فيديو السؤال: تحديد كيف تتغير شدة التيار وفقًا لعدد المسارات المتوازية في الدائرة الكهربية الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

أنشأ طالب دائرة كهربية كما هو موضح بالشكل. في البداية، كان المفتاح الكهربي مفتوحًا. عندما يغلق الطالب المفتاح، هل يزداد التيار المار في الدائرة أم يقل؟

بالنظر إلى هذا الشكل، نرى فيه دائرة كهربية بسيطة. وتوجد بطارية توفر الجهد. وتوجد مقاومتان موصلتان معًا على التوازي. في أحد فرعي المقاومة، نلاحظ أن هناك مفتاحًا مفتوحًا حاليًّا. ونريد أن نعرف ماذا سيحدث عندما يغلق الطالب المفتاح بحيث يصبح هذا الجزء السفلي من الدائرة مسارًا كاملًا ويمكن للتيار أن يتدفق عبره، فهل سيزداد التيار الكلي المار في الدائرة أم سيقل؟ هذا سؤال مثير للاهتمام. وقبل أن نعرف ما سيحدث للتيار عند إغلاق المفتاح، لنحدد أولًا أين يمكن أن يمر التيار عندما يكون المفتاح مفتوحًا.

بالنظر إلى البطارية، نلاحظ أن التيار الاصطلاحي سيمر عكس اتجاه عقارب الساعة. إذن، سيمر من هنا، ثم يصل إلى نقطة التفرع هذه في الدائرة. وإذا كان المفتاح الموجود في الجزء السفلي من الدائرة مغلقًا، فهذا يعني أن التيار يمكن أن يمر عبر هذا الفرع السفلي. لكن بالطبع المفتاح مفتوح. ولا يمكن للتيار أن يمر عبر هذا الفرع. هذا يعني أن نسبة 100 بالمائة من التيار ستتدفق عبر الفرع العلوي، أي عبر هذه المقاومة، ثم تعود إلى الطرف السالب للبطارية. وهذا هو التيار الذي يمر في الدائرة عندما يكون المفتاح مفتوحًا.

لكننا علمنا من المعطيات أن الطالب أغلق المفتاح بعد ذلك. وعندما يحدث ذلك، يمكن للتيار أن يواصل تدفقه نحو الأسفل عندما يصل إلى هذا الجزء من الدائرة. فقد أصبح هناك مسار مغلق يمكن أن يتدفق عبره. ومن ثم، أصبح بإمكان التيار أن يمر عبر المقاومة الأخرى ثم يصعد إلى أعلى وينضم إلى الفرع الآخر. وكما ذكرنا، السؤال هو: ماذا يحدث للتيار عند إغلاق المفتاح؟ هل يزداد أم يقل في المجمل؟

لنبدأ الإجابة عن هذا السؤال بتذكر قانون معين للدوائر الكهربية، وهو قانون أوم. ينص هذا القانون على أنه في حالة وجود مقاومة ذات قيمة ثابتة، إذا ضربنا قيمة هذه المقاومة في التيار الذي يمر عبرها، فهذا سيساوي فرق الجهد عبر المقاومة. وبالنظر إلى الدائرة، نلاحظ أنها لا تحتوي على أي رموز. لكن هذا لا يعني أنه لا يمكننا وضع بعض الرموز بأنفسنا. ماذا لو انتقلنا إلى البطارية وقلنا إنها توفر فرق جهد مقداره ‪𝑉‬‏؟ ليس هذا فحسب، بل يمكننا أيضًا تسمية المقاومتين اللتين ليس لهما مسمى. لنسم المقاومة العلوية ‪𝑅‬‏ واحدًا. وسنسمي المقاومة السفلية ‪𝑅‬‏ اثنين. لاحظ أننا لم نحدد قيمتي هاتين المقاومتين أو حتى العلاقة بينهما. وإنما أسميناهما فحسب.

ما يعنينا إجمالًا هو حالتان لهذه الدائرة الكهربية. حالة يمكننا أن نسميها حالة ما قبل غلق المفتاح. وهي الحالة التي يظل فيها المفتاح مفتوحًا، ويتدفق التيار عبر مقاومة واحدة فقط. إذا طبقنا قانون أوم على هذه الحالة قبل غلق المفتاح، يمكننا القول إن ‪𝑉‬‏، وهو فرق الجهد الذي توفره البطارية، يساوي ‪𝐼‬‏، وسنسميه ‪𝐼𝑏‬‏، وهو التيار المار في هذه الدائرة قبل غلق المفتاح، مضروبًا في المقاومة الوحيدة في الدائرة، وهي ‪𝑅‬‏ واحد. تذكر أنه عندما كان المفتاح مفتوحًا، لم يكن للتيار خيار سوى المرور عبر هذا الفرع العلوي من الدائرة، عبر المقاومة ‪𝑅‬‏ واحد. ولم يمر عبر المقاومة ‪𝑅‬‏ اثنين على الإطلاق.

