تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: تمثيل نظام يتكون من معادلتين بمعادلة مصفوفية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل نظامًا يتكون من معادلتين على صورة معادلة مصفوفية.

١١:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل نظامًا يتكون من معادلتين على صورة معادلة مصفوفية. سوف نتعامل مع مصفوفات لها رتب حتى اثنين في اثنين فقط. ومع ذلك، يمكن توسيع نطاق هذه الطريقة لتشمل مصفوفات ذات رتب أعلى.

يمكن تمثيل نظام من المعادلات الخطية على صورة مصفوفة باستخدام مصفوفة معاملات ومصفوفة متغيرات ومصفوفة ثوابت. إذا نظرنا إلى المعادلتين: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﻡ، وﺟﺱ زائد ﺩﺹ يساوي ﻥ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ وﻡ وﻥ جميعها ثوابت، فإن مصفوفة المعاملات هي: ﺃ، ‏ﺏ، ‏ﺟ، ﺩ. ويتم تكوينها عن طريق محاذاة معاملي المتغيرين لكل معادلة في صف. من المهم كتابة كل معادلة على الصورة القياسية بحيث يكون الحد الثابت في الطرف الأيسر.

لدينا المتغيران ﺱ وﺹ. إذن يمكن كتابة مصفوفة المتغيرات كما هو موضح. ورغم أننا سنتناول متغيرين فقط في هذا الفيديو، يمكن توسيع نطاق ذلك ليشمل معادلات في أكثر من متغيرين. في الطرف الأيسر في كل من المعادلتين، لدينا الحدان الثابتان ﻡ وﻥ. وهما يناظران المعادلتين الأولى والثانية، على الترتيب. إذن، مصفوفة الثوابت هي: ﻡ‏، ﻥ. ورتب المصفوفات الثلاث لدينا هي: اثنان في اثنين، واثنان في واحد، واثنان في واحد، على الترتيب.

يمكن إعادة كتابة نظام المعادلات الخطية ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﻡ، وﺟﺱ زائد ﺩﺹ يساوي ﻥ على صورة المصفوفة: ﺃ، ﺏ، ‏ﺟ، ‏ﺩ مضروبًا في ﺱ، ﺹ يساوي ﻡ، ﻥ. ويمكننا استخدام ضرب المصفوفات لنجد أن تمثيل المصفوفات يكافئ نظام المعادلات. وكما ذكرنا من قبل، يمكننا توسيع نطاق ذلك ليشمل نظامًا من ثلاث معادلات في ثلاثة متغيرات، ثم تعميم الناتج على عدد ﻥ من المتغيرات. دعونا نتناول بعض الأمثلة المحددة.

اكتب المعادلتين الآنيتين: ثلاثة ﺃ زائد اثنين ﺏ يساوي ١٣، واثنان ﺃ زائد ثلاثة ﺏ يساوي سبعة على صورة معادلة مصفوفية.

نتذكر أنه يمكننا تمثيل نظام من المعادلات الخطية على صورة مصفوفة باستخدام مصفوفة معاملات ومصفوفة متغيرات ومصفوفة ثوابت. ولكن قبل أن نفعل ذلك، علينا التأكد من أن المعادلات مكتوبة على الصورة القياسية: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت. في هذا السؤال، المعادلتان لدينا مكتوبتان على الصورة القياسية. لكن، يجب ملاحظة أن ﺃ وﺏ متغيران وليسا ثابتين.

نحن نعلم أنه يمكن تكوين مصفوفة المعاملات عن طريق محاذاة معاملي المتغيرين لكل معادلة في صف. معاملا المعادلة الأولى هما: ثلاثة، واثنان. وفي المعادلة الثانية، لدينا: اثنان، وثلاثة، وبذلك نحصل على مصفوفة معاملات من الرتبة اثنين في اثنين؛ وهي: ثلاثة، اثنان، اثنان، ثلاثة. المتغيران هنا هما: ﺃ، وﺏ. إذن، يمكننا كتابة مصفوفة المتغيرات على صورة مصفوفة من الرتبة اثنين في واحد؛ وهي: ﺃ، ‏ﺏ. في الطرف الأيسر، لدينا الحدان الثابتان ١٣ وسبعة. وبسبب تناظر هاتين المصفوفتين مع المعادلتين الأولى والثانية، على الترتيب، فإن مصفوفة الثوابت هي: ١٣، سبعة.

