فيديو الدرس: ضرب المقادير ذات الحدين الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

ضرب المقادير ذوات الحدين. في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نضرب مقدارين ذوي حدين باستخدام طريقة توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني، وطريقة المساحة. لنبدأ بتذكير أنفسنا بتعريف المقدار ذي الحدين. المقدار ذو الحدين عبارة عن تعبير يتضمن مجموع حدين أو الفرق بينهما. على سبيل المثال، ثلاثة ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ مقدار ذو حدين. وكذلك أيضًا ﺹ ناقص سبعة.

إذا كان لدينا مقداران ذوا حدين وأردنا ضربهما، فكيف سيبدو ذلك؟ على سبيل المثال، إذا كان لدينا المقدار ذو الحدين ﺱ زائد اثنين، وضربناه في المقدار ذي الحدين ﺱ زائد ثلاثة، يمكننا كتابة ذلك باستخدام علامة الضرب في المنتصف. لاحظ أنه لدينا قوسان حول كل مقدار ذي حدين لنعرف أننا نضرب حدي المقدار الأول في حدي المقدار الثاني. في أغلب الأحيان، نرى هذا النوع من المسائل دون وجود علامة الضرب بين المقدارين ذوي الحدين. وقد نجد أيضًا أن ضرب مقدارين ذوي حدين يشار إليه بالمصطلحات: «فك القوس»، أو «إيجاد حاصل الضرب»، أو «استخدام خاصية التوزيع».

دعونا الآن نتحدث عن كيفية ضرب مقدارين ذوي حدين. هناك عدة طرق لذلك. لكننا سنستخدم هنا طريقتين مختلفتين. الطريقة الأولى هي طريقة التوزيع. وتعني توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني. الطريقة الثانية هي طريقة المساحة أو الضرب الشبكي. ويشيع استخدام هذه الطريقة لضرب الأعداد الصحيحة.

دعونا نلق نظرة على مثال لضرب مقدارين ذوي حدين، ونر كيف يمكننا تطبيق كلتا الطريقتين.

فك المقدار: اثنان ﺱ زائد واحد في ثلاثة ﺱ ناقص اثنين.

في هذه المسألة، سنضرب مقدارين ذوي حدين. سنستخدم طريقتين مختلفتين لتوضيح مفكوك هذين المقدارين ذوي الحدين. الطريقة الأولى هي توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني. والطريقة الثانية هي طريقة المساحة أو الضرب الشبكي. سنبدأ بالطريقة الأولى، وهذا يعني أننا سنضرب الحدين الأولين، ثم الطرفين، ثم الوسطين، ثم الحدين الأخيرين. بالنظر إلى المقدارين ذوي الحدين لدينا، نجد أن الحدين الأولين هما: اثنان ﺱ، وثلاثة ﺱ. إذن، سنضرب هذين الحدين ونكتب اثنين ﺱ في ثلاثة ﺱ.

الطرفان هما: اثنان ﺱ، وسالب اثنين. إذن، نضيف اثنين ﺱ في سالب اثنين. الوسطان هما: موجب واحد، وثلاثة ﺱ. إذن، نضيف واحد في ثلاثة ﺱ. وأخيرًا، الحدان الأخيران هما: موجب واحد، وسالب اثنين. ولذا، سنضيف موجب واحد في سالب اثنين. لسنا بحاجة إلى كتابة هذا السطر في الحل. لكنه يمكن أن يكون مفيدًا لتوضيح الطريقة التي نستخدمها. والآن، سنوجد حاصل الضرب. اثنان ﺱ في ثلاثة ﺱ يساوي ستة ﺱ تربيع. اثنان ﺱ في سالب اثنين يساوي سالب أو ناقص أربعة ﺱ، زائد واحد في ثلاثة ﺱ، ما يساوي ثلاثة ﺱ. وأخيرًا، موجب واحد في سالب اثنين يساوي سالب اثنين.

