نسخة الفيديو النصية
ﺃﺏﺟﺩ معين قطره ﺃﺟ يساوي سبعة سنتيمترات، وقياس الزاوية ﺃ يساوي ٦٠ درجة. إذا كانت هناك قوتان متساويتان مقدار كل منهما ٤٥ نيوتن تؤثران في اتجاه ﺃﺩ وﺟﺏ على الترتيب، فأوجد مقدار عزم الازدواج لأقرب منزلتين عشريتين، إذا لزم الأمر.
حسنًا، سنرسم هنا المعين ﺃﺏﺟﺩ. ويمكننا استرجاع أن المعين هو شكل مكون من أربعة أضلاع جميعها متساوية الطول. إضافة إلى ذلك، تكون قياسات الزوايا الداخلية المتقابلة متساوية في هذا الشكل. في الحالة لدينا إذن، يتساوى قياس الزاوية ﺃ مع قياس الزاوية ﺟ. وبالمثل، يتساوى قياس الزاوية ﺏ مع قياس الزاوية ﺩ.
لقد علمنا من المسألة أن طول القطر من الركن ﺃ إلى الركن ﺟ يساوي سبعة سنتيمترات، إضافة إلى أن قياس الزاوية ﺃ، أي هذه الزاوية هنا، يساوي ٦٠ درجة. ونحن نعلم أيضًا أن ثمة قوتين تؤثران على طول ضلعين من أضلاع المعين، إحداهما من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺩ، والأخرى من النقطة ﺟ إلى النقطة ﺏ. ومقدار كل قوة منهما يساوي ٤٥ نيوتن.
بمعلومية كل ذلك، نريد إيجاد مقدار عزم الازدواج. تشير الكلمة «ازدواج» إلى قوتين مقدار كل منهما ٤٥ نيوتن. وبوجه عام، إذا كانت لدينا قوتان متساويتان في المقدار، ولكنهما تؤثران في اتجاهين متعاكسين، ولا تقع القوتان على خط العمل نفسه، فإننا نقول إنهما تشكلان ازدواجًا. علاوة على ذلك، عندما نحدد محور دوران بين خطي العمل هذين، مع ملاحظة أن البعد العمودي بين هذين الخطين ومحور الدوران هو ﻝ، يمكننا قول إن العزم الناتج عن هذا الازدواج — وسنسميه ﺝﻭ — يساوي اثنين في ﻕ في ﻝ.
لاحظ أننا غالبًا ما نرى رمزًا بالأسفل يشير إلى أن القوة والمسافة متعامدتان. هذه إذن هي العلاقة التي ستمكننا من الحل لإيجاد مقدار عزم ازدواج القوتين. وبرسم هذا المعين، نلاحظ أن اتجاه خطي عمل هاتين القوتين أفقي. ويمكننا رسم البعد العمودي بين هذين الخطين هنا ونسمي هذا البعد أو هذه المسافة ﻝ. لقد تعمدنا اختيار هذا الموضع تحديدًا لرسم الخط الرأسي الذي يشير إلى هذه المسافة. إنه سيساعدنا في الاستفادة من حقيقة أن ﻝ هو الارتفاع الرأسي لهذا المثلث القائم الزاوية. ثمة مثلث آخر هنا، وهو هذا المثلث باللون البرتقالي. وهو ليس مثلثًا قائم الزاوية، لكننا نعلم طول ضلعه هذا. علاوة على ذلك، يمكننا إيجاد قياسات الزوايا الداخلية في هذا المثلث البرتقالي.
للبدء في ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة في أعلى الشاشة. سنرسم شكلًا مكبرًا للمعين وهذين المثلثين. دعونا نلق نظرة على هذا الشكل، لقد قلنا إنه يمكننا إيجاد قياسات الزوايا الداخلية في المثلث البرتقالي. للبدء في ذلك، دعونا نتذكر أن القياس الكامل للزاوية ﺃ، أي هذه الزاوية هنا، يساوي ٦٠ درجة. وهذا القطر من ﺃ إلى ﺟ ينصف هذه الزاوية تمامًا. بعبارة أخرى، قياس هذه الزاوية هنا في هذا المثلث يساوي ٣٠ درجة. وينطبق الأمر نفسه هنا؛ لأن القياس الكامل للزاوية التي في الركن ﺟ يساوي ٦٠ درجة، كما هو الحال في الركن ﺃ. إذن، نصف قياس هذه الزاوية، أي قياس الزاوية الداخلية في المثلث البرتقالي، يساوي ٣٠ درجة.