أصبح لدينا الآن معادلة مصفوفية تتكون من مصفوفة معاملات ومصفوفة متغيرات ومصفوفة ثوابت. يمكننا إعادة كتابة المعادلتين الآنيتين: ثلاثة ﺃ زائد اثنين ﺏ يساوي ١٣، واثنان ﺃ زائد ثلاثة ﺏ يساوي سبعة على صورة المعادلة المصفوفية: ثلاثة، اثنان، اثنان، ثلاثة مضروبًا في ﺃ، ‏ﺏ يساوي ١٣، سبعة.

في المثال التالي، سنبدأ بإعادة ترتيب إحدى المعادلتين.

اكتب المعادلتين الآنيتين: ثلث ﺱ ناقص ثلثي ﺹ يساوي خمسة أثلاث، وثلاثة أرباع ﺹ زائد ربع ﺱ يساوي سبعة أرباع على صورة معادلة مصفوفية. لكي نعيد كتابة نظام من المعادلات الخطية على صورة معادلة مصفوفية، علينا إيجاد مصفوفة معاملات ومصفوفة متغيرات ومصفوفة ثوابت. لكن قبل البدء، علينا التأكد من أن جميع المعادلات مكتوبة على الصورة القياسية.

بما أن الحد ﺱ يأتي أولًا في المعادلة الأولى، يمكننا إعادة كتابة المعادلة الثانية على الصورة: ربع ﺱ زائد ثلاثة أرباع ﺹ يساوي سبعة أرباع. هذا لأن الجمع عملية إبدالية. معاملا المعادلة الأولى هما: ثلث، وسالب ثلثين؛ ومعاملا المعادلة الثانية هما: ربع، وثلاثة أرباع. يعني هذا أن مصفوفة المعاملات التي رتبتها اثنان في اثنين هي: ثلث، سالب ثلثين، ربع، ثلاثة أرباع. المتغيران هنا هما: ﺱ، وﺹ. ومن ثم، فإن مصفوفة المتغيرات هي ببساطة: ﺱ، ﺹ.

في الطرف الأيسر في كل من المعادلتين، لدينا الحدان الثابتان: خمسة أثلاث، وسبعة أرباع. وهما يمثلان مصفوفة الثوابت. أصبح لدينا الآن معادلة مصفوفية تتكون من مصفوفة معاملات، ومصفوفة متغيرات، ومصفوفة ثوابت؛ كما هو مطلوب. إذن، عند كتابة المعادلتين الآنيتين على صورة معادلة مصفوفية، نحصل على: ثلث، سالب ثلثين، ربع، ثلاثة أرباع مضروبًا في ﺱ،‏ ﺹ يساوي خمسة أثلاث، سبعة أرباع.

في المثال التالي، علينا كتابة معادلة مصفوفية على صورة مجموعة من المعادلات الخطية الآنية.

اكتب مجموعة المعادلات الآنية التي يمكن حلها باستخدام المعادلة المصفوفية المعطاة. ثلاثة، ثلاثة، اثنان، أربعة مضروبًا في ﺃ، ﺏ يساوي ١٠، ١٢.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا إجراء عملية ضرب المصفوفات. نبدأ بضرب عنصري الصف الأول من مصفوفة المعاملات في عنصري مصفوفة العمود للمتغيرات. ثلاثة مضروبًا في ﺃ يساوي ثلاثة ﺃ، وثلاثة مضروبًا في ﺏ يساوي ثلاثة ﺏ. مجموع هذين الحدين يساوي العنصر الموجود في الصف الأول من مصفوفة الثوابت. وهذا يعطينا المعادلة: ثلاثة ﺃ زائد ثلاثة ﺏ يساوي ١٠.

نكرر هذه العملية مع الصف الثاني من مصفوفة المعاملات. اثنان مضروبًا في ﺃ يساوي اثنين ﺃ، وأربعة مضروبًا في ﺏ يساوي أربعة ﺏ. وهذا يعطينا المعادلة: اثنان ﺃ زائد أربعة ﺏ يساوي ١٢. أصبح لدينا الآن مجموعة من المعادلات الآنية يمكن حلها. ثلاثة ﺃ زائد ثلاثة ﺏ يساوي ١٠، واثنان ﺃ زائد أربعة ﺏ يساوي ١٢. ورغم أنه ليس علينا حل المعادلات في هذا الفيديو، فإنه يمكننا فعل ذلك باستخدام طريقة الحذف أو التعويض.

سنحاول الآن حل مسألة مشابهة يكون فيها أحد المعاملات سالبًا.

اكتب مجموعة المعادلات الآنية التي يمكن حلها باستخدام المعادلة المصفوفية المعطاة. ١١، سالب ثلاثة، تسعة، أربعة مضروبًا في ﺱ، ‏ﺹ يساوي ثمانية، ١٣.

