فيديو: اشتقاق الدوال التي تتضمن نسبًا مثلثية باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي

استخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد مشتقة الدالة ‪𝑦 = 2(cos 𝑥)^𝑥‬‏.

٠٥:٢٣

‏نسخة الفيديو النصية

استخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد مشتقة الدالة 𝑦 يساوي اثنين cos 𝑥 مرفوعًا للقوة 𝑥.

فنحن نريد إيجاد مشتقة الدالة 𝑦 يساوي اثنين cos 𝑥 مرفوعًا للقوة 𝑥. بعبارة أخرى، نريد إيجاد d𝑦 على d𝑥. ولدينا تلميح عن كيفية فعل هذا. طلب منا في المسألة استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي. فما معنى الاشتقاق اللوغاريتمي؟

حسنًا، الجزء اللوغاريتمي في الاشتقاق اللوغاريتمي هو إيجاد اللوغاريتم الطبيعي في كلا طرفي هذه المعادلة. أما جزء الاشتقاق في الاشتقاق اللوغاريتمي، فهو اشتقاق كلا الطرفين بعد ذلك. ولكن قبل القيام بهذا، دعونا نستخدم بعض قوانين اللوغاريتمات لنجعل الطرف الأيمن أسهل في الاشتقاق.

أول ما يمكننا فعله هو كتابة لوغاريتم حاصل الضرب في صورة مجموع لوغاريتمين. ولكن هذه الطريقة لا تفيدنا في موضوع الاشتقاق اللوغاريتمي على وجه الخصوص. أما قانون اللوغاريتمات المفيد حقًا في هذه المسألة، فهو لوغاريتم 𝑎 مرفوعًا للقوة 𝑏 يساوي 𝑏 في لوغاريتم 𝑎. وبما أن 𝑎 يساوي cos 𝑥 و𝑏 يساوي 𝑥، نجد أن اللوغاريتم الطبيعي 𝑦 ln 𝑦 هو ln اثنان زائد 𝑥 ln cos 𝑥.

والآن وقد بسطنا قدر الإمكان باستخدام قوانين اللوغاريتمات، حان وقت الانتقال إلى جزء الاشتقاق في الاشتقاق اللوغاريتمي. إذن علينا اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى 𝑥. لنفرغ بعض المساحة للاشتقاق. فكيف نشتق ln 𝑦 بالنسبة إلى 𝑥؟ حسنًا، يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة. فبما أن 𝑓 يساوي ln 𝑦، إذن فإن القيمة التي نبحث عنها هي d𝑓 على d𝑥.

وتخبرنا قاعدة السلسلة بأن هذا يساوي d𝑓 على d𝑦 في d𝑦 على d𝑥. وهكذا نكون قد طبقنا هنا قاعدة السلسلة مع 𝑓 يساوي ln 𝑦. إذن فما قيمة d ln 𝑦 على d𝑦 — أي مشتقة ln 𝑦 بالنسبة إلى 𝑦؟ إنها واحد على 𝑦. وهذا لأن مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي هي مقلوب الدالة.

ننتقل الآن إلى الطرف الأيسر، إذ تساوي مشتقة المجموع مجموع المشتقات. وبما أن اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ln اثنين مقدار ثابت، فإن مشتقته بالنسبة إلى 𝑥 تساوي صفرًا. فما يعنينا الآن هو الحد الثاني. إذن هذه هي مشتقة حاصل ضرب 𝑥 في ln cos 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥. ومن ثم، علينا تطبيق قاعدة الضرب.

فلنطبق قاعدة الضرب. يمكنك التوقف لبرهة هنا وإيقاف الفيديو مؤقتًا — إذا أردت — للتأكد من تطبيقنا للقاعدة بشكل صحيح. ونلاحظ أن الحد الثاني الذي حصلنا عليه مباشر نسبيًا. إذ إن d على d𝑥 ل 𝑥 يساوي واحدًا. وبالتالي يكون هذا الحد ln cos 𝑥 فقط. ولكن المشتقة الثانية صعبة بعض الشيء. فلحسابها، سنحتاج إلى تطبيق قاعدة السلسلة مرة أخرى.

إذا كتبنا 𝑓 يساوي ln cos 𝑥، فإننا نبحث عن d𝑓 على d𝑥. ولنرمز للمتغير المساعد في قاعدة السلسلة بالرمز 𝑧. ونكتب 𝑧 يساوي cos 𝑥 ثم 𝑓 يساوي ln 𝑧. فما فعلته هنا هو أني استخدمت تعريف 𝑓 لكتابة d على d𝑥 على ln cos 𝑥 في صورة d𝑓 على d𝑥. والآن يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة. ‏‏d𝑓 على d𝑥 يساوي d𝑓 على d𝑧 في d𝑧 على d𝑥. فما ناتج d𝑓 على d𝑧؟ إذا كان 𝑓 يساوي ln 𝑧، فإن d𝑓 على d𝑧 يساوي واحدًا على 𝑧. وإلام كان يرمز 𝑧؟ كان يرمز إلى المتغير المساعد، الذي يمكن إعادة تعريفه ليصبح cos 𝑥.

فلنستخدم إذن cos 𝑥 بدلًا من 𝑧 لكتابة كل الحدود بالنسبة إلى 𝑥. والآن ماذا عن d𝑧 على d𝑥؟ حسنًا، بما أن 𝑧 يساوي cos 𝑥، وبما أن مشتقة cos 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 تساوي ناقص sin 𝑥. ونكون بذلك قد طبقنا قاعدة السلسلة. ووجدنا أن مشتقة ln cos 𝑥 تساوي واحدًا على cos 𝑥 في سالب sin 𝑥، ويمكن كتابة هذا بالتأكيد في صورة كسر واحد. فنكتب سالب sin 𝑥 على cos 𝑥، ويمكننا تبسيط هذا أكثر ليصبح سالب tan 𝑥.

يبدو هذا مفاجئًا بعض الشيء، وسيتضح لنا فيما بعد أن هذه حقيقة مفيدة إلى حد كبير. على أية حال، تذكر أننا نبحث عن d𝑦 على d𝑥. وقد اقتربنا جدًا من إيجاد الناتج. ففي الطرف الأيسر، لدينا واحد على 𝑦 في d𝑦 على d𝑥. ومن ثم، يمكننا ضرب كلا الطرفين في 𝑦 لإيجاد d𝑦 على d𝑥 بدلالة 𝑥 و𝑦. ونريد إيجاد d𝑦 على d𝑥 بدلالة 𝑥 فقط، متى كان هذا ممكنًا. وهذا ممكن هنا؛ لأننا يمكننا التعويض عن 𝑦 باثنين في cos 𝑥 مرفوعًا للقوة 𝑥.

وبإجراء هذا التعويض وإعادة ترتيب الحدود بعض الشيء، وكتابة d𝑦 على d𝑥 في صورة 𝑦 شرطة، نحصل على الناتج النهائي، وهو 𝑦 شرطة يساوي اثنين cos 𝑥 مرفوعًا للقوة 𝑥 في ln cos 𝑥 ناقص 𝑥 tan 𝑥.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.