فيديو: تبسيط وحيدات الحد: قاعدة خارج القسمة

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نقسم وحيدات الحد التي تتضمن متغيرًا وحيدًا ومتغيرات متعددة.

١٤:٥٢

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نبسط وحيدات الحد التي تتضمن متغيرًا وحيدًا ومتغيرات متعددة باستخدام قاعدة خارج القسمة. وسوف نبدأ بتذكر ما نعنيه بالأسس أو القوى ثم نعرف قاعدة خارج القسمة للأسس.

لننظر أولًا إلى التعبير أربعة أس خمسة أو أربعة مرفوع للقوة خمسة. العدد أربعة يسمى الأساس والعدد خمسة يسمى الأس. وتعرف هذه القيم أحيانًا بالقوى أو الأسس. يخبرنا الأس بعدد المرات التي ضرب فيها الأساس في نفسه. في هذا المثال لدينا، أربعة أس خمسة يساوي أربعة مضروبًا في أربعة مضروبًا في أربعة مضروبًا في أربعة مضروبًا في أربعة. هناك خمس أربعات. وإذا أوجدنا قيمة ذلك، فسنحصل على ‪1024‬‏. ويمكن حساب هذا باستخدام الآلة الحاسبة العلمية كما هو موضح.

غالبًا ما يطلب منا في الرياضيات تبسيط التعبيرات التي تحتوي على الأسس، لكن لا يطلب منا دائمًا إيجاد قيمها. وهذا ينطبق بشكل خاص على الأسس الكبيرة التي تكون فيها العملية الحسابية طويلة ومعقدة. لننظر كيف يمكننا تبسيط تعبير يتضمن خارج قسمة تعبيرين أسيين.

بسط خمسة أس ستة مقسومًا على خمسة تكعيب.

يمكننا أن نبدأ حل هذا السؤال بكتابة بسط ومقام التعبير على الصورة التحليلية. خمسة أس ستة يساوي ست خمسات مضروبة بعضها في بعض. خمسة تكعيب أو خمسة أس ثلاثة هو نفسه ثلاث خمسات مضروبة بعضها في بعض. نتذكر أن قسمة بسط الكسر ومقامه على العدد نفسه لا تغير من قيمته. يمكننا إذن قسمة بسط هذا المقدار ومقامه على خمسة ثلاث مرات. ستلغى ثلاث من الخمسات في البسط مع ثلاث من الخمسات في المقام. وبذلك، يتبقى لدينا خمسة في خمسة في خمسة، وهو ما يساوي خمسة تكعيب أو خمسة أس ثلاثة.

في الواقع، طرحنا ثلاثة من كل من الأسين. وهذا يقودنا إلى قاعدة عامة إذا كان لدينا خارج قسمة. وهي أن ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏. عند قسمة أو إيجاد خارج قسمة حدين أسيين، يمكننا طرح الأسين أو القوتين. كما يمكن كتابة هذا على صورة ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏. تعرف هذه الصيغة بقاعدة خارج القسمة للأسس.

سنتناول الآن بعض الأمثلة التي يمكننا حلها باستخدام هذه القاعدة.

بسط ‪𝑥‬‏ أس ستة مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس أربعة.

نتذكر أن قاعدة خارج القسمة للأسس تنص على أن ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏. عند إيجاد خارج قسمة حدين أسيين لهما الأساس نفسه، يمكننا طرح الأسين أو القوتين. يمكننا إذن إيجاد الصورة المبسطة للتعبير المعطى بطرح أربعة من ستة. يعني هذا أن ‪𝑥‬‏ أس ستة مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس أربعة يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع.

هناك طريقة بديلة لحل هذه المسألة، إذا لم نتذكر القاعدة، وهي كتابة كلا الحدين في صورتهما الكاملة. ‏‏‪𝑥‬‏ أس ستة هو نفسه ستة من ‪𝑥‬‏ مضروبة بعضها في بعض. في هذه الحالة، استخدمنا نقطة لتمثيل عملية «الضرب»، حتى لا تختلط حروف ‪𝑥‬‏ بعلامات الضرب. يمكن كتابة ‪𝑥‬‏ أس أربعة بالطريقة نفسها. ثم يمكننا قسمة البسط والمقام على ‪𝑥‬‏ أربع مرات، وهو ما يلغي أربعة من قيم ‪𝑥‬‏ الموجودة في البسط والمقام. ويتبقى لدينا ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏، وهو ما يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع أيضًا.

