نسخة الفيديو النصية
في إحدى المدارس، تتبع أوزان الطلاب توزيعًا طبيعيًّا متوسطه ٦١ كيلوجرامًا، وانحرافه المعياري ثمانية كيلوجرامات. ما النسبة المئوية التي تمثل الطلاب الذين تتراوح أوزانهم بين ٥٠٫٦ كيلوجرامًا و٦١٫٦٤ كيلوجرامًا؟
لعلنا نتذكر أن التمثيل البياني للتوزيع الطبيعي يكون على شكل جرس ومتماثلًا حول المتوسط، والمساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي واحدًا. وقد يكون من المفيد جدًّا عند التعامل مع أسئلة التوزيع الطبيعي رسم المنحنى باستخدام المعلومات المعطاة لنا.
حسنًا، علمنا من السؤال أن متوسط الوزن، 𝜇، يساوي ٦١ كيلوجرامًا. كما علمنا أن الانحراف المعياري، 𝜎، يساوي ثمانية كيلوجرامات. ومطلوب منا حساب النسبة المئوية للطلاب الذين تتراوح أوزانهم بين ٥٠٫٦ كيلوجرامًا و٦١٫٦٤ كيلوجرامًا، وهي قيم تقع على جانبي قيمة المتوسط، وتمثلها المنطقة المظللة الموضحة. وبكتابة ذلك رياضيًّا، نجد أن هذا هو احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ٥٠٫٦ وأقل من أو يساوي ٦١٫٦٤.
الخطوة الأولى في معظم العمليات الحسابية للتوزيع الطبيعي هي توزيع البيانات توزيعًا طبيعيًّا، وهو ما يسمح لنا بإجراء الحسابات عليها باستخدام الجدول الطبيعي المعياري. يمكننا فعل ذلك بطرح المتوسط من كل جزء بين القوسين لدينا، وقسمة كل جزء على الانحراف المعياري. هذا يعني أننا سنحصل على ﺹ في منتصف المتباينة. ويمكننا التعويض عن قيمة 𝜇 بـ ٦١، وقيمة 𝜎 بثمانية على اليسار واليمين. إذن لدينا احتمال أن يقع ﺹ بين ٥٠٫٦ ناقص ٦١ على ثمانية، و٦١٫٦٤ ناقص ٦١ على ثمانية. ويمكن تبسيط ذلك إلى احتمال وقوع ﺹ بين سالب ١٫٣ و٠٫٠٨.
حسنًا، الجدول الطبيعي المعياري الذي نستخدمه يعطينا احتمال أن يكون ﺹ (بحرف كبير) أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي ﻱ. ومن ثم علينا أن نتمكن من التعبير عن الاحتمال لدينا بهذه الصورة لنتمكن من إيجاد قيمته.
بعد رسم المنحنى، نلاحظ أنه يشبه إلى حد كبير المنحنى الذي رسمناه من قبل، لكنه يتمركز الآن حول الصفر. ولحساب هذه المساحة باستخدام الجداول، يمكننا تقسيمها إلى منطقتين؛ إحداهما على يمين الصفر والأخرى على يساره، كما هو موضح. هذا يعني أن لدينا منطقة تتراوح قيمة ﺹ فيها بين سالب ١٫٣ وصفر، ومنطقة تتراوح قيمة ﺹ فيها بين صفر و٠٫٠٨. بعد فعل ذلك، نلاحظ أن المنطقة على اليمين تمثل الصورة الصحيحة التي تمكننا من البحث عن المساحة في الجداول. لكن بالنسبة إلى المنطقة على اليسار، علينا استخدام خاصية تماثل التمثيل البياني لإيجاد المساحة.
دعونا نفرغ بعض المساحة حتى نتمكن من كتابة كل ذلك. سنبدأ بإعادة كتابة العملية الحسابية بدلالة المنطقتين المنفصلتين. وسنستخدم بعد ذلك خاصية التماثل للتوزيع الطبيعي، التي توضح أن احتمال وقوع المتغير بين سالب ﺱ وصفر يساوي احتمال وقوعه بين صفر وموجب ﺱ. إذن هذا الاحتمال الأول يساوي احتمال وقوع ﺹ بين صفر و١٫٣. وأخيرًا: يمكننا الآن البحث عن قيمتي ﻱ هاتين في جداول التوزيع الطبيعي المعياري. وهذا يعطينا ٠٫٤٠٣٢ زائد ٠٫٠٣١٩، وهو ما يساوي ٠٫٤٣٥١.
إذن يمكننا استنتاج أن النسبة المئوية التي تمثل الطلاب الذين تتراوح أوزانهم بين ٥٠٫٦ كيلوجرامًا و٦١٫٦٤ كيلوجرامًا هي ٤٣٫٥١ بالمائة.
