فيديو: النموذج اللوجستي

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية استخدام المعادلة التفاضلية اللوجستية لتمثيل المواقف التي يكون فيها نمو كمية ما مقيدًا بالقدرة الاستيعابية.

١٧:٢٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتناول النموذج اللوجستي لتمثيل النمو السكاني. في البداية سنعرض ملخصًا لنموذج مستخدم للنمو السكاني البسيط ونناقش الأسباب التي قد تجعل هذا النموذج غير مناسب في بعض الحالات. وسنرى بعد ذلك كيف يمكن تطوير هذا النموذج بحيث يشمل القيود العملية للنمو السكاني، مثل الحد الأقصى لعدد السكان الذي يمكن استيعابه. بعد ذلك، سنتناول مجموعة من الأمثلة نستخدم فيها هذا النموذج الجديد.

من المفترض أنك على دراية جيدة بنموذج النمو السكاني البسيط، الذي يزداد فيه عدد السكان بمعدل يتناسب مع تعداد السكان نفسه. ويمكن تمثيل هذا النمو السكاني بالمعادلة التفاضلية ‪d𝑃‬‏ على ‪d𝑡‬‏ يساوي ‪𝑘𝑃‬‏، حيث ‪𝑘‬‏ هو ثابت التناسب أو معدل نمو السكان. بفصل متغيرات هذه المعادلة التفاضلية ثم إجراء التكامل، نجد أن الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية يكون على الصورة ‪𝑃‬‏ يساوي ‪𝐴𝑒‬‏ أس ‪𝑘𝑡‬‏. وإذا عرفنا القيمة الابتدائية لعدد السكان عند الزمن ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا، أي ‪𝑃‬‏ صفر، فإننا نجد أن الحل الخاص هو ‪𝑃‬‏ يساوي ‪𝑃‬‏ صفر ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑘𝑡‬‏. لذا، نجد أن عدد السكان ينمو نموًا أسيًا. ومن ثم، فإن التمثيل البياني لعدد السكان بالنسبة للزمن سيكون على هذا النحو تقريبًا.

ومع ذلك، علينا التفكير في إمكانية التطبيق العملي لهذا النموذج لأنه يوضح أن عدد السكان سيستمر في النمو بمعدل متزايد باستمرار. وفي الحقيقة، من غير المحتمل حدوث ذلك؛ لأن البيئة التي يعيش فيها السكان ستكون مواردها محدودة. وقد تأتي مرحلة يكون فيها عدد السكان كبيرًا جدًا لدرجة أن الموارد المتاحة لن تسد احتياجاته. وفي هذه المرحلة، لن يكون هذا النموذج دقيقًا في التنبؤ بالتغير الذي سيطرأ على عدد السكان بمرور الزمن. وبالتالي، نريد تغيير هذا النموذج بحيث يشمل افتراضين جديدين.

الافتراض الأول هو أن النمو النسبي لعدد السكان سيقل بازدياد تعداد السكان نفسه. ومن ثم، ففي حين قد يكون النمو الأسي مناسبًا في بادئ الأمر، سيتباطأ معدل النمو السكاني في النهاية. الافتراض الثاني هو أن هناك حدًا أقصى لعدد السكان الذي يمكن لبيئة ما أن تستوعبه. ويعرف ذلك بالقدرة الاستيعابية. ويمكننا التعبير عن القدرة الاستيعابية بالحرف ‪𝐿‬‏.

سنرى بعد قليل نموذجًا يتضمن هذين الافتراضين معًا. لكن التمثيل البياني لحل هذا النموذج سيبدو بهذا الشكل تقريبًا. في بادئ الأمر ينمو السكان نموًا أسيًا. ولكن، معدل النمو يتناقص بعد ذلك. وفي النهاية، يستقر عدد السكان عند مستوى يكافئ القدرة الاستيعابية للبيئة، ‪𝐿‬‏.

