فيديو السؤال: إيجاد عددين بمعلومية وسطهما الهندسي ومجموعهما الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد العددين الموجبين اللذين وسطهما الهندسي ٤٢ ومجموعهما ٨٥.

لحل هذه المسألة، سنستعين بطريقة جبرية. سنستخدم الحرفين ﺃ وﺏ لتمثيل العددين. وبما أننا علمنا من المعطيات أن كلا هذين العددين موجبان، فإن هذا يعني أن كلا من ﺃ وﺏ أكبر من صفر. سنستخدم الآن المعطيات لدينا لتكوين بعض المعادلات. توضح المسألة أن مجموع هذين العددين هو ٨٥، وعليه تصبح لدينا المعادلة ﺃ زائد ﺏ يساوي ٨٥. علمنا بعد ذلك أن الوسط الهندسي لهذين العددين هو ٤٢. حسنًا، يعرف الوسط الهندسي لأي عددين ﺃ وﺏ، ولا بد أن تكون لهما الإشارة نفسها، بأنه يساوي الجذر التربيعي لحاصل ضربهما، ﺃﺏ. ولا يمكن إيجاد الوسط الهندسي إلا لعددين لهما الإشارة نفسها؛ وذلك لأنه إذا كانت لهما إشارتان مختلفتان، فإن حاصل ضربهما سيكون سالبًا. والجذر التربيعي لعدد سالب يعطينا عددًا غير حقيقي.

إذا كان الوسط الهندسي للعددين هو ٤٢، يمكننا تكوين هذه المعادلة؛ الجذر التربيعي لـ ﺃﺏ يساوي ٤٢. لدينا الآن زوج من المعادلات الآنية في المتغيرين ﺃ وﺏ علينا حلهما. سنبدأ بإعادة ترتيب المعادلة الأولى بحيث نحصل على تعبير لـ ﺏ بدلالة ﺃ. سنطرح ﺃ من كلا الطرفين، وهذا يعطينا ﺏ يساوي ٨٥ ناقص ﺃ. ولتبسيط المعادلة الثانية، يمكننا تربيع الطرفين. لكن بما أن طرفي المعادلة لهما قيمة موجبة فقط، فلن نحصل على أي حلول إضافية عند التربيع. وبذلك، يصبح لدينا ﺃﺏ يساوي ٤٢ تربيع، و٤٢ تربيع يساوي ١٧٦٤. لحل هاتين المعادلتين، سنعوض بالتعبير الذي يدل على ﺏ من المعادلة الأولى، أي ٨٥ ناقص ﺃ، في المعادلة الثانية؛ لأن هذا سيعطينا معادلة في ﺃ فقط. ومن ثم، يصبح لدينا المعادلة ﺃ مضروبًا في ٨٥ ناقص ﺃ يساوي ١٧٦٤.

بفك القوسين في الطرف الأيمن بالتوزيع، نحصل على ٨٥ﺃ ناقص ﺃ تربيع، وهذا أيضًا يساوي ١٧٦٤. وأخيرًا، سنقوم بتجميع كل الحدود في طرف واحد من المعادلة، أي الطرف الأيسر في هذه الحالة، بحيث يكون معامل ﺃ تربيع موجبًا. وهذا يعطينا المعادلة صفر يساوي ﺃ تربيع ناقص ٨٥ﺃ زائد ١٧٦٤. هذه معادلة تربيعية في ﺃ. وفي الواقع، يمكن حلها باستخدام التحليل. قد يتضمن ذلك بعض التجربة والخطأ، وقد نجد أنه من الأسهل استخدام القانون العام. لكن يمكننا تحليلها بالفعل إلى ﺃ ناقص ٣٦ في ﺃ ناقص ٤٩.

نحن نعلم أن هذا التحليل صحيح لأننا إذا جمعنا هذين العددين، أي سالب ٣٦ وسالب ٤٩ معًا، فسنحصل على سالب ٨٥، وهو معامل ﺃ في المعادلة التربيعية لدينا. وإذا ضربناهما معًا، فسنحصل على موجب ١٧٦٤، وهو الحد الثابت.

يمكننا بعد ذلك استرجاع أنه إذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا، فلا بد أن أحد العاملين على الأقل يساوي صفرًا. هذا يعني أنه إما أن ﺃ ناقص ٣٦ يساوي صفرًا، وإما أن ﺃ ناقص ٤٩ يساوي صفرًا. وبذلك، يكون لدينا معادلتان خطيتان مباشرتان لإيجاد قيمة ﺃ. لحل المعادلة الأولى، نضيف ٣٦ إلى كلا الطرفين؛ ما يجعلنا نحصل على ﺃ يساوي ٣٦. ولحل المعادلة الثانية، نضيف ٤٩ إلى كلا الطرفين، وهذا يعطينا ﺃ يساوي ٤٩. إذن، هناك قيمتان محتملتان لـ ﺃ. في الواقع، هاتان هما القيمتان المحتملتان لكل من ﺃ وﺏ. وذلك لأننا لم نحدد أي من العددين ﺃ وﺏ له قيمة أكبر. إذن باتباع هذه الطريقة، توصلنا إلى حلين. الحل الأول ﺃ يساوي ٣٦، وفي هذه الحالة ﺏ سيساوي ٤٩، والحل الثاني ﺃ يساوي ٤٩، وفي هذه الحالة ﺏ سيساوي ٣٦.

دعونا نتحقق من ذلك بالتعويض بكل قيمة لـ ﺃ في المعادلة لإيجاد قيمة ﺏ. إذا كان ﺃ يساوي ٣٦، فإن ﺏ سيساوي ٨٥ ناقص ٣٦؛ أي ٤٩. وإذا كان ﺃ يساوي ٤٩، فإن ﺏ سيساوي ٨٥ ناقص ٤٩؛ أي ٣٦. وبذلك نكون قد أوجدنا العددين اللذين نبحث عنهما. إنهما ٣٦ و٤٩. لقد استخدمنا المعادلة التي تعبر عن مجموع هذين العددين لحساب العدد الثاني. والآن، دعونا نستخدم قيمة الوسط الهندسي المعطاة لنا للتحقق من إجابتنا.

الوسط الهندسي لهذين العددين يساوي الجذر التربيعي لحاصل ضربهما. هذا يعني أنه يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٦ مضروبًا في ٤٩. لكن كلًّا من هذين العددين هو عدد مربع. العدد ٣٦ يساوي ستة تربيع والعدد ٤٩ يساوي سبعة تربيع. إذن، ما لدينا هنا هو الجذر التربيعي لستة تربيع مضروبًا في سبعة تربيع. باستخدام قوانين الجذور الصماء أو الجذور، يمكننا قول إن هذا يساوي الجذر التربيعي لستة تربيع مضروبًا في الجذر التربيعي لسبعة تربيع. الجذر التربيعي لستة تربيع يساوي ستة، والجذر التربيعي لسبعة تربيع يساوي سبعة. وعليه، فإن الوسط الهندسي يساوي ستة مضروبًا في سبعة، وهو ما يعطينا ٤٢. وهذا يثبت صحة إجابتنا.

إذن، العددان الموجبان اللذان وسطهما الهندسي ٤٢ ومجموعهما ٨٥ هما ٣٦ و٤٩.