لا بأس من استخدام هذه الطريقة إذا كانت الأسس صغيرة. ولكن الأمر يزداد صعوبة عندما نتعامل مع أسس كبيرة. وهذه هي الحالة التي سنتناولها في المثال التالي.

بسط أربعة أس ‪17‬‏ مقسومًا على أربعة أس تسعة.

يمكننا البدء في حل السؤال بكتابة البسط والمقام في صورتهما الكاملة. يتكون البسط من ‪17‬‏ أربعة مضروبة بعضها في بعض. وهذه الطريقة تستغرق وقتًا طويلًا. ولذا، بدلًا من ذلك، سنستخدم قاعدة خارج القسمة للأسس. وتنص على أن ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏. عند إيجاد خارج قسمة حدين أسيين لهما الأساس نفسه، يمكننا طرح الأسين. هذا يعني أن أربعة أس ‪17‬‏ مقسومًا على أربعة أس تسعة يمكن إعادة كتابتها على صورة أربعة أس ‪17‬‏ ناقص تسعة. وبما أن ‪17‬‏ ناقص تسعة يساوي ثمانية، فإن إجابتنا تصبح أربعة أس ثمانية.

يتضمن المثالان التاليان مسائل أكثر تعقيدًا تتضمن أكثر من حدين.

بسط ‪𝑥‬‏ أس ‪23‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪35‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس ‪17‬‏، حيث ‪𝑥‬‏ لا يساوي صفرًا.

لحل هذه المسألة، علينا تذكر اثنين من قوانين أو قواعد الأسس أو القوى. أولًا، لدينا قاعدة حاصل الضرب. وتنص على أن ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏. ولدينا، على الجانب الآخر، قاعدة خارج القسمة، التي تنص على أن ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏. عند ضرب حدين لهما الأساس نفسه، نجمع الأسين، بينما عند القسمة، نطرح الأسين.

عادة ما نبدأ حل السؤال من هذا النوع بتبسيط البسط والمقام أولًا. في هذا السؤال، علينا تبسيط ‪𝑥‬‏ أس ‪23‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪35‬‏. بما أننا نضرب الحدين معًا، فعلينا جمع الأسين. ‏‏‪23‬‏ زائد ‪35‬‏ يساوي ‪58‬‏. ومن ثم، يبسط البسط إلى ‪𝑥‬‏ أس ‪58‬‏. إذن يبسط التعبير الذي لدينا إلى ‪𝑥‬‏ أس ‪58‬‏ على أو مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس ‪17‬‏. وبما أننا نجري عملية قسمة هنا، فعلينا طرح الأسين. ‏‏‪58‬‏ ناقص ‪17‬‏ يساوي ‪41‬‏. إذن، ‪𝑥‬‏ أس ‪23‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪35‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس ‪17‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس ‪41‬‏.

هناك طريقة بديلة للحفاظ على العملية الحسابية في أبسط صورها، وهي قسمة ‪𝑥‬‏ أس ‪23‬‏ على ‪𝑥‬‏ أس ‪17‬‏ أولًا. وهذا سيعطينا ‪𝑥‬‏ أس ستة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪35‬‏. وبما أن ستة زائد ‪35‬‏ يساوي ‪41‬‏، فسنحصل على الناتج نفسه.

وسؤالنا التالي هو مسألة ذات متغيرات متعددة.

بسط ‪𝑥‬‏ أس أربعة ‪𝑦‬‏ أس أربعة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ أس أربعة مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس أربعة ‪𝑦‬‏ تكعيب.

يحتوي هذا التعبير على متغيرين، ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏، وسنتعامل مع كل منهما على حدة. علينا أيضًا أن نتذكر قاعدتين من قواعد الأسس. وهما قاعدة حاصل الضرب وقاعدة خارج القسمة. تنص قاعدة حاصل الضرب على أن ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏. وتنص قاعدة خارج القسمة على أن ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏.