الشيء التالي الذي نفعله في هذه المرحلة من المسألة هو التبسيط من خلال تجميع أي حدود متشابهة. لدينا هنا حدان في ﺱ. يمكننا كتابة هذا على الصورة: ستة ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص اثنين؛ لأن سالب أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ يساوي سالب ﺱ. دعونا نر كيف نحصل على الإجابة نفسها باستخدام طريقة الضرب الشبكي. لإعداد الشبكة، نضع مقدارًا ذا حدين أفقيًّا وآخر ذا حدين رأسيًّا. المقدار ذو الحدين الأول يعطينا: اثنين ﺱ، وواحدًا؛ أفقيًّا. ويمكن تقسيم المقدار الثاني ذي الحدين، ثلاثة ﺱ ناقص اثنين، إلى الحدين: ثلاثة ﺱ، وسالب اثنين.

نحسب بعد ذلك حاصل ضرب كل صف وعمود بدءًا من ثلاثة ﺱ في اثنين ﺱ. هذا يعطينا ستة ﺱ تربيع. ثم، ثلاثة ﺱ في واحد يساوي ثلاثة ﺱ. في الصف الثاني، سالب اثنين في اثنين ﺱ يساوي سالب أربعة ﺱ. وأخيرًا، سالب اثنين في واحد يساوي سالب اثنين. بعد ذلك، نبسط بجمع الحدود الأربعة كلها، ونحدد إذا ما كان من الممكن تجميع أي حدود متشابهة. نبدأ بستة ﺱ تربيع. لدينا بعد ذلك موجب ثلاثة ﺱ وسالب أربعة ﺱ، مما يبسط إلى سالب ﺱ، ثم لدينا الحد الأخير سالب اثنين. إذن، استخدام أي من الطريقتين يعطينا الإجابة نفسها: ستة ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص اثنين.

في المثال التالي، سنتناول مسألة يتضمن فيها مقداران ذوا حدين عددًا من حدود متغيرات مختلفة. يمكننا استخدام العملية نفسها والطرق نفسها لنصل إلى ناتج مفكوك المقدارين ذوي الحدين.

استخدم خاصية التوزيع لفك المقدار: اثنان ﺱ زائد ﺹ، في ﺱﺹ ناقص اثنين ﻉ بالكامل.

في هذا السؤال، تعني عبارة «استخدم خاصية التوزيع» أنه يمكننا ضرب المجموع من خلال ضرب كل مكون على حدة، ثم جمع حواصل الضرب. يمكننا استخدام عدة طرق لفك القوسين. سنتناول هنا طريقتين لذلك. الطريقة الأولى هي توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني. وفي هذه الطريقة، نضرب الحدين الأولين، والطرفين، والوسطين، والحدين الأخيرين؛ بالمقدارين ذوي الحدين.

بالنسبة للمقدارين ذوي الحدين لدينا، نبدأ بضرب الحدين الأولين، أي اثنين ﺱ في ﺱﺹ. بعد ذلك، نضرب الطرفين؛ وهما اثنان ﺱ في سالب اثنين ﻉ. من المهم دومًا أن نكون أكثر حذرًا عندما يكون لدينا المتغير ﻉ؛ لأننا لا نريد أن نخلط بينه وبين الرقم أربعة. بعد ذلك، ضرب الطرفين يعني ﺹ في ﺱﺹ. وأخيرًا، نضيف حاصل ضرب الحدين الأخيرين؛ أي ﺹ في سالب اثنين ﻉ.

علينا الآن تبسيط حواصل الضرب. معامل الحد الأول هو اثنان. ‏ﺱ في ﺱ يساوي ﺱ تربيع. ولدينا ﺹ. إذن، يبسط الحد الأول إلى اثنين ﺱ تربيع ﺹ. نوجد معامل الحد الثاني بضرب موجب اثنين في سالب اثنين، ما يساوي سالب أربعة. لدينا بعد ذلك ﺱ في ﻉ. الحد الثالث المبسط هو ﺱﺹ تربيع؛ حيث لدينا ﺹ في ﺹ. الحد الأخير هو سالب اثنين ﺹﻉ. في هذه المرحلة، نتأكد دومًا من إمكانية تبسيط الناتج من خلال تجميع أي حدود متشابهة. وبما أنه لا يوجد أي حدود متشابهة هنا، فهذا هو الناتج النهائي.

كطريقة بديلة، يمكننا استخدام طريقة المساحة أو الضرب الشبكي لإيجاد مفكوك المقدارين ذوي الحدين. لإعداد شبكة، نقسم المقدارين ذوي الحدين إلى الحدود المكونة لهما بوضع حد في الصف وحد في العمود. ولا تهم طريقة ترتيب ذلك. لملء كل خانة في الشبكة، نضرب قيمة الصف في قيمة العمود.

