فيديو: اشتقاق الدوال الأسية باستخدام قاعدة السلسلة

أوجد ‪d𝑦/d𝑥‬‏ إذا كان ‪𝑦 = 4^(9𝑥² − 4𝑥 + 8)‬‏.

٠٤:٢٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ إذا كان ‪𝑦‬‏ يساوي أربعة أس تسعة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية.

لإيجاد قيمة ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏، سنستخدم قاعدة السلسلة. تنص قاعدة السلسلة على أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وهذا عندما يساوي ‪𝑦‬‏ دالة في المتغير ‪𝑢‬‏ ويساوي ‪𝑢‬‏ دالة في المتغير ‪𝑥‬‏. حسنًا، علمنا الآن ما تنص عليه قاعدة السلسلة. إذن، فلنطبقها في المسألة لحلها وإيجاد قيمة ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

أولًا، علينا تحديد قيمة ‪𝑢‬‏. سنجد أنها تساوي تسعة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية. إذن، فإن ‪𝑦‬‏ سيساوي أربعة أس ‪𝑢‬‏. هكذا، فإن هذه هي الخطوة الأولى. والآن، علينا الاشتقاق لإيجاد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ و‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

سنبدأ بإيجاد ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏، وسيكون ذلك عن طريق اشتقاق المقدار تسعة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية. وسيعطينا هذا ‪18𝑥‬‏ ناقص أربعة. وقد فعلنا هذا بالطريقة المعتادة. فقمنا باشتقاق هذا الحد أو تمييزه مع الحد الأول. وما فعلناه أننا ضربنا الأس في المعامل. اثنان في تسعة يساوي ‪18‬‏، ثم طرحنا واحدًا من الأس — فأصبح واحدًا بدلًا من اثنين. وبذلك، حصلنا على ‪18𝑥‬‏.

رائع! هكذا نكون قد اشتققنا هذا الحد؛ والآن، فلنوجد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏. ولإيجاد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏، سيكون علينا اشتقاق أربعة أس ‪𝑢‬‏. ولفعل هذا سنستخدم القاعدة العامة التي تنص على أننا إذا أردنا اشتقاق ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑥‬‏، فسنحصل على ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑥‬‏ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑎‬‏. وبالتالي، يصبح الحل أربعة أس ‪𝑢‬‏، لأن أربعة هنا يعبر عن ‪𝑎‬‏، مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة لأنه، مرة أخرى، يعبر عن ‪𝑎‬‏ في المسألة، ولأن ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑥‬‏ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑎‬‏.

رائع، وهكذا نكون قد اشتققنا كلا الحدين. ويمكننا الآن استخدام قاعدة السلسلة معهما لإيجاد قيمة ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. إذن، سنستخدم قاعدة السلسلة التي تنص على أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. فنكتب ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي أربعة أس ‪𝑢‬‏ في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة، حيث كانت هذه هي قيمة ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏، ثم نضرب هذا في ‪18𝑥‬‏ ناقص أربعة، والتي هي قيمة ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

حسنًا، هذا رائع، ولكن هذا ليس الحل النهائي؛ لأننا نلاحظ أنه ما زال يحتوي على ‪𝑢‬‏. إذن، ما علينا فعله هو التعويض بقيمة ‪𝑢‬‏. وهكذا، فإننا — بعد إعادة الترتيب هنا قليلًا — سنحصل على ‪18𝑥‬‏ ناقص أربعة في أربعة أس تسعة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية، لأن هذه هي قيمة ‪𝑢‬‏، ثم نضرب هذا في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة.

وعليه، وبعد بعض التنظيم باستخدام التحليل إلى العوامل الأولية، يمكننا القول إنه إذا كان ‪𝑦‬‏ يساوي أربعة أس تسعة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي اثنين في تسعة ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين. وقد حصلنا على هذا الناتج لأننا حللنا ‪18𝑥‬‏ ناقص أربعة، لأن اثنين عامل مشترك في كل من ‪18𝑥‬‏ وسالب أربعة. وضربنا هذا في أربعة أس تسعة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية اللوغاريتم الطبيعي لأربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.