فيديو السؤال: حل نظام من المعادلات الخطية والتربيعية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد جميع الحلول الممكنة للمعادلتين الآنيتين ﺹ زائد ﺱ يساوي سبعة، واثنان ﺱ تربيع زائد ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يساوي ٢١.

لحل المعادلات الآنية، هناك عدة طرق. يمكننا الحل بتمثيلها بيانيًّا وحيثما تتقاطع يكن الحل، ويمكننا استخدام الحذف، ويمكننا استخدام التعويض. بما أن إحدى المعادلات خطية، وهي ﺹ زائد ﺱ يساوي سبعة، فهي صغيرة جدًّا ويسهل حلها لإيجاد ﺱ أو ﺹ، فقط من أجل عزله. إذن يمكننا استخدام التعويض، لأنه بمجرد عزل أحد المتغيرين، يمكننا التعويض به في المعادلة الأخرى وإيجاد الحل.

لنتابع ونأخذ هذه المعادلة ونطرح ﺱ من كلا الطرفين. فنحصل على ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد سبعة. ويمكننا أخذ قيمة ﺹ هذه والتعويض بها عن ﺹ في المعادلة الأخرى، ولهذا تسمى هذه العملية بالتعويض. الآن وقد عوضنا بذلك، أصبحت هذه المعادلة بأكملها بدلالة ﺱ، حسنًا جيد، وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد قيمة ﺱ الآن.

لنتابع ونوزع الثلاثة. ثلاثة في سالب ﺱ يساوي سالب ثلاثة ﺱ وثلاثة في سبعة يساوي ٢١. والآن نكتب بقية المعادلة. والآن نجمع الحدود المتشابهة. يمكننا جمع حدود ﺱ معًا، لتساوي سالب اثنين ﺱ، ونكتب اثنين ﺱ تربيع، وننقل ٢١ من الطرف الأيسر للمعادلة إلى الطرف الأيمن. وببساطة يلغي الحدان أحدهما الآخر، فيتبقى لدينا اثنان ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ يساوي صفرًا.

إذن لإيجاد قيمة ﺱ، يمكننا التحليل. فلنوجد أولًا العامل المشترك الأكبر، وهو الشيء الذي يمكننا إخراجه من كلا الحدين، وهو اثنان ﺱ. وبالتالي إذا أخذنا اثنين ﺱ من اثنين ﺱ تربيع، فسيتبقى لدينا ﺱ. ثم إذا أخذنا اثنين ﺱ من سالب اثنين ﺱ، فسيتبقى لدينا سالب واحد. الآن لكي نحل، سنجعل كل عامل مساويًا صفرًا. إذن اثنان ﺱ يساوي صفرًا وﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. ومن ثم علينا قسمة كلا الطرفين على اثنين في المعادلة الأولى. وسنحصل على ﺱ يساوي صفرًا. وفي المعادلة الأخرى، علينا إضافة واحد لكلا الطرفين. إذن نحصل على واحد. وهذا يعني أن ﺱ قد يساوي صفرًا وقد يساوي واحدًا.

فماذا ستكون قيمتا ﺹ؟ علينا أخذ صفر وواحد والتعويض بهما في إحدى المعادلتين بالمسألة، فلن يهم في أي المعادلتين نعوض. لنعوض في المعادلة الخطية. الآن، هاتان المعادلتان متماثلتان تمامًا. إذن فالمعادلة الثانية، التي وضعنا ﺱ فيها في الطرف الأيسر، تكافئ المعادلة الأصلية.

فلنتابع ونستخدم هذه المعادلة الثانية لأن ﺹ وحده في طرف، وهو ما نحاول إيجاد قيمته. لذا عندما نعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا، نحصل على ﺹ يساوي سبعة. ومن ثم فإن صفر، سبعة هو أحد الحلين. وعندما نعوض بواحد، نحصل على ستة. إذن واحد، ستة هو الحل الآخر. بناء عليه، جميع حلول المعادلتين الآنيتين هما صفر، سبعة، وواحد، ستة.