نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺱ متغير عشوائي متقطع، يمكن أن يأخذ القيم صفرًا، واثنين، وخمسة. إذا كان ﺱ له دالة التوزيع الاحتمالي ﺩﺱ تساوي ﺃ على ستة ﺱ زائد ستة، فأوجد تباين ﺱ.
إن تباين المتغير العشوائي المتقطع هو مقياس لمدى اختلاف قيم ذلك المتغير العشوائي المتقطع عن قيمته المتوقعة. ونحسب هذا التباين باستخدام الصيغة: تباين ﺱ يساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. وعلينا ملاحظة الفرق في الترميز هنا. في الحد الثاني، سنوجد القيمة المتوقعة لـ ﺱ ثم نقوم بتربيعها، بينما في الحد الأول نقوم بتربيع قيم ﺱ أولًا ثم نوجد توقعها. يمكننا أيضًا التفكير في ذلك باعتباره توقع مربعات القيم ناقص مربع التوقع.
نحسب القيمة المتوقعة لـ ﺱ والقيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع باستخدام الصيغة التالية. بالنسبة إلى القيمة المتوقعة لـ ﺱ، نضرب كل قيمة لـ ﺱ في قيمة ﺩﺱ المناظرة لها؛ حيث ﺩ هي دالة التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ، ثم نوجد مجموع هذه القيم. بالنسبة إلى القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع، نضرب كل قيمة مربعة لـ ﺱ في قيمة ﺩﺱ المناظرة لها، ثم نوجد مجموع هذه القيم. لدينا دالة التوزيع الاحتمالي ﺩﺱ، لكنها بدلالة قيمة مجهولة ﺃ. نعلم أن ﺱ يأخذ القيم صفرًا واثنين وخمسة فقط. إذن، هذه هي القيم في مداه. ومجموع كل الاحتمالات في دالة التوزيع الاحتمالي يجب أن يساوي واحدًا.
إذن، من خلال إيجاد مقادير تعبر عن الاحتمالات عندما ﺱ يساوي صفرًا، واثنين، وخمسة، يمكننا تكوين معادلة لإيجاد قيمة ﺃ. ﺩ لصفر يساوي ﺃ على ستة مضروبًا في صفر زائد ستة، وهو ما يساوي ﺃ على ستة. ﺩ لاثنين يساوي ﺃ على ستة مضروبًا في اثنين زائد ستة، وهو ما يساوي ﺃ على ١٨. وﺩ لخمسة يساوي ﺃ على ستة مضروبًا في خمسة زائد ستة، وهو ما يساوي ﺃ على ٣٦. ومجموع هذه القيم الثلاث يجب أن يساوي واحدًا، إذن لدينا المعادلة ﺃ على ستة زائد ﺃ على ١٨ زائد ﺃ على ٣٦ يساوي واحدًا.
بكتابة كل حد في الطرف الأيمن بمقام مشترك ٣٦، نحصل على ستة ﺃ على ٣٦ زائد اثنين ﺃ على ٣٦ زائد ﺃ على ٣٦ يساوي واحدًا. نجمع الكسور الثلاثة معًا لنحصل على تسعة ﺃ على ٣٦ يساوي واحدًا. وبعد ذلك يمكننا حذف العامل تسعة من البسط والمقام لنحصل على ﺃ على أربعة يساوي واحدًا. ولإيجاد قيمة ﺃ، نضرب كلا طرفي المعادلة في أربعة لنحصل على ﺃ يساوي أربعة. هكذا أوجدنا قيمة ﺃ، وهذا سيمكننا من تحديد الاحتمالات الثلاثة بدقة. ﺃ على ستة يساوي أربعة على ستة، أو ثلثين. ﺃ على ١٨ يساوي أربعة على ١٨، أو تسعين. وﺃ على ٣٦ يساوي أربعة على ٣٦، أو تسعًا.
بعد ذلك، سنكتب التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ في جدول. إذن، نضع القيم التي يمكن أن يأخذها ﺱ، وهي صفر، واثنان، وخمسة، في الصف العلوي؛ ثم احتمالاتها التي حسبناها للتو، وهي ثلثان، وتسعان، وتسع، في الصف الثاني. لإيجاد القيمة المتوقعة لـ ﺱ، علينا ضرب كل قيمة لـ ﺱ في قيمة ﺩﺱ المناظرة لها. يمكننا إضافة صف إضافي في الجدول من أجل هذه الخطوة. وعليه لدينا صفر مضروبًا في ثلثين وهو ما يساوي صفرًا، واثنان مضروبًا في تسعين وهو ما يساوي أربعة أتساع، وخمسة مضروبًا في تسع، وهو ما يساوي خمسة أتساع.
والقيمة المتوقعة لـ ﺱ هي مجموع هذه القيم الثلاث. صفر زائد أربعة أتساع زائد خمسة أتساع يساوي تسعة أتساع، أو ببساطة واحدًا. لإيجاد القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع، علينا ضرب كل قيمة مربعة لـ ﺱ في ﺩﺱ. لذا، نضيف صفًّا إلى الجدول لدينا من أجل قيم ﺱ تربيع، وهي: صفر، وأربعة، و٢٥. ثم نضيف صفًّا أخيرًا إلى الجدول لنضرب فيه هذه القيم في قيم ﺩﺱ. صفر مضروب في ثلثين يساوي صفرًا. أربعة مضروب في تسعين يساوي ثمانية أتساع. و٢٥ مضروبًا في تسع يساوي ٢٥ على تسعة. والقيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع هي مجموع هذه القيم الثلاث، وهي ٣٣ على تسعة. ويمكن تبسيط ذلك إلى ١١ على ثلاثة.
لإيجاد تباين ﺱ، نأخذ هذه القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع، ونطرح منها القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. إذن، لدينا ١١ على ثلاثة ناقص واحد تربيع. وهو ما يساوي ١١ على ثلاثة ناقص واحد، أو ١١ على ثلاثة ناقص ثلاثة على ثلاثة، وهو ما يساوي ثمانية على ثلاثة. إذن، من خلال إيجاد قيمة هذا الثابت المجهول ﺃ أولًا، وهو ما فعلناه بتذكر أن مجموع كل الاحتمالات بدالة التوزيع الاحتمالي يساوي واحدًا، وجدنا أن تباين هذا المتغير العشوائي المتقطع ﺱ يساوي ثمانية على ثلاثة.