بالنظر إلى الخانة الأولى، سنجد لدينا ﺱﺹ في اثنين ﺱ، وهو ما يساوي اثنين ﺱ تربيع ﺹ. في الخانة التالية، نضرب ﺱﺹ في ﺹ لنحصل على ﺱﺹ تربيع. في الصف التالي، لدينا سالب اثنين ﻉ في اثنين ﺱ، مما يعطينا سالب أربعة ﺱﻉ. والقيمة الأخيرة في الشبكة هي سالب اثنين ﺹﻉ. لمعرفة الإجابة من هذه الشبكة، نجمع حواصل الضرب الأربعة فنحصل على اثنين ﺱ تربيع ﺹ ناقص أربعة ﺱﻉ زائد ﺱﺹ تربيع ناقص اثنين ﺹﻉ، وهو ما حصلنا عليه أيضًا عند توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني.

دعونا الآن نلق نظرة على سؤال نطرح فيه مفكوك مقدارين ذوي حدين من حد آخر.

فك المقدار: سبعة ناقص ثلاثة ناقص ﺹ في ﺹ زائد اثنين، وبسطه.

في هذا السؤال، نلاحظ أن لدينا مقدارين ذوي حدين مضروبان معًا. سنوجد مفكوك هذين المقدارين ذوي الحدين أولًا، ثم نطرح الناتج من سبعة. سنستخدم طريقة الضرب الشبكي لضرب هذين المقدارين. لاحظ أن إشارة السالب الموجودة في البداية غير متضمنة.

سنرسم الشبكة ونكتب ثلاثة ناقص ﺹ كأول مقدار ذي حدين لدينا. يمكن تقسيم المقدار ذي الحدين إلى الحدين: ﺹ، واثنين. يمكننا كتابة علامة زائد أو لا. ولا تهم طريقة ترتيب المقدارين ذوي الحدين. سنملأ الشبكة ونبدأ بـ ﺹ في ثلاثة، ما يساوي ثلاثة ﺹ. لدينا بعد ذلك ﺹ في سالب ﺹ، وهو ما يعطينا سالب ﺹ تربيع. في الصف التالي، لدينا اثنان في ثلاثة، ما يساوي ستة. ويتم إيجاد الحد الأخير بضرب اثنين في سالب ﺹ، ما يساوي سالب اثنين ﺹ.

لمعرفة الإجابة من الشبكة، نجمع حواصل الضرب الأربعة التي حسبناها توًّا. سنبدأ بأكبر أس لـ ﺹ، وهو سالب ﺹ تربيع. سنلاحظ بعد ذلك أن لدينا حدين في ﺹ يمكن جمعهما معًا. إذن، ثلاثة ﺹ زائد سالب اثنين ﺹ يساوي موجب ﺹ. ثم، نضيف الحد الأخير من الشبكة وهو موجب ستة. إذن، لحل المسألة سبعة ناقص ثلاثة ناقص ﺹ، ‏ﺹ زائد اثنين، نعوض بالقيم التي أوجدناها من المفكوك، ما يعطينا سبعة ناقص سالب ﺹ تربيع زائد ﺹ زائد ستة.

من المهم تضمين ذلك كله بين قوسين بما أننا نريد طرح هذه الحدود كلها. وقد يكون من المفيد كتابة السطر التالي؛ حيث نضرب إشارة السالب في الحدود كلها. لدينا سبعة ناقص ناقص ﺹ تربيع، ما يساوي موجب ﺹ تربيع. سالب في موجب ﺹ يساوي سالب ﺹ. وأخيرًا، سالب في موجب ستة يساوي سالب ستة.

للتبسيط، سنتحقق من وجود أي حدود متشابهة. نلاحظ أن لدينا سبعة وسالب ستة، ما يساوي واحدًا، وبذلك يكون الناتج النهائي هو ﺹ تربيع ناقص ﺹ زائد واحد. يمكننا كتابة هذه الحدود بأي ترتيب. لكن المتعارف عليه هو كتابتها بالترتيب التنازلي لقيم الأسس. ولذا، سيكون لدينا ﺹ تربيع أولًا، ثم حد ﺹ، ثم الثابت.

في المثال التالي، سنتناول مقادير ذوات حدين لها أسس بقيم أعلى. وسنستخدم قواعد الأسس لتساعدنا في حل المسألة.