فيما يلي النموذج الأبسط للنمو السكاني الذي يتضمن كلا الافتراضين اللذين ناقشناهما توًا. وهو واحد على ‪𝑃‬‏ في ‪d𝑃‬‏ على ‪d𝑡‬‏ يساوي ‪𝑘‬‏ مضروبًا في واحد ناقص ‪𝑃‬‏ على ‪𝐿‬‏. ولن نتناول إثبات النموذج في هذا الفيديو. بضرب طرفي هذه المعادلة في ‪𝑃‬‏، نحصل على ‪d𝑃‬‏ على ‪d𝑡‬‏ يساوي ‪𝑘𝑃‬‏ مضروبًا في واحد ناقص ‪𝑃‬‏ على ‪𝐿‬‏. ويعرف هذا باسم المعادلة التفاضلية اللوجستية للنمو السكاني.

في هذا النموذج، يمثل ‪𝐾‬‏ معدل النمو السكاني، ويمثل ‪𝐿‬‏ القدرة الاستيعابية. لاحظ أنه إذا كان عدد السكان صغيرًا مقارنة بالقدرة الاستيعابية، فإن قيمة ‪𝑃‬‏ على ‪𝐿‬‏ ستقترب من الصفر. وسيقترب واحد ناقص ‪𝑃‬‏ على ‪𝐿‬‏ من الواحد. وعليه، فإن ‪d𝑃‬‏ على ‪d𝑡‬‏ سيكون تقريبًا ‪𝑘𝑃‬‏. إذن، لدينا هذا النموذج البسيط للنمو السكاني.

في البداية، عندما يكون ‪𝑃‬‏ صغيرًا بالنسبة إلى ‪𝐿‬‏، يكون النموذج الأسي للنمو السكاني مناسبًا. ولكن، عندما يقترب عدد السكان من القدرة الاستيعابية له، فإن ‪𝑃‬‏ على ‪𝐿‬‏ سيقترب من واحد. وبالتالي، فإن واحدًا ناقص ‪𝑃‬‏ على ‪𝐿‬‏ سيقترب من الصفر. وعليه، فإن معدل تغير عدد السكان، ‪d𝑃‬‏ على ‪d𝑡‬‏، سيقترب أيضًا من الصفر. إذا تجاوز عدد السكان القدرة الاستيعابية، فإن ‪𝑃‬‏ على ‪𝐿‬‏ سيكون أكبر من واحد، وهذا يعني أن واحدًا ناقص ‪𝑃‬‏ على ‪𝐿‬‏ سيكون سالبًا. وسيكون معدل تغير عدد السكان سالبًا أيضًا، وهو ما يعني أن عدد السكان سيتناقص؛ لأنه تجاوز الحد الأقصى لتعداد السكان الذي يمكن للبيئة استيعابه.

الآن، لنر كيف يمكننا حل هذه المعادلة اللوجستية. على الرغم من أنها أكثر تعقيدًا من النموذج المستخدم لتمثيل النمو السكاني البسيط، فإنها تظل معادلة تفاضلية يمكن فصل متغيراتها. يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيمن على الصورة ‪𝑘𝑃‬‏ مضروبًا في ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ على ‪𝐿‬‏ ثم فصل المتغيرات لنحصل على ‪𝐿‬‏ على ‪𝑃‬‏ مضروبًا في ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ في ‪d𝑃‬‏ يساوي ‪𝑘 d𝑡‬‏. بعد ذلك، نكامل طرفي المعادلة لإيجاد الحل.

تكامل الطرف الأيمن سيكون مباشرًا. لكن لإجراء التكامل للطرف الأيسر، علينا استخدام الكسور الجزئية. يمكننا التعبير عن ‪𝐿‬‏ على ‪𝑃‬‏ مضروبًا في ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ على الصورة ‪𝐴‬‏ على ‪𝑃‬‏ زائد ‪𝐵‬‏ على ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏. ويمكننا بعد ذلك ضرب طرفي المعادلة في ‪𝑃‬‏ في ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ للحصول على ‪𝐿‬‏ يساوي ‪𝐴‬‏ مضروبًا في ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ زائد ‪𝐵𝑃‬‏. يمكننا بعد ذلك التعويض عن قيم عدد السكان ‪𝑃‬‏ لتحديد قيمتي الثابتين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏.