إذن قبل غلق المفتاح، ستكون هذه معادلة قانون أوم الخاصة بهذه الحالة. ويمكننا إعادة ترتيبها لإيجاد قيمة التيار ‪𝐼𝑏‬‏. ‏‪𝐼𝑏‬‏، التيار المار في الدائرة قبل غلق المفتاح، يساوي فرق الجهد الذي توفره البطارية مقسومًا على ‪𝑅‬‏ واحد. لا نعرف بالطبع قيمة ‪𝑉‬‏ و‪𝑅‬‏ واحد، ولا نحتاج إلى ذلك. فنحن نحتاج فقط إلى إيجاد قيمة ‪𝐼𝑏‬‏ بالنسبة إلى قيمة التيار بعد غلق المفتاح، وهو ما سنسميه ‪𝐼𝑐‬‏. لنلق نظرة على ذلك الآن. لنلق نظرة على التيار المار في الدائرة بعد غلق المفتاح.

قبل تطبيق قانون أوم على حالة ما بعد غلق المفتاح، ثمة أمر مهم ينبغي توضيحه. عندما أغلق المفتاح، لاحظنا أن التيار ينقسم عبر الفرعين الموصلين على التوازي في الدائرة. بعبارة أخرى، إذا اخترنا نقطة تقع على أحد هذين الفرعين الموصلين على التوازي، فلن نحصل على التيار الكلي للدائرة. ولكن نظرًا لأننا نريد إيجاد مقدار التيار الكلي للدائرة، فسنتناول هذه الدائرة عند نقطة يكون التيار عندها غير منقسم، أي قبل انقسامه بين الفرعين. لنتناول الدائرة عند هذه النقطة الموجودة هنا.

بتطبيق قانون أوم على هذه الحالة، يمكننا القول مرة أخرى إن فرق الجهد الذي توفره البطارية يساوي التيار الكلي المار في الدائرة عند هذه النقطة، الذي سنسميه ‪𝐼𝑐‬‏، مضروبًا في المقاومة الكلية للدائرة التي سنسميها في الوقت الحالي ‪𝑅𝑡‬‏. بالمقارنة سريعًا بين هذه المعادلة والمعادلة السابقة التي استخدمناها لإيجاد قيمة ‪𝐼𝑏‬‏، يمكننا أن نلاحظ أن لب المسألة يتمثل في مقارنة ‪𝑅𝑡‬‏، أي المقاومة الكلية للدائرة، بـ ‪𝑅‬‏ واحد. فالمقارنة بين قيمتي هاتين المقاومتين هي التي ستحدد إذا ما كان ‪𝐼𝑐‬‏ أكبر من ‪𝐼𝑏‬‏ أم أصغر منه. أي إذا ما كان التيار يزداد أم يقل.

إذن ما قيمة ‪𝑅𝑡‬‏؟ ما المقاومة الكلية المكافئة للدائرة عند غلق المفتاح؟ في هذه الحالة، لدينا مقاومتان موصلتان على التوازي. أسميناهما ‪𝑅‬‏ واحد و‪𝑅‬‏ اثنين. عند توصيل المقاومات بهذه الطريقة ووجود مقاومتين فقط، فثمة علاقة رياضية محددة لحساب المقاومة الكلية أو المكافئة لهما. يمكننا أن نسمي هذه المقاومة المكافئة ‪𝑅‬‏ اثنين ‪𝑝‬‏، عند توصيل المقاومتين على التوازي. في هذه الحالة، المقاومة الكلية للمقاومتين تساوي حاصل ضربهما مقسومًا على حاصل جمعهما.

لنطبق هذه العلاقة على هذه الحالة التي تتضمن المقاومتين ‪𝑅‬‏ واحد و‪𝑅‬‏ اثنين. عندما نفعل ذلك، نجد أن المقاومة الكلية لدائرة التوازي، عند غلق المفتاح، تساوي ‪𝑅‬‏ واحد في ‪𝑅‬‏ اثنين مقسومًا على ‪𝑅‬‏ واحد زائد ‪𝑅‬‏ اثنين. للوهلة الأولى، قد يبدو أن التعويض بهذا المقدار في معادلة ‪𝑅𝑡‬‏ لن يساعدنا كثيرًا. ولكن عندما نعيد ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝐼𝑐‬‏، أي التيار الكلي للدائرة بعد غلق المفتاح، فإن ما نحصل عليه في الطرف الأيمن من المعادلة هو هذا المقدار. وتذكر أننا لا نعرف قيمة ‪𝑉‬‏، أو ‪𝑅‬‏ واحد، أو ‪𝑅‬‏ اثنين. لكن لحسن الحظ، ليس علينا إيجاد قيمة أي منها. كل ما نحتاج إلى معرفته هو أيهما أكبر، ‪𝐼c‬‏ أم ‪𝐼𝑏‬‏.