كما هو الحال في أي مسألة من هذا النوع، يمكننا حلها باستخدام ضرب المصفوفات. عند ضرب المصفوفات، علينا ضرب كل صف من المصفوفة الأولى في كل عمود من المصفوفة الثانية. بضرب ١١ في ﺱ، نحصل على ١١ﺱ. وسالب ثلاثة مضروبًا في ﺹ يساوي سالب ثلاثة ﺹ. وهذا يساوي العنصر الموجود في الصف العلوي من مصفوفة الثوابت، وهو هنا ثمانية. إذن، المعادلة الأولى هي: ١١ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ يساوي ثمانية.

نكرر هذه العملية مع الصف الثاني من المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين. بضرب تسعة في ﺱ، نحصل على تسعة ﺱ. أربعة في ﺹ يساوي أربعة ﺹ. وعليه، فإن المعادلة الثانية هي: تسعة ﺱ زائد أربعة ﺹ يساوي ١٣. أصبح لدينا الآن زوج من المعادلات الآنية الخطية التي يمكن حلها باستخدام الحذف أو التعويض. وهذا يعطينا قيمتي ﺱ وﺹ اللتين تحلان المعادلة المصفوفية.

في السؤال الأخير، سنبدأ بإعادة ترتيب المعادلات بحيث تكون على الصورة القياسية.

اكتب المعادلتين الآنيتين: ثلاثة ﺱ ناقص ٢٤ يساوي سالب ثمانية ﺹ، وﺱ يساوي ثلاثة ناقص ﺹ على صورة معادلة مصفوفية.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا التأكد من أن المعادلتين مكتوبتان على الصورة القياسية. علينا إعادة كتابة المعادلتين لتصبح المعادلة الأولى على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﻡ، وتصبح المعادلة الثانية على الصورة: ﺟﺱ زائد ﺩﺹ يساوي ﻥ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ وﻡ وﻥ ثوابت.

لنبدأ بالمعادلة: ثلاثة ﺱ ناقص ٢٤ يساوي سالب ثمانية ﺹ. يمكننا إضافة ٢٤ وثمانية ﺹ إلى طرفي المعادلة. وهذا يعطينا: ثلاثة ﺱ زائد ثمانية ﺹ يساوي ٢٤. أصبحت هذه المعادلة مكتوبة على الصورة القياسية. المعادلة الثانية هي: ﺱ يساوي ثلاثة ناقص ﺹ. بإضافة ﺹ إلى طرفي هذه المعادلة والتأكد من أن الحدين ﺱ وﺹ مكتوبان بالترتيب نفسه، نحصل على: ﺱ زائد ﺹ يساوي ثلاثة.

لدينا الآن زوج من المعادلات الآنية الخطية مكتوب على الصورة القياسية. تتكون المعادلة المصفوفية من مصفوفة معاملات رتبتها اثنان في اثنين. معاملا ﺱ وﺹ في المعادلة الأولى هما: ثلاثة، وثمانية. وهذا يمثل الصف العلوي. ومعاملا ﺱ وﺹ في المعادلة الثانية هما: واحد، وواحد. إذن، لدينا مصفوفة معاملات من الرتبة اثنين في اثنين؛ وهي: ثلاثة، ثمانية، واحد، واحد.

لدينا المتغيران ﺱ وﺹ. هذا يعني أنه يمكن ضرب مصفوفة المعاملات في مصفوفة العمود للمتغيرات هذه. في الطرف الأيسر في كل من المعادلتين، لدينا الثابتان ٢٤ وثلاثة. إذن، يمكن كتابة المعادلتين الآنيتين على صورة المعادلة المصفوفية: ثلاثة، ثمانية، واحد، واحد مضروبًا في ﺱ، ‏ﺹ يساوي ٢٤، ثلاثة.

سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الفيديو. عرفنا في هذا الفيديو أن المعادلة المصفوفية تتكون من مصفوفة معاملات ومصفوفة متغيرات ومصفوفة ثوابت. وعرفنا أنه يمكننا التعبير عن نظام من المعادلات الآنية الخطية على صورة معادلة مصفوفية، والعكس صحيح. يمكن إعادة كتابة المعادلتين الخطيتين الآنيتين: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﻡ، وﺟﺱ زائد ﺩﺹ يساوي ﻥ على صورة المعادلة المصفوفية: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ‏ﺩ مضروبًا في ﺱ، ﺹ يساوي ﻡ، ‏ﻥ. وكما ذكرنا من قبل، يمكن توسيع نطاق ذلك ليشمل المعادلات التي تحتوي على ثلاثة متغيرات أو أكثر، والمصفوفات التي تكون رتبتها أعلى من اثنين في اثنين، كما يساعدنا ذلك أيضًا في حل المعادلات الآنية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.