عند ‪𝑃‬‏ يساوي صفرًا، نجد أن ‪𝐿‬‏ يساوي ‪𝐿𝐴‬‏. وبالتالي، ‪𝐴‬‏ يساوي واحدًا. عندما يكون عدد السكان ‪𝑃‬‏ مساويًا ‪𝐿‬‏، نجد أن ‪𝐿‬‏ يساوي ‪𝐵𝐿‬‏. وبالتالي، ‪𝐵‬‏ أيضًا يساوي واحدًا. إذن، يمكننا التعبير عن الكسر ‪𝐿‬‏ على ‪𝑃‬‏ مضروبًا في ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ على صورة الكسرين الجزئيين واحد على ‪𝑃‬‏ زائد واحد على ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏.

إذا عوضنا مرة أخرى في التكامل لدينا، فسنتمكن من إجراء هذا التكامل. نتذكر أن تكامل واحد على ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ زائد ثابت التكامل ‪𝑐‬‏. وإذا استخدمنا طريقة التعويض، كنا سنلاحظ أن تكامل واحد على ‪𝑘‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ لثابت ما ‪𝑘‬‏ يساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ‪𝑘‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏ زائد ثابت ما ‪𝑐‬‏.

إذن، لدينا اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ‪𝑃‬‏ ناقص اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ يساوي ‪𝑘𝑡‬‏. كما أننا ضمنا فقط ثابت تكامل واحدًا، وهو ‪𝑐‬‏ في الطرف الأيمن.

الآن، عدد السكان ‪𝑃‬‏ أكبر من صفر. ولأننا نريد أن يكون عدد السكان أقل من القدرة الاستيعابية ‪𝐿‬‏ كي يكون هذا النموذج منطقيًا، فإن قيمة ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ تكون أيضًا أكبر من الصفر. إذن، القيمة المطلقة لـ ‪𝑃‬‏ هي ‪𝑃‬‏ فقط والقيمة المطلقة لـ ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ هي ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏. وبالتالي، لدينا اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑃‬‏ ناقص اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ يساوي ‪𝑘𝑡‬‏ زائد ‪𝑐‬‏.

بضرب الطرفين في سالب واحد ثم تطبيق قوانين اللوغاريتمات، نحصل على اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ على ‪𝑃‬‏ يساوي سالب ‪𝑘𝑡‬‏ زائد متغير ما ‪𝑐‬‏ اثنين. يمكننا بعد ذلك رفع العدد ‪𝑒‬‏ إلى قوة تمثل طرفي المعادلة، مع العلم بأن هذا سيلغي اللوغاريتم الطبيعي في الطرف الأيسر، مما يعطينا ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ على ‪𝑃‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘𝑡‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ اثنين. وباستخدام قوانين الأسس، يمكننا التعبير عن هذا على الصورة ‪𝐴𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘𝑡‬‏.

يمكننا بعد ذلك إعادة كتابة الكسر في الطرف الأيسر على الصورة ‪𝐿‬‏ على ‪𝑃‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ على ‪𝑃‬‏، الذي يمكن تبسيطه إلى ‪𝐿‬‏ على ‪𝑃‬‏ ناقص واحد. بعد ذلك نضيف واحدًا إلى طرفي المعادلة لنحصل على ‪𝐿‬‏ على ‪𝑃‬‏ يساوي ‪𝐴𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘𝑡‬‏ زائد واحد. وأخيرًا، يمكننا ضرب طرفي المعادلة في ‪𝑃‬‏ ثم القسمة على ‪𝐴𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘𝑡‬‏ زائد واحد للحصول على ‪𝑃‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ على واحد زائد ‪𝐴𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘𝑡‬‏. إذن، هذا هو الحل العام للنموذج اللوجستي للنمو السكاني.