يمكننا معرفة ذلك بإعادة كتابة مقدار هذا المقام في معادلة ‪𝐼c‬‏. لاحظ أن هذا المقدار يتكون من ‪𝑅‬‏ واحد مضروبًا في ‪𝑅‬‏ اثنين مقسومًا على مجموع ‪𝑅‬‏ واحد زائد ‪𝑅‬‏ اثنين. هذا يعني أنه يمكننا كتابته بطريقة مختلفة. يمكننا كتابة هذا المقدار على الصورة ‪𝑅‬‏ واحد مضروبًا في الكمية ‪𝑅‬‏ اثنين مقسومًا على ‪𝑅‬‏ واحد زائد ‪𝑅‬‏ اثنين. تكمن أهمية ذلك في الحصول على ‪𝑉‬‏ مقسومًا على ‪𝑅‬‏ واحد، وهو ما لدينا في معادلة ‪𝐼𝑏‬‏. وهو يساوي ‪𝑉‬‏ مقسومًا على ‪𝑅‬‏ واحد.

إذن يتوقف حل السؤال بالكامل على ذلك. هل هذا المقدار الموجود هنا، ‪𝑅‬‏ اثنان مقسومًا على ‪𝑅‬‏ واحد زائد ‪𝑅‬‏ اثنين، أكبر أم أصغر من واحد؟ إذا كان أكبر من واحد، فهذا يعني أنه عندما نضربه في ‪𝑅‬‏ واحد، سيكون ‪𝐼c‬‏ أقل إجمالًا من ‪𝐼𝑏‬‏. وعلى الجانب الآخر، إذا كان ‪𝑅‬‏ اثنان مقسومًا على ‪𝑅‬‏ واحد زائد ‪𝑅‬‏ اثنين أصغر من واحد، فهذا يعني أنه عندما نضربه في ‪𝑅‬‏ واحد، سيزداد التيار الكلي ‪𝐼c‬‏ مقارنة بـ ‪𝐼𝑏‬‏. أيهما صحيح إذن؟ هل ‪𝑅‬‏ اثنان مقسومًا على ‪𝑅‬‏ واحد زائد ‪𝑅‬‏ اثنين أكبر من واحد؟ أم أصغر من واحد؟

يمكننا التفكير في الأمر على النحو الآتي. ‏‪𝑅‬‏ اثنان يظهر في كل من البسط والمقام. وإذا كان ‪𝑅‬‏ واحد يساوي صفرًا، فهذا الكسر بأكمله سيساوي واحدًا. فسيساوي ‪𝑅‬‏ اثنين مقسومًا على ‪𝑅‬‏ اثنين. لكننا نعلم أن ‪𝑅‬‏ واحد موجود في المقام. ويمكننا افتراض أن ‪𝑅‬‏ واحد أكبر من صفر. بعبارة أخرى، هذه المقاومة موجودة بالفعل في الدائرة. ومن ثم، عند إضافة هذا العدد الذي لا يساوي صفرًا ويمثل ‪𝑅‬‏ واحد إلى قيمة ‪𝑅‬‏ اثنين، ثم قسمة ‪𝑅‬‏ اثنين على هذا المجموع؛ فسنحصل على ناتج قيمته أصغر من واحد. وذلك لأن المقام، ‪𝑅‬‏ اثنين زائد ‪𝑅‬‏ واحد، أكبر من البسط، ‪𝑅‬‏ اثنين، بمفرده. إذن إذا كان هذا الكسر الموجود هنا أصغر من واحد، وهذا ما وجدناه بالفعل، فعندما نضربه في ‪𝑅‬‏ واحد ثم نقسم ‪𝑉‬‏ على حاصل الضرب هذا، فإن ما نفعله هو قسمة نفس البسط على مقام أصغر نسبيًّا مقارنة بمقام ‪𝐼𝑏‬‏.

ثمة طريقة لتوضيح ذلك رياضيًّا، وهي أخذ ‪𝐼𝑏‬‏، الذي يساوي ‪𝑉‬‏ مقسومًا على ‪𝑅‬‏ واحد، والتعويض به في المقدار الذي يساويه ‪𝐼c‬‏. عندما نفعل ذلك، ونعيد ترتيب الكسر الموجود في مقام مقدار ‪𝐼𝑐‬‏، نجد أن ‪𝐼𝑐‬‏ يساوي ‪𝐼𝑏‬‏ مضروبًا في هذه القيمة التي هي أكبر من واحد. وهذا يخبرنا بأن التيار يزداد بعد غلق المفتاح مقارنة بما كان عليه قبل غلقه. وهذا يعني أنه يمكننا الإجابة عن هذا السؤال بأن التيار سيزداد عند غلق المفتاح.