فيديو السؤال: اشتقاق الدوال التي تتضمن نسبًا مثلثية باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

استخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد مشتقة الدالة ﺹ يساوي اثنين جتا ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ.

فنحن نريد إيجاد مشتقة الدالة ﺹ يساوي اثنين جتا ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ. بعبارة أخرى، نريد إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. ولدينا تلميح عن كيفية فعل هذا. طلب منا في المسألة استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي. فما معنى الاشتقاق اللوغاريتمي؟

حسنًا، الجزء اللوغاريتمي في الاشتقاق اللوغاريتمي هو إيجاد اللوغاريتم الطبيعي في كلا طرفي هذه المعادلة. أما جزء الاشتقاق في الاشتقاق اللوغاريتمي، فهو اشتقاق كلا الطرفين بعد ذلك. ولكن قبل القيام بهذا، دعونا نستخدم بعض قوانين اللوغاريتمات لنجعل الطرف الأيسر أسهل في الاشتقاق.

أول ما يمكننا فعله هو كتابة لوغاريتم حاصل الضرب في صورة مجموع لوغاريتمين. ولكن هذه الطريقة لا تفيدنا في موضوع الاشتقاق اللوغاريتمي على وجه الخصوص. أما قانون اللوغاريتمات المفيد حقًّا في هذه المسألة، فهو لوغاريتم ﺃ مرفوعًا للقوة ﺏ يساوي ﺏ في لوغاريتم ﺃ. وبما أن ﺃ يساوي جتا ﺱ وﺏ يساوي ﺱ، نجد أن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ هو اللوغاريتم الطبيعي لـ اثنان زائد ﺱ اللوغاريتم الطبيعي لـ جتا ﺱ.

والآن وقد بسطنا قدر الإمكان باستخدام قوانين اللوغاريتمات، حان وقت الانتقال إلى جزء الاشتقاق في الاشتقاق اللوغاريتمي. إذن علينا اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. لنفرغ بعض المساحة للاشتقاق. فكيف نشتق اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ؟ حسنًا، يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة. فبما أن ﺩ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ، إذن فإن القيمة التي نبحث عنها هي ﺩﺩ على ﺩﺱ.

وتخبرنا قاعدة السلسلة بأن هذا يساوي ﺩﺩ على ﺩﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وهكذا نكون قد طبقنا هنا قاعدة السلسلة مع ﺩ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ. إذن فما قيمة ﺩ اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ على ﺩﺹ — أي مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺹ؟ إنها واحد على ﺹ. وهذا لأن مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي هي مقلوب الدالة.

ننتقل الآن إلى الطرف الأيسر، إذ تساوي مشتقة المجموع مجموع المشتقات. وبما أن اللوغاريتم الطبيعي لاثنين اللوغاريتم الطبيعي لـ اثنين مقدار ثابت، فإن مشتقته بالنسبة إلى ﺱ تساوي صفرًا. فما يعنينا الآن هو الحد الثاني. إذن هذه هي مشتقة حاصل ضرب ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ومن ثم، علينا تطبيق قاعدة الضرب.

فلنطبق قاعدة الضرب. يمكنك التوقف لبرهة هنا وإيقاف الفيديو مؤقتًا — إذا أردت — للتأكد من تطبيقنا للقاعدة بشكل صحيح. ونلاحظ أن الحد الثاني الذي حصلنا عليه مباشر نسبيًّا. إذ إن ﺩ على ﺩﺱ لـ ﺱ يساوي واحدًا. وبالتالي يكون هذا الحد اللوغاريتم الطبيعي لـ جتا ﺱ فقط. ولكن المشتقة الثانية صعبة بعض الشيء. فلحسابها، سنحتاج إلى تطبيق قاعدة السلسلة مرة أخرى.

إذا كتبنا ﺩ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ جتا ﺱ، فإننا نبحث عن ﺩﺩ على ﺩﺱ. ولنرمز للمتغير المساعد في قاعدة السلسلة بالرمز ﻉ. ونكتب ﻉ يساوي جتا ﺱ ثم ﺩ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ. فما فعلته هنا هو أني استخدمت تعريف ﺩ لكتابة ﺩ على ﺩﺱ على اللوغاريتم الطبيعي لـ جتا ﺱ في صورة ﺩﺩ على ﺩﺱ. والآن يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة. ‏ﺩﺩ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺩ على ﺩﻉ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. فما ناتج ﺩﺩ على ﺩﻉ؟ إذا كان ﺩ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ، فإن ﺩﺩ على ﺩﻉ يساوي واحدًا على ﻉ. وإلام كان يرمز ﻉ؟ كان يرمز إلى المتغير المساعد، الذي يمكن إعادة تعريفه ليصبح جتا ﺱ.

فلنستخدم إذن جتا ﺱ بدلًا من ﻉ لكتابة كل الحدود بالنسبة إلى ﺱ. والآن ماذا عن ﺩﻉ على ﺩﺱ؟ ‏ﻉ يساوي جتا ﺱ، ومشتقة جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب جا ﺱ. ونكون بذلك قد طبقنا قاعدة السلسلة. ووجدنا أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ جتا ﺱ تساوي واحدًا على جتا ﺱ في سالب جا ﺱ، ويمكن كتابة هذا بالتأكيد في صورة كسر واحد. فنكتب سالب جا ﺱ على جتا ﺱ، ويمكننا تبسيط هذا أكثر ليصبح سالب ظا ﺱ.

يبدو هذا مفاجئًا بعض الشيء، وسيتضح لنا فيما بعد أن هذه حقيقة مفيدة إلى حد كبير. على أية حال، تذكر أننا نبحث عن ﺩﺹ على ﺩﺱ. وقد اقتربنا جدًّا من إيجاد الناتج. ففي الطرف الأيمن، لدينا واحد على ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. ومن ثم، يمكننا ضرب كلا الطرفين في ﺹ لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ وﺹ. ونريد إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ فقط، متى كان هذا ممكنًا. وهذا ممكن هنا؛ لأننا يمكننا التعويض عن ﺹ باثنين في جتا ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ.

وبإجراء هذا التعويض وإعادة ترتيب الحدود بعض الشيء، وكتابة ﺩﺹ على ﺩﺱ في صورة ﺹ شرطة، نحصل على الناتج النهائي، وهو ﺹ شرطة يساوي اثنين جتا ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ جتا ﺱ ناقص ﺱ ظا ﺱ.