي صفرًا، وليس على الدالة 𝐹 في المتغير 𝑥 تساوي ثلاثة؛ أم (د) لأن الدالة غير معرفة داخل الفترة بأكملها من سالب واحد إلى واحد؛ أم (هـ) لأن نظرية القيمة المتوسطة لا تنطبق إلا على الفترة المفتوحة من صفر إلى ما لا نهاية؟

لنمسح الخيارات من الشاشة حتى يمكننا التركيز على السؤال. ولنلق نظرة على ما تنص عليه نظرية القيمة المتوسطة. إذا كانت الدالة 𝐹 متصلة في الفترة المغلقة من 𝑎 إلى 𝑏 وكان عدد ما يرمز له بالرمز 𝑛 بين الدالة 𝐹 لـ 𝑎 والدالة 𝐹 لـ 𝑏، فسيوجد عدد ما يرمز له بالرمز 𝑐 في الفترة المفتوحة من 𝑎 إلى 𝑏 مع كون الدالة 𝐹 في المتغير 𝑐 تساوي 𝑛.

وبالرجوع إلى الدالة هنا، نحن نعلم أن 𝐹 لسالب واحد أقل من ثلاثة وأن الدالة 𝐹 لواحد أكبر من ثلاثة. لنتأكد من هذا. لإيجاد الدالة 𝐹 لسالب واحد، نعوض عن 𝑥 بسالب واحد في تعريف الدالة 𝐹 في المتغير 𝑥 ثم نوجد القيمة. فنحصل على واحد على سالب واحد زائد ثلاثة، وهذا يساوي اثنين. وبالخطوات نفسها، نوجد الدالة 𝐹 لواحد، ويساوي هذا أربعة. وبالفعل نرى أن اثنين أقل من ثلاثة وأربعة أكبر من ثلاثة.

ولكننا نعلم من المسألة أيضًا عدم وجود 𝑥 بين سالب واحد وواحد، حيث إن الدالة 𝐹 في المتغير 𝑥 تساوي ثلاثة. ونتحقق من هذا عن طريق محاولة حل معادلة الدالة 𝐹 في المتغير 𝑥 تساوي ثلاثة. فنستخدم تعريف الدالة 𝐹 في المتغير 𝑥، ونطرح ثلاثة من كلا الطرفين، ثم نعيد الترتيب لنحصل على 𝑥 يساوي واحدًا على صفر، وهذه قيمة غير محددة. إذن، لا توجد في الحقيقة قيمة للمتغير 𝑥 حيث الدالة 𝐹 في المتغير 𝑥 تساوي ثلاثة.

فلماذا تعتبر هذه مشكلة؟ حسنًا، لننظر إلى ما تنص عليه نظرية القيمة المتوسطة. نحن نعلم أنه إذا كان 𝑛 يقع بين الدالة 𝐹 لـ 𝑎 والدالة 𝐹 لـ 𝑏، وقد رأينا في المثال أن ثلاثة يقع بين الدالة 𝐹 لسالب واحد والدالة 𝐹 لواحد، فلا بد إذن من وجود 𝑐 في الفترة المفتوحة من 𝑎 إلى 𝑏 — والتي هي في حالتنا هذه من سالب واحد إلى واحد — حيث الدالة 𝐹 لـ 𝑐 تساوي 𝑛 — والذي يساوي في هذه الحالة ثلاثة.

ولكننا لاحظنا عدم وجود 𝑐 في الفترة المفتوحة من سالب واحد إلى واحد في حين أن الدالة 𝐹 لـ 𝑐 تساوي ثلاثة. فأين الخطأ؟ هل غير صحيحة؟ أم أننا أمام المثال المعاكس؟ حسنًا، النظرية صحيحة. ولكن لها شرط وهو أن الدالة 𝐹 يجب أن تكون متصلة في الفترة المغلقة 𝑎 و𝑏.

إذن يجب أن تكون الدالة 𝐹 متصلة في الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد. ولكنها ليست متصلة في هذه الفترة. ولذا، لا تتحقق نظرية القيمة المتوسطة. دعونا نثبت أن الدالة 𝐹 ليست متصلة في هذه الفترة. ومن ثم، لا تنطبق عليها نظرية القيمة المتوسطة.

ولنسترجع تعريف الدالة المتصلة في إحدى الفترات. تكون الدالة 𝐹 متصلة في الفترة المغلقة من 𝑎 إلى 𝑏. إذا كانت جميع قيم 𝑐 تقع في الفترة المفتوحة من 𝑎 إلى 𝑏، فإن الدالة تكون متصلة عند هذه النقطة. يجب أيضًا أن تتوافق النهاية من جهة واحدة لكل نقطة نهاية مع قيمة الدالة عند هذه النقطة.

فعلى وجه الخصوص، لا بد أن تكون نهاية الدالة 𝐹 في المتغير 𝑥 حيث تقترب 𝑥 من 𝑐 موجودة لجميع قيم 𝑐 في الفترة المفتوحة، كما يجب أن توجد الدالة 𝐹 لـ 𝑐 لجميع القيم في الفترة المفتوحة. إذن، في حالة الدالة 𝐹 هنا، يقع الصفر في الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد. ولكن إذا حاولت إيجاد قيمة الدالة 𝐹 لصفر، فإننا نحصل على واحد على صفر زائد ثلاثة، وهي قيمة غير محددة.

نتيجة لهذا، فإن الدالة 𝐹 لـ 𝑐 غير معرفة لجميع قيم 𝑐 في الفترة المفتوحة من سالب واحد إلى واحد. وهذا يعني أنها معرفة لمعظم قيم 𝑐 ولكن ليس لجميعها؛ لأن الدالة 𝐹 لصفر غير محددة القيمة. ومن ثم فإن دالتنا 𝐹 لا ينطبق عليها تعريف الدوال المتصلة، وهذا في الفترة بين سالب واحد وواحد. إذن فإن الدالة 𝐹 غير متصلة في هذه الفترة، وبالتالي لا تنطبق عليها نظرية القيمة المتوسطة.

وهذا لا يعني وجود خلل في نظرية القيمة المتوسطة لأنها لا تنطبق هنا. فهي لا تنطبق هنا لأن الدالة 𝐹 غير متصلة في الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد، والدالة 𝐹 غير متصلة في هذه الفترة لأنها غير معرفة في الفترة بأكملها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.