الآن يمكننا كذلك تحديد قيمة الثابت ‪𝐴‬‏ إذا علمنا عدد السكان عند الزمن صفر. إذا كان ‪𝑃‬‏ يساوي قيمة ما ‪𝑃‬‏ صفر عند ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا، فسنحصل إذن على المعادلة ‪𝑃‬‏ صفر يساوي ‪𝐿‬‏ على واحد زائد ‪𝐴𝑒‬‏ أس صفر. لكن ‪𝑒‬‏ أس صفر يساوي واحدًا. بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نحصل على تعبير لـ ‪𝐴‬‏ بدلالة القدرة الاستيعابية ‪𝐿‬‏ والقيمة الابتدائية لعدد السكان ‪𝑃‬‏ صفر. إذن، ‪𝐴‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ صفر على ‪𝑃‬‏ صفر.

ومن ثم، نتوصل إلى الحل للنموذج اللوجستي للنمو السكاني. ويمكننا الاستعانة به كحل عام عند حل مسائل عن هذا الموضوع. لاحظ هذه المرة أنه، مع اقتراب ‪𝑡‬‏ من ما لا نهاية، يقترب ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘𝑡‬‏ من صفر. وسيقترب كذلك عدد السكان من ‪𝐿‬‏ على واحد، الذي يساوي ‪𝐿‬‏ فقط، وهي القدرة الاستيعابية للسكان. والآن، لنتناول بعض الأمثلة على هذا النموذج اللوجستي. في المثال الأول، سنرى كيفية كتابة معادلة تفاضلية لوجستية بناء على وصف واقعي.

افترض أن تعدادًا سكانيًا يزداد طبقًا لنموذج لوجستي بقدرة استيعابية ‪7500‬‏ و‪𝑘‬‏ يساوي ‪0.006‬‏. اكتب معادلة تفاضلية لوجستية تمثل هذه البيانات.

نعلم من المعطيات نوع نموذج النمو السكاني المطلوب استخدامه في هذه المسألة. لذا، يمكننا الاستعانة بالمعادلة التفاضلية اللوجستية القياسية. وهي ‪d𝑃‬‏ على ‪d𝑡‬‏ يساوي ‪𝑘𝑃‬‏ مضروبًا في واحد ناقص ‪𝑃‬‏ على ‪𝐿‬‏، حيث يمثل ‪𝑘‬‏ معدل النمو السكاني ويمثل ‪𝐿‬‏ القدرة الاستيعابية. لدينا هاتان القيمتان في معطيات المسألة. وما علينا سوى التعويض بهما في المعادلة التفاضلية اللوجستية.

وهكذا، يكون لدينا ‪d𝑃‬‏ على ‪d𝑡‬‏ يساوي ‪0.006‬‏ — أي قيمة ‪𝑘‬‏ — في ‪𝑃‬‏ مضروبًا في واحد ناقص ‪𝑃‬‏ على ‪7500‬‏، أي قيمة ‪𝐿‬‏. لم يطلب منا سوى كتابة المعادلة التفاضلية اللوجستية. ومن ثم، لسنا بحاجة إلى محاولة حلها، وهكذا نكون انتهينا من الإجابة عن السؤال.

في المثال التالي، سنرى كيفية إيجاد الحل الخاص لمعادلة تفاضلية لوجستية معطاة ذات شرط ابتدائي.

افترض أن نموًا سكانيًا يمثل وفقًا للمعادلة اللوجستية: ‪d𝑃‬‏ على ‪d𝑡‬‏ يساوي ‪0.07𝑃‬‏ مضروبًا في واحد ناقص ‪𝑃‬‏ على ‪900‬‏، حيث ‪𝑃‬‏ لصفر يساوي ‪50‬‏. اكتب صيغة تعبر عن ‪𝑃‬‏ لـ ‪𝑡‬‏.

نعني بكتابة ‪𝑃‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ أن علينا إيجاد حل لهذه المعادلة اللوجستية. يمكننا البدء بكتابة صورتها العامة. نعلم أن حل المعادلة اللوجستية ‪d𝑃‬‏ على ‪d𝑡‬‏ يساوي ‪𝑘𝑃‬‏ مضروبًا في واحد ناقص ‪𝑃‬‏ على ‪𝐿‬‏ يعطى على الصورة: ‪𝑃‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ على واحد زائد ‪𝐴𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘𝑡‬‏، حيث ‪𝐴‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ صفر على ‪𝑃‬‏ صفر. وهنا، يمثل ‪𝑘‬‏ معدل النمو السكاني. ويمثل ‪𝐿‬‏ القدرة الاستيعابية. ويمثل ‪𝑃‬‏ صفر القيمة الابتدائية لعدد السكان. يمكننا معرفة كل قيمة من هذه القيم من معطيات المسألة.