أوجد ﺃﺏ؛ حيث ﺃ يساوي خمسة ﺱ تكعيب ناقص ثلاثة ﺱ، وﺏ يساوي سالب ستة ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ.

لإيجاد ﺃﺏ في هذه المسألة، فهذا يعني أن علينا ضرب ﺃ وﺏ. إذن، يمكن إيجاد ﺃﺏ بضرب خمسة ﺱ تكعيب ناقص ثلاثة ﺱ في سالب ستة ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ. بما أن ﺃ وﺏ مقدارن ذوا حدين، يمكننا استخدام طريقة لضرب مقدارين ذوي حدين أو إيجاد مفكوكهما. برسم شبكة الضرب أو المساحة، يمكننا توزيع حدود المقدارين ذوي الحدين مع تذكر تضمين إشارات السالب أينما ظهرت.

لإيجاد القيمة في كل خانة، نوجد حاصل ضرب قيمة الصف وقيمة العمود. يمكن إيجاد معامل الحد في الخانة الأولى بضرب سالب ستة في خمسة، ما يساوي سالب ٣٠. بالنسبة لحد ﺱ، نضرب ﺱ تربيع في ﺱ تكعيب. قد نتوقف هنا قليلًا ونذكر أنفسنا بإحدى قواعد الأسس. هذه القاعدة هي: ﺱ أس ﺃ في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. إذن، العملية الحسابية لدينا هي: ﺱ تربيع في ﺱ تكعيب يساوي ﺱ أس خمسة. ومن ثم، الحد الأول في الشبكة هو سالب ٣٠ﺱ أس خمسة.

في الخانة التالية في الشبكة، لدينا المعامل سالب ستة في سالب ثلاثة، ما يساوي ١٨؛ لأن حاصل ضرب قيمتين سالبتين يعطينا دائمًا قيمة موجبة. بالنسبة لقيمة ﺱ، لدينا ﺱ تربيع في ﺱ، ما يساوي ﺱ تربيع في ﺱ أس واحد، فنحصل على ﺱ تكعيب. ومن ثم، يكون الحد بالكامل ١٨ﺱ تكعيب. في الصف التالي، لدينا ثلاثة ﺱ في خمسة ﺱ تكعيب، ما يعطينا ١٥ﺱ أس أربعة. نوجد الحد الأخير في الشبكة بضرب ثلاثة ﺱ في سالب ثلاثة ﺱ. هذا يساوي سالب تسعة ﺱ تربيع.

لمعرفة الإجابة باستخدام الشبكة، نجمع حواصل الضرب الأربعة معًا فنحصل على سالب ٣٠ﺱ أس خمسة زائد ١٥ﺱ أس أربعة زائد ١٨ﺱ تكعيب ناقص تسعة ﺱ تربيع. وبما أنه لا توجد حدود متشابهة، لا يمكننا التبسيط أكثر من ذلك. إذن هذا هو الناتج النهائي لـ ﺃﺏ.

قبل تلخيص ما تعلمناه في هذا الفيديو، قد يكون من المفيد الإشارة إلى أن ضرب مقدارين ذوي حدين هو جزء من الطريقة التي نستخدمها لضرب ثلاثة مقادير أو أكثر ذوات حدين. لكن هذا خارج نطاق هذا الفيديو. بوجه عام، إذا كنا نضرب ثلاثة مقادير ذوات حدين، مثل: ﺱ زائد ثلاثة في ﺱ زائد سبعة في اثنين ﺱ ناقص خمسة، فسنوجد مفكوك مقدارين ذوي حدين — على سبيل المثال — فنحصل على ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد ٢١، ثم نضرب ذلك في اثنين ﺱ ناقص خمسة. يمكننا هنا استخدام طريقة الشبكة للتوصل إلى الناتج النهائي.

إذن، خلاصة القول أننا تعلمنا في هذا الفيديو كيف نضرب مقدارين ذوي حدين بطريقتين: طريقة توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني، وطريقة المساحة أو الضرب الشبكي. وعلينا أن نتوخى الحذر عند ضرب قيم سالبة. وأخيرًا، قد نحتاج إلى استخدام إحدى قواعد الأسس المهمة عند ضرب المقادير ذوات الحدين. وهي القاعدة: ﺱ أس ﺃ في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ.