تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حساب نهايات الدوال جبريًّا باستخدام التحليل إلى عوامل

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو مفهوم الصيغة غير المحددة عند إيجاد نهايات الدوال النسبية، ويوضِّح طريقة حساب نهايات الدوال النسبية باستخدام التحليل إلى عوامل، وأمثلة توضيحية.

١٠:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم على حساب نهايات الدوال جبريًّا، باستخدام التحليل إلى عوامل.

نهايات الدوال بتفيدنا بإن إحنا بنعرف سلوك الدالة لمّا بتقرب من نقطة معينة. بنستخدم طرق التعويض المباشر أو خصائص النهايات لحساب النهايات. لكن بيحصل إن لو استخدمنا خاصية من خصائص النهائيات، زي خاصية القسمة. اللي هي نهاية دالة س على ر س لمّا الـ س بتئول للـ أ، بتساوي نهاية د س لوحدها لمّا الـ س بتئول للـ أ، على نهاية ر س لمّا الـ س بتئول للـ أ. المفروض في الخاصية دي بيكون عندنا نهاية القيمة اللي هي نهاية ر س لمّا الـ س بتئول للـ أ لا تساوي صفر. لكن لو غلطنا واستخدمنا الخاصية دي في القسمة، فبيطلع لنا البسط والمقام مثلًا صفر على صفر.

أو لو في الطريقة التانية اللي هي طريقة التعويض المباشر. إن إحنا نعوّض بقيمة الـ س لمّا تئول للـ أ، بقيمة الـ أ. هتطلع لنا د للـ أ على ر للـ أ. هيطلع لنا قيمة البسط يساوي صفر، والمقام يساوي صفر. فكده استخدمناها بشكل خاطئ؛ لأن ما فيش ناتج المفروض يبقى صفر على صفر. نهاية للمقام يساوي صفر دي مش صحيحة. فناتج التعويض بيسمى الصيغة غير المحددة.

ولأنه لا يمكن تحديد نهاية الدالة مع وجود صفر في المقام. ومثل هذه النهايات قد تكون موجودة ولها قيمة حقيقية، أو غير موجودة. بيتم حسابها بطرق أخرى جبرية غير التعويض المباشر.

يعني مثلًا لو عندنا د س تساوي س تربيع ناقص واحد، على س ناقص واحد. وعايزين نحسب نهاية الدالة س لمّا الـ س بتئول للواحد. لو عوضنا تعويض مباشر، هيبقى واحد ناقص الواحد في البسط هتبقى صفر. والمقام س ناقص الواحد هنعوّض واحد ناقص واحد هتبقى بصفر. يبقى هتبقى بالتعويض المباشر صفر على صفر.

لكن لو جينا رسمنا الدالة دي هتبقى بالشكل ده؛ لأن الـ س تربيع ناقص الواحد، على س ناقص الواحد. البسط س ناقص واحد، مضروبة في س زائد الواحد، والمقام س ناقص الواحد. بنختصر س ناقص الواحد مع س ناقص الواحد. يبقى هتبقى الدالة دي بالظبط مشابهة لـ س زائد واحد، اللي لمّا هنرسمها هتبقى بالشكل ده.

يعني د س دي هتساوي س تربيع ناقص واحد، على س ناقص الواحد. لكن عند الواحد بتبقى فيه حلقة دايرة مفرّغة؛ لأن الدالة مش معرّفة عند النقطة س تساوي واحد.

فمن التمثيل البياني. لمّا بتقرّب قيمة الـ س من الواحد من اليمين ومن اليسار. بيبقى في قيمة للدالة من فوق ومن تحت اللي هي اتنين. يعني نهاية الدالة دي في التمثيل البياني هتساوي اتنين.

يبقى معنى كده لمّا طلع لنا نهاية الدالة صفر على صفر. جبري طلعت صفر على صفر. لكن في التمثيل البياني طلعت قيمتها اتنين. فهنعرف إزاي نحسب قيمة الاتنين دي جبريًّا، بإن إحنا بنحلل المقدار إلى عوامل.

نقلب الصفحة.

يتم استخدام طريقة التحليل إلى عوامل في حساب النهايات للدوال النسبية. وذلك عندما تفشل طريقة التعويض المباشر أو خاصية القسمة.

يعني إذا قمت بحساب نهاية دالة نسبية، ووصلت إلى الصيغة صفر على صفر، اللي هي صيغة غير المحددة. فبنبسط العبارة جبريًّا من خلال التحليل إلى عوامل كلّ من البسط والمقام، واختصار العوامل المشتركة.

نقلب الصفحة وناخد مثال.

احسب نهاية ما يأتي: نهاية س تربيع ناقص س ناقص عشرين على س زائد أربعة، لمّا الـ س بتئول للسالب أربعة.

لمّا هنعوّض بالتعويض المباشر س تساوي سالب أربعة. هينتج عن التعويض المباشر سالب أربعة الكل تربيع، ناقص ناقص أربعة ناقص عشرين. على سالب أربعة زائد الأربعة هتساوي صفر وصفر، ودي صيغة غير محدّدة.

إذن هنستخدم طريقة تحليل المقدار جبريًّا، واختصار أي عوامل مشتركة بين البسط والمقام. لمّا هنحلل البسط هيبقى نهاية الدالة لمّا س تئول للسالب أربعة. البسط هيبقى عبارة عن قوسين س ناقص خمسة في س زائد أربعة، على س زائد أربعة هنختصر البسط س زائد أربعة مع المقام س زائد أربعة، هيتبقى عندنا بس في البسط س ناقص خمسة. يبقى نهاية س ناقص خمسة لمّا الـ س بتئول لسالب أربعة. هنعوّض تعويض مباشر بقيمة الـ س اللي هي هنئول ليها، اللي هي سالب أربعة. يبقى سالب أربعة ناقص خمسة هتساوي سالب تسعة.