عند ضرب حدين لهما الأساس نفسه، فإننا نجمع الأسين. وعند القسمة، نطرحهما. لننظر أولًا إلى المتغير ‪𝑥‬‏. في الجزء العلوي أو البسط، لدينا ‪𝑥‬‏ أس أربعة في ‪𝑥‬‏ تربيع. وفي المقام، لدينا ‪𝑥‬‏ أس أربعة. قد نلاحظ هنا أن لدينا ‪𝑥‬‏ أس أربعة في البسط والمقام. إذن، يمكننا قسمة كليهما على هذا الحد. وبذلك، يتبقى لدينا ‪𝑥‬‏ تربيع. وكان بإمكاننا، بدلًا من ذلك، جمع الأسين في البسط. أربعة زائد اثنين يساوي ستة. ثم، نطرح منه الأس في المقام. ستة ناقص أربعة يساوي اثنين.

عند النظر إلى المتغير ‪𝑦‬‏، لدينا ‪𝑦‬‏ أس أربعة مضروبًا في ‪𝑦‬‏ أس أربعة مقسومًا على ‪𝑦‬‏ تكعيب أو ‪𝑦‬‏ أس ثلاثة. بتبسيط البسط باستخدام قاعدة حاصل الضرب، نحصل على ‪𝑦‬‏ أس ثمانية لأن أربعة زائد أربعة يساوي ثمانية. ثم يمكننا استخدام قاعدة خارج القسمة لتبسيط ‪𝑦‬‏ أس ثمانية مقسومًا على ‪𝑦‬‏ أس ثلاثة. ثمانية ناقص ثلاثة يساوي خمسة. إذن، يبسط المتغير ‪𝑦‬‏ إلى ‪𝑦‬‏ أس خمسة. يعني هذا أن التعبير الكلي يبسط إلى ‪𝑥‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ أس خمسة. وعلى الرغم من أنه يمكن كتابة هذين المتغيرين بأي من الترتيبين، فإننا نتبع صيغة السؤال نفسها التي عادة ما تكون مرتبة ترتيبًا أبجديًا.

السؤال الأخير لدينا هو مسألة تتضمن أسسًا سالبة.

بسط ‪𝑥‬‏ تكعيب أو ‪𝑥‬‏ أس ثلاثة مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس ستة.

نتذكر أن قاعدة خارج القسمة للأسس تنص على أن ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏. إذا كان الأساس هو نفسه، نطرح الأسين. يعني هذا، في سؤالنا، أن ‪𝑥‬‏ تكعيب مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس ستة يساوي ‪𝑥‬‏ أس ثلاثة ناقص ستة. وبما أن ثلاثة ناقص ستة يساوي سالب ثلاثة، يبسط التعبير إلى ‪𝑥‬‏ أس سالب ثلاثة.

لنستخدم طريقة أخرى في حل المسألة لفهم ما يعنيه الأس السالب أو القوة السالبة. ‏‏‪𝑥‬‏ تكعيب هو نفسه ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏. ‏‏‪𝑥‬‏ أس ستة عبارة عن ستة من ‪𝑥‬‏ مضروبة بعضها في بعض. يمكن تبسيط هذا التعبير بقسمة كل من البسط والمقام على ‪𝑥‬‏. ويمكننا أن نكرر هذا ثلاث مرات.

وبهذا، يبسط البسط إلى واحد والمقام إلى ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏، أي ‪𝑥‬‏ تكعيب. يمكن كتابة ‪𝑥‬‏ تكعيب مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس ستة على صورة واحد على أو مقسومًا على ‪𝑥‬‏ تكعيب. تقودنا هاتان النتيجتان إلى القاعدة العامة للأسس السالبة. تنص هذه القاعدة على أن ‪𝑥‬‏ أس سالب ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ أو واحدًا على ‪𝑥‬‏ مرفوعًا للقوة ‪𝑛‬‏.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. إذا كان لديك خارج قسمة تعبيرين أسيين يحتويان على الأساس نفسه، فيمكنك استخدام قاعدة خارج القسمة للأسس لتبسيط التعبير. ‏‏‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏. كما يمكن كتابة هذا باستخدام علامة القسمة بدلًا من الصورة الكسرية. على سبيل المثال، اثنان أس ثمانية مقسومًا على اثنين أس خمسة يساوي اثنين أس ثمانية ناقص خمسة، أي يساوي اثنين تكعيب.

في هذا الفيديو، استخدمنا أيضًا قاعدة حاصل الضرب للأسس. وتنص القاعدة على أن ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏. عند الضرب نجمع الأسس، بينما عند القسمة نطرحها. وقادنا السؤال الأخير الذي تناولناه إلى قاعدة الأسس السالبة، التي تنص على أن ‪𝑥‬‏ أس سالب ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.