تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد قياس الزاوية الصغرى الواقعة بين خط مستقيم ومستوى في ثلاثة أبعاد بمعلومية معادلتيهما الرياضيات

أوجد، لأقرب ثانية، قياس الزاوية الصغرى بين الخط المستقيم (ﺱ − ٨٠)‏/‏٨٠ = (ﺹ − ٨٠)‏/‏−٥ = (ﻉ − ٤)‏/‏٥ والمستوى ٦ﺱ− ٨ﺹ − ٥ﻉ −٥٨٠ = ٧٠.

٠٥:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد، لأقرب ثانية، قياس الزاوية الصغرى الواقعة بين الخط المستقيم ﺱناقص سبعة على سبعة يساوي ﺹ ناقص سبعة على سالب خمسة يساوي ﻉ ناقص أربعة على واحد، والمستوى ستة ﺱ ناقص ثمانية ﺹ ناقص خمسة ﻉ ناقص ١٧ يساوي صفرًا.

حسنًا، لدينا هنا خط مستقيم ومستوى. ونريد الحل لإيجاد قياس الزاوية الواقعة بينهما. نريد على وجه التحديد حساب قياس الزاوية الصغرى بين هذين العنصرين. بعبارة أخرى، إذا تخيلنا أن المستوى يبدو بهذا الشكل، أي بالنظر إليه من الحافة، وأن الخط المستقيم يمر عبر المستوى على هذا النحو، فسنلاحظ أن هناك زاويتين مختلفتين يمكننا اعتبارهما الزاويتين الواقعتين بين المستوى والخط المستقيم. يطلب منا نص المسألة أن نحدد القيمة الصغرى من هاتين القيمتين. ومن ثم، نعرف أنها لن تكون أكبر من ٩٠ درجة.

بتسمية هذه الزاوية الصغرى 𝜃، دعونا نتذكر العلاقة الرياضية العامة التي تعطينا الزاوية الواقعة بين خط مستقيم ومستوى. إذا كان ﻡ متجهًا موازيًا لخط مستقيم، وﻱ متجهًا عموديًّا على مستوى، فإن جيب الزاوية الواقعة بين هذا الخط المستقيم والمستوى يكون معطى بدلالة هذه الصيغة.

لاستخدام هذه المعادلة، علينا الحل لإيجاد المتجه الموازي للخط المستقيم، والمتجه العمودي على المستوى. بالبدء بالبحث عن متجه مواز للخط المستقيم، إذا نظرنا إلى معادلة الخط المستقيم المعطاة لنا، فإننا نعلم أن هذه الكسور الثلاثة يساوي كل منها الآخر؛ لأن كلًّا منها يساوي معامل القياس نفسه الذي يمكننا أن نطلق عليه ﻥ. وبمعرفة ذلك، يمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم على الصورة التي تسمى الصورة البارامترية. يمكننا التعبير عن الخط المستقيم على هذه الصورة بكتابة معادلة لكل من ﺱ وﺹ وﻉ على حدة.

إذا نظرنا إلى الكسر الذي يتضمن ﺱ، فإنه يخبرنا أن ﺱ ناقص سبعة على سبعة يساوي ﻥ. وعليه، فإن ﺱ يساوي سبعة في ﻥ زائد سبعة. وبالمثل، الكسر ﺹ ناقص سبعة على سالب خمسة يساوي ﻥ. ومن ثم، فإن ﺹ يساوي سالب خمسة ﻥ زائد سبعة. وأخيرًا، بما أن ﻉ ناقص أربعة على واحد يساوي ﻥ، يمكننا كتابة ﻉ يساوي ﻥ زائد أربعة.

يمكننا الآن أخذ هذه الصورة البارامترية لمعادلة الخط المستقيم وكتابتها على صورة متجه، حيث يمثل هذا المتجه ﺭ المركبات ﺱ وﺹ وﻉ للخط المستقيم. وبكتابة المعادلة بهذه الصورة، فإن هذا المتجه الثاني، الذي نضرب فيه معامل القياس، هو المتجه الذي نعلم أنه مواز للخط المستقيم. إذن، يمكننا القول إن مركبات المتجه ﻡ، وهو المتجه الموازي للخط المستقيم الموضح، هي سبعة، سالب خمسة، واحد.

بمعرفة ذلك، لنلق نظرة الآن على معادلة المستوى المعطى. المعادلة معطاة لنا على ما يسمى الصورة العامة، حيث تكتب معادلة المستوى على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ زائد ﺩ يساوي صفرًا. يمكننا أن نلاحظ ما يناظره كل من هذه الثوابت ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ في المستوى المعطى. وبالنظر مرة أخرى إلى الصورة العامة لمعادلة المستوى، يمكننا أن نتذكر أن المتجه العمودي على هذا المستوى سيكون له المركبات ﺃ وﺏ وﺟ وهي القيم المضروبة في ﺱ وﺹ وﻉ. إذن، يمكننا القول إن المتجه العمودي على المستوى المعطى سيكون له المركبات ستة، سالب ثمانية، سالب خمسة.

لدينا الآن المتجهان اللذان نحتاج إليهما لاستخدام هذه المعادلة لإيجاد قياس الزاوية الواقعة بين المستوى والخط المستقيم. عندما نعوض في هذا التعبير بالمتجهين ﻡ وﻱ، نحصل على هذا الناتج. وخطوتنا التالية هي حساب حاصل الضرب القياسي في البسط بضرب المركبات المتناظرة لهذين المتجهين معًا. وفي المقام أيضًا، يمكننا تربيع المركبات المختلفة لهذين المتجهين. وهذا يعطينا مقدارًا يساوي ٤٢ زائد ٤٠ ناقص خمسة مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ٤٩ زائد ٢٥ زائد واحد في الجذر التربيعي لـ ٣٦ زائد ٦٤ زائد ٢٥، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ٧٧ مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ٧٥ في ١٢٥. نتذكر أن هذا التعبير يساوي جيب الزاوية الذي نريد الحل لإيجاد قيمتها.

للحصول على قياس هذه الزاوية في طرف بمفردها، سنوجد معكوس الجيب للطرفين. وعند كتابة هذا التعبير على الآلة الحاسبة وتقريب الناتج لأقرب ثانية، نحصل على الناتج ٥٢ درجة و٤٠ دقيقة و٤٥ ثانية. لاحظ أن هذا أقل من ٩٠ درجة. إذن، هذا هو قياس الزاوية الصغرى بين الزاويتين الواقعتين بين الخط المستقيم والمستوى.

إذن، الإجابة النهائية هي أن قياس الزاوية الصغرى الواقعة بين هذا الخط المستقيم والمستوى المعطى هي ٥٢ درجة و٤٠ دقيقة و٤٥ ثانية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.