أولًا، نلاحظ أن ‪𝑘‬‏ يساوي ‪0.07‬‏ و‪𝐿‬‏ يساوي ‪900‬‏. ونعلم أيضًا أن ‪𝑃‬‏ لصفر يساوي ‪50‬‏. وبالتالي، يمكننا التعويض بهذه القيم في الحل العام. دعونا نوجد قيمة ‪𝐴‬‏ أولًا. ‏‏‪𝐴‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ صفر على ‪𝑃‬‏ صفر. وذلك يساوي ‪900‬‏ ناقص ‪50‬‏ على ‪50‬‏ أو ‪850‬‏ على ‪50‬‏، وهو ما يساوي ‪17‬‏.

يمكننا الآن التعويض في الصيغة العامة للحل. ‏‏‪𝑃‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏، أي ‪900‬‏، على واحد زائد ‪𝐴‬‏، أي ‪17‬‏، ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘‬‏، أي سالب ‪0.7‬‏، ‪𝑡‬‏. وبذلك، نتوصل إلى الحل لـ ‪𝑃‬‏ أو ‪𝑃‬‏ لـ ‪𝑡‬‏. وهو يساوي ‪900‬‏ على واحد زائد ‪17𝑒‬‏ أس سالب ‪0.07𝑡‬‏.

في المثال الأخير، سنرى كيفية حساب معدل النمو السكاني ثم حساب عدد السكان في زمن محدد ‪𝑡‬‏.

افترض أن تعدادًا سكانيًا يزداد وفقًا لنموذج لوجستي بتعداد ابتدائي مقداره ‪1000‬‏ وبقدرة استيعابية ‪10000‬‏. إذا ازداد عدد السكان ليصبح ‪2500‬‏ بعد سنة واحدة، فماذا سيكون عدد السكان بعد مرور ثلاث سنوات أخرى؟

نعلم أن الحل العام للنموذج اللوجستي يعطى على الصورة ‪𝑃‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ على واحد زائد ‪𝐴𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘𝑡‬‏، حيث ‪𝐴‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ صفر على ‪𝑃‬‏ صفر. الرمز ‪𝐿‬‏ يمثل القدرة الاستيعابية لعدد السكان، و‪𝑃‬‏ صفر يمثل القيمة الابتدائية للتعداد السكاني، و‪𝑘‬‏ يمثل معدل النمو السكاني.

وردت في المسألة بعض المعطيات. إذ نعلم أن القيمة الابتدائية للتعداد السكاني، ‪𝑃‬‏ صفر، تساوي ‪1000‬‏. كما نعلم أن القدرة الاستيعابية، ‪𝐿‬‏، تساوي ‪10000‬‏. لكن، لا توجد معطيات بشأن معدل النمو السكاني. وإنما لدينا بدلًا من ذلك قيمتان لـ ‪𝑃‬‏ و‪𝑡‬‏. إذ نعلم أن عدد السكان بعد سنة واحدة يساوي ‪2500‬‏. يمكننا الربط بين هذه المعطيات وقيمتي ‪𝐿‬‏ و‪𝑃‬‏ صفر لتحديد معدل النمو السكاني.

أولًا، يمكننا حساب قيمة الثابت ‪𝐴‬‏. وهو يساوي ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ صفر على ‪𝑃‬‏ صفر، ‪10000‬‏ ناقص ‪1000‬‏ على ‪1000‬‏، أي ‪9000‬‏ على ‪1000‬‏، وهو ما يساوي تسعة. وبالتعويض بعد ذلك بقيمتي ‪𝐿‬‏ و‪𝐴‬‏ في النموذج لدينا، نحصل على ‪𝑃‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي ‪10000‬‏ على واحد زائد تسعة ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘𝑡‬‏.