يبقى قيمة النهاية للدالة س تربيع ناقص س ناقص عشرين، على س زائد أربعة، لمّا الـ س بتئول للسالب أربعة، هي سالب تسعة.

وعلشان نتأكد من الحل بتاعنا ممكن نمثّلها بيانيًّا. ده التمثيل البياني للدالة س تربيع ناقص س ناقص عشرين، على س زائد أربعة. وناخد بالنا إن عند النقطة س تساوي سالب أربعة فيه دايرة مفرّغة.

هنلاحظ من التمثيل البياني إن لمّا هنقرب من الـ س تساوي سالب أربعة من اليمين ومن اليسار، الدالة هتقترب من السالب تسعة. وده اللي بيأكد لنا إن الحل بتاعنا صحيح.

نقلب الصفحة وناخد مثال كمان. احسب نهاية ما يأتي: نهاية س ناقص تلاتة على س تكعيب ناقص تلاتة س تربيع ناقص سبعة س زائد واحد وعشرين، لمّا الـ س بتئول للتلاتة.

لو عوضنا مباشرة بقيمة ال س لما هتئول للتلاتة؛ بقيمة التلاتة. هينتج عن التعويض المباشر صفر على صفر، ودي صيغة غير محدّدة.

هنستخدم طريقة التحليل إلى العوامل. وده علشان نوصل له هنعمل شوية خطوات؛ عشان نخلّي المقام عبارة عن عوامل. أول خطوة هنُعيد تجميع المقام. لمّا هنعيد تجميع المقام هيبقى س تكعيب ناقص تلاتة س تربيع هناخدهم لوحدهم، ناقص سبعة س ناقص واحد وعشرين، دول قوس تاني. وفي البسط هيبقى س ناقص تلاتة. وهنجيب النهاية لهم لمّا الـ س تئول للتلاتة.

يبقى كده المقام … هناخد من الـ س تكعيب ناقص تلاتة س تربيع، س تربيع مشترك. يبقى هيساوي نهاية الدالة لمّا الـ س بتئول للتلاتة، البسط زي ما هو س ناقص تلاتة، والمقام هيبقى س تربيع مشترك. يبقى هيتبقى عندنا س ناقص تلاتة في المقام، ناقص … هناخد سبعة مشترك، يبقى سبعة في س ناقص تلاتة.

كده المقام فيه س ناقص تلاتة، وفيه س ناقص تلاتة، هناخدهم مشترك. يبقى نهاية لمّا الـ س تئول للتلاتة: س ناقص تلاتة على س تربيع ناقص سبعة في س ناقص تلاتة.

هنلاحظ إن فيه مشترك البسط س ناقص تلاتة، والمقام س ناقص تلاتة. هنختصرهم مع بعض، يبقى هتبقى عندنا في البسط هيبقى فيه واحد. يبقى والمقام هنا في واحد مكان الـ س ناقص تلاتة. يبقى نهاية واحد على س تربيع ناقص سبعة، لمّا الـ س تئول لتلاتة. وناخد بالنا إن البسط كان يساوي صفر، لكن هنا هيساوي واحد.

يبقى نهاية واحد على س تربيع ناقص سبعة، لمّا الـ س تئول للتلاتة. هنعوّض تعويض مباشر مكان الـ س. هيبقى واحد على تلاتة تربيع ناقص سبعة هتساوي واحد على تسعة ناقص سبعة يعني اتنين تساوي نص. يبقى نهاية الدالة س ناقص تلاتة على س تكعيب ناقص تلاتة س تربيع ناقص سبعة س زائد واحد وعشرين، لمّا الـ س هتئول للتلاتة؛ هتساوي نص.

لمّا استخدمنا التحليل إلى عوامل أظهرنا دالة جديدة. نقلب الصفحة ونشوف إزاي.

في الدالة الأولانية اللي كانت د س تساوي س تربيع ناقص ناقص س ناقص عشرين، على س زائد أربعة. لمّا اختصرنا العوامل المشتركة بين البسط والمقام، ظهر لنا دالة جديدة اللي هي ر س تساوي س ناقص خمسة. وكانت قيمة الدالتين دول النهايتين بتاعتهم متساوية لجميع قيم س إلا عند س تساوي سالب أربعة؛ لأن الدالة دي مش معرّفة عند الـ س تساوي سالب أربعة. لكن لو تساوت قيم دالتين إلا عند قيمة وحيدة أ، فإن نهايتهما عندما تقترب س من أ متساويتين. لأن قيمة النهاية لا تعتمد على قيمة الدالة عند النقطة التي تحسب عندها النهاية.

لذا فإن النهاية بتاعة س تربيع ناقص س ناقص عشرين، على س زائد أربعة، لمّا الـ س بتئول للسالب أربعة. هي نفسها نهاية الدالة س ناقص خمسة لمّا الـ س هتئول للسالب أربعة.

يبقى باختصار كأننا حوّلنا الدالة فيها جزء مش معرّف لدالة كلها معرّفة، أو دالة كلها متصلة. وكانت جميع القيم س هي هيّاها. وجبنا … درسنا نهاية الدالة عند النقطة دي، اللي هي الدالة المتصلة، وساوينا النهاية بتاعتها بنهاية الدالة التانية، اللي كانت غير معرّفة. وعرفنا نجيب قيمة النهاية بتاعتها. يبقى اتكلمنا في الفيديو ده إزاي هنحسب نهايات الدوال جبريًّا باستخدام التحليل إلى عوامل.