فيديو: استخدام القسمة التركيبية لإيجاد أصفار كثيرة الحدود

ينتمي أحد أصفار الدالة ‪𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 4𝑥² − 17𝑥 + 60‬‏ إلى المجموعة ‪{2, 3,4}‬‏. باستخدام القسمة التركيبية، أوجد كل أصفار ‪𝑓‬‏.

٠٥:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

ينتمي أحد أصفار الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑥 تكعيب ناقص أربعة 𝑥 تربيع ناقص 17𝑥 زائد 60، إلى المجموعة اثنان، ثلاثة، أربعة. باستخدام القسمة التركيبية، أوجد كل أصفار الدالة 𝑓.

لدينا هنا دالة أصفارها المحتملة هي: اثنان أو ثلاثة أو أربعة. ونعرف أن واحدًا فقط من هذه الأصفار هو أحد أصفار الدالة. وأن صفر الدالة يقسمها دون باق. إذن، علينا أن نأخذ هذه الأعداد ونستخدم القسمة التركيبية لنحدد ما إذا كان أحدها صفرًا من أصفار الدالة أم لا.

لنبدأ بالعدد اثنين. نكتبه في الخارج هكذا. بعد ذلك، نستخدم جميع المعاملات والثوابت ونتأكد من أن درجة الحد في ترتيب تنازلي. إذن، نحن لدينا واحد، وسالب أربعة، وسالب 17 ثم 60. ولكي نجري القسمة التركيبية، نكتب أول عدد بالأسفل، ألا وهو واحد. الآن، واحد في اثنين. ثم نكتب الناتج هنا. وواحد في اثنين يساوي اثنين. ثم نجمع الأعمدة معًا. سالب أربعة زائد اثنين يساوي سالب اثنين.

والآن سنكرر العملية. حاصل ضرب سالب اثنين في اثنين يساوي سالب أربعة. وسالب 17 زائد سالب أربعة يساوي سالب 21. ثم سالب 21 في اثنين يساوي سالب 42 و60 زائد سالب 42 يساوي 18. ثمة طريقة لقراءة هذه الأعداد من ناحية اليمين، حيث باقي القسمة هو 18. إذن، هذا هو العدد المتبقي. هكذا، لدينا سالب 21 هو العدد الثابت، وسالب اثنين هو معامل 𝑥، وواحد هو معامل 𝑥 تربيع. ثم نواصل الحل لنرى ما إذا كان هناك مزيد من الأعداد.

ونظرًا لوجود عدد متبق، فإن هذا يعني أن اثنين لا يقسم الدالة دون باق. إذن اثنان ليس أحد الأصفار. فلنجرب ثلاثة. من خلال الاستعانة بعملية القسمة التركيبية نفسها، نكتب العدد واحد بالأسفل، واحد في ثلاثة يساوي ثلاثة. وسالب أربعة زائد ثلاثة يساوي سالب واحد، وسالب واحد في ثلاثة يساوي سالب ثلاثة. وسالب 17 زائد سالب ثلاثة يساوي سالب 20. الآن، سالب 20 في ثلاثة يساوي سالب 60، و60 زائد سالب 60 يساوي صفرًا. هذا يعني أن الباقي لدينا صفر. حسنًا، رائع. هذا يعني أن ثلاثة يقسم الدالة دون باق. وبالتالي، ثلاثة هي الحل الصحيح.

الآن، لنجرب العدد أربعة لنتأكد فقط من الحل، على الرغم من أن إجابة واحدة فقط هي الصحيحة. نكتب العدد واحدًا بالأسفل. واحد في أربعة يساوي أربعة وسالب أربعة زائد أربعة يساوي صفرًا. ومرة أخرى، صفر في أربعة يساوي صفرًا. وسالب 17 زائد صفر يساوي سالب 17. وسالب 17 في أربعة يساوي سالب 68. و60 زائد سالب 68 يساوي سالب ثمانية. وبالتالي، يتبقى سالب ثمانية. هكذا، لن تتم القسمة دون باق. إذن، ثلاثة هو صفر الدالة الذي نبحث عنه.

بعد ذلك، مطلوب إيجاد جميع أصفار الدالة 𝑓. إذن، إذا كنا نعرف أن ثلاثة هو أحد هذه الأصفار، فيمكننا الاستعانة به ليساعدنا في إيجاد بقية الأصفار. حسنًا، نحن نعرف أن الصفر هو باقي القسمة، وأن سالب 20 ثابت، وأن سالب واحد هو معامل 𝑥، وأن واحد هو معامل 𝑥 تربيع. إذن، لدينا الدالة 𝑥 تربيع ناقص 𝑥 ناقص 20. يمكننا أن نساوي هذا بصفر ونحلل لإيجاد بقية الأصفار.

فما العددان اللذان حاصل ضربهما سالب 20 وحاصل جمعهما سالب واحد؟ الإجابة هي سالب خمسة وموجب أربعة. ولكي نتوصل إلى الإجابة، أي إلى أصفار الدالة، علينا أن نساوي كل عامل بالصفر. إذن، لنبدأ بـ 𝑥 ناقص خمسة، لإيجاد قيمة 𝑥، علينا أن نضيف خمسة إلى كلا طرفي المعادلة. وبالتالي، فإن 𝑥 يساوي خمسة. لكي نتوصل إلى الحل الآخر، علينا أن نطرح أربعة من طرفي المعادلة، فنجد أن 𝑥 يساوي سالب أربعة.

وعليه، فإن أصفار هذه الدالة هي سالب أربعة وثلاثة وخمسة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.