يمكننا الآن استخدام عدد السكان بعد سنة واحدة لإيجاد قيمة ‪𝑘‬‏. بالتعويض عن ‪𝑃‬‏ بـ ‪2500‬‏ وعن ‪𝑡‬‏ بواحد، يكون لدينا ‪2500‬‏ يساوي ‪10000‬‏ على واحد زائد تسعة ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘‬‏. لإيجاد قيمة ‪𝑘‬‏، نضرب أولًا في واحد زائد تسعة ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘‬‏ ثم نقسم على ‪2500‬‏، ويعطينا ذلك واحدًا زائد تسعة ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘‬‏ يساوي أربعة. يمكننا بعد ذلك، طرح واحد والقسمة على تسعة، ومن ثم نحصل على ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘‬‏ يساوي أربعة ناقص واحد على تسعة، وهو ما يساوي ثلاثة أتساع أو ثلثًا.

بعد ذلك نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكل طرف، علمًا بأن ذلك يلغي الثابت الطبيعي ‪𝑒‬‏ في الطرف الأيسر، وبذلك نحصل على سالب ‪𝑘‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لثلث. يمكننا بعد ذلك الضرب في سالب واحد ليعطينا ‪𝑘‬‏ يساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي لثلث. وباستخدام قوانين اللوغاريتمات، هذا يساوي اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة. وبذلك نكون أوجدنا قيمة ‪𝑘‬‏، الذي يمثل معدل النمو السكاني. وبالتالي، يصبح النموذج ‪𝑃‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي ‪10000‬‏ على واحد زائد تسعة ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑡‬‏ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة.

والآن، مطلوب منا في المسألة إيجاد عدد السكان بعد ثلاث سنوات أخرى، وهو ما يعني أننا نبحث عن عدد السكان عند ‪𝑡‬‏ يساوي أربعة. إذن الخطوة الأخيرة هي التعويض عن ‪𝑡‬‏ بأربعة في النموذج. وبذلك، نحصل على ‪𝑃‬‏ لأربعة يساوي ‪10000‬‏ على واحد زائد تسعة ‪𝑒‬‏ أس سالب أربعة ‪ln‬‏ ثلاثة. يمكنك حل ذلك بسهولة إذا طبقت قوانين اللوغاريتمات في المقام. ومن ثم، نحصل على ‪10000‬‏ على ‪10‬‏ على تسعة، أي ‪10000‬‏ في تسعة على ‪10‬‏، وهو ما يساوي ‪9000‬‏. وبذلك، نجد أن عدد السكان بعد ثلاث سنوات أخرى، أي بعد أربع سنوات من عدد السنوات الذي بدأنا به وهو عام واحد، يساوي ‪9000‬‏.

لنلخص الآن ما تناولناه في هذا الفيديو. قدمنا النموذج اللوجستي الذي يمكن استخدامه كنموذج أكثر واقعية للنمو السكاني، حيث يعكس حقيقة أن نمو السكان لا يمكن عادة أن يستمر دون قيود بسبب محدودية الموارد. المعادلة التفاضلية اللوجستية للنمو السكاني هي: ‪d𝑃‬‏ على ‪d𝑡‬‏ يساوي ‪𝑘𝑃‬‏ في واحد ناقص ‪𝑃‬‏ على ‪𝐿‬‏، حيث يمثل ‪𝑘‬‏ معدل النمو، ويمثل ‪𝐿‬‏ القدرة الاستيعابية.

بفصل المتغيرات وإجراء التكامل، وجدنا أن حل المعادلة التفاضلية اللوجستية عند القيمة الابتدائية لعدد السكان ‪𝑃‬‏ صفر هو ‪𝑃‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ على واحد زائد ‪𝐴𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑘𝑡‬‏، حيث ‪𝐴‬‏ يساوي ‪𝐿‬‏ ناقص ‪𝑃‬‏ صفر على ‪𝑃‬‏ صفر. وينتج عن ذلك نموذج أكثر واقعية للنمو السكاني، حيث يزداد عدد السكان في البداية بمعدل أسي. لكن بعد ذلك يتباطأ معدل النمو. وفي النهاية، يستقر عدد السكان عند مستوى القدرة الاستيعابية له.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.