بمعلومية قياسي هاتين الزاويتين وبما أن مجموع قياسات جميع الزوايا الداخلية للمثلث لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة، يمكننا قول إن قياس هذه الزاوية في المثلث البرتقالي لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة ناقص اثنين في ٣٠ درجة. وهذا يساوي ١٢٠ درجة. والآن، نريد إيجاد طول هذا الضلع هنا، وهو كما نلاحظ أحد أضلاع المثلث البرتقالي. كما أنه يمثل الوتر في المثلث الوردي.
يمكننا فعل ذلك باستخدام قانون الجيوب. ينص هذا القانون على أنه إذا كان لدينا مثلث أضلاعه هي ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة، والزوايا الداخلية المتناظرة هي 𝛼 و𝛽 و𝛾، فإن نسبة طول أحد الأضلاع إلى جيب الزاوية المناظرة له تساوي نسبة طول أي ضلع آخر إلى جيب الزاوية المناظرة لهذا الضلع الآخر. في حالة المثلث البرتقالي، نحن نعلم أن طول هذا الضلع يساوي سبعة سنتيمترات، وأن قياس هذه الزاوية المناظرة يساوي ١٢٠ درجة. ونعلم أيضًا قياس هذه الزاوية الداخلية، وما نريده هو إيجاد طول هذا الضلع هنا.
إذا كان هذا الضلع هو وتر المثلث الوردي، وبإهمال الوحدات، يمكننا القول إن الوتر على جا ٣٠ درجة يساوي سبعة على جا ١٢٠ درجة. هذا يعني أن طول الوتر يساوي سبعة في هذه النسبة بين الجيبين. جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا، بينما جا ١٢٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين.
بوضع هاتين القيمتين، نلاحظ أنه يمكننا ضرب المقام والبسط في اثنين؛ وبضرب اثنين في هاتين القيمتين، نجد أن كلا العاملين اللذين قيمة كل منهما نصف يصبح واحدًا. وبذلك، نجد أن طول الوتر يساوي سبعة على الجذر التربيعي لثلاثة. بمعرفة ذلك، دعونا نتناول المثلث الوردي. ولاحظ أنه بما أننا نعلم أن قياس هذه الزاوية هنا يساوي ١٢٠ درجة، وأن مجموع قياس هذه الزاوية وقياس هذه الزاوية — أيًّا كانت قيمتها — لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة، فهذا يعني أن قياس هذه الزاوية الداخلية يساوي ٦٠ درجة.
لاحظ أننا نعلم الآن طول هذا الضلع وكذلك قياس الزاوية المناظرة له. ونريد إيجاد طول هذا الضلع، هذا في حين أننا نعلم بالفعل قياس الزاوية المناظرة له. مرة أخرى، يمكننا استخدام قانون الجيوب. ﻝ على جا ٦٠ درجة يساوي الوتر على جا ٩٠ درجة. إذن، المسافة ﻝ تساوي الوتر في النسبة بين الجيبين. جا ٦٠ درجة يساوي بالضبط الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين، بينما جا ٩٠ درجة يساوي واحدًا. إذن، هذه النسبة بين الجيبين تساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. وعندما نعوض بقيمة الوتر المعلومة، ثم نضرب هاتين القيمتين معًا، يحذف الجذر التربيعي لثلاثة. ونجد أن ﻝ يساوي سبعة أنصاف.
لقد أوشكنا الآن على إيجاد مقدار عزم الازدواج. يمكننا أن نسترجع سويًّا أن مقدار كل قوة من قوتي الازدواج لدينا هو ٤٥ نيوتن، وأن هذين الخطين متعامدان على المسافة ﻝ. وما علينا الانتباه إليه هو أنه في معادلة عزم الازدواج، المسافة ﻝ هذه تساوي نصف البعد العمودي الكلي بين خطي عمل كلتا القوتين. بينما المسافة ﻝ التي حسبناها هي هذه المسافة الكلية. إذن، يمكننا تقسيم هذه المسافة إلى نصفين لاستخدامها في هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺝﻭ. أو بإهمال الوحدات، يمكننا ببساطة قول إن مقدار عزم الازدواج يساوي ٤٥ مضروبًا في سبعة على اثنين، فبدلًا من قسمة هذه القيمة على اثنين ثم ضربها في اثنين، طبقًا للمعادلة لدينا، فإننا نتركها كما هي؛ أي سبعة على اثنين. ٤٥ في سبعة أنصاف يساوي بالضبط ١٥٧٫٥. هذه النتيجة معطاة بوحدة النيوتن، وهي وحدة القوة؛ مضروبة في السنتيمتر، وهي وحدة المسافة.
نلاحظ إذن أننا لسنا بحاجة إلى التقريب لأقرب منزلتين عشريتين؛ لأننا حصلنا على القيمة الدقيقة. مقدار عزم هذا الازدواج يساوي ١٥٧٫٥ نيوتن سنتيمتر.
