نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نعرف دالة كثيرة الحدود ذات متغير واحد، ونكتبها، ونوجد قيمتها، ونحدد درجتها ومعاملها الرئيسي.
بوصولك إلى هذه المرحلة، ستكون قد تعاملت مع دوال كثيرات الحدود، ربما دون أن تدرك ذلك. من هذه الدوال، الدوال الخطية والدوال التربيعية والدوال التكعيبية، وهكذا؛ بعبارة أخرى، دوال تحتوي على قوى صحيحة موجبة للمتغير ﺱ. بوجه عام، يمكننا القول إن الدالة كثيرة الحدود تكون على الصورة: ﺩﺱ يساوي ﺃﻥﺱ أس ﻥ زائد ﺃﻥ ناقص واحد ﺱ أس ﻥ ناقص واحد، وهكذا، وصولًا إلى ﺃ واحد ﺱ زائد ﺃ صفر. وجميع قيم ﺃ هنا ثوابت حقيقية. ونقول إن الدالة كثيرة الحدود درجتها هي ﻥ؛ حيث تكون الدرجة هي أكبر قوة أو أس.
على سبيل المثال، الدالة التربيعية ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة هي دالة من الدرجة الثانية. في حين أن أكبر قوة أو أس لـ ﺱ في الدالة ﺩﺱ تساوي أربعة ناقص ثلاثة ﺱ تكعيب هو ثلاثة. ومن ثم، تكون الدالة من الدرجة الثالثة. لنفترض أنه لدينا حدود غير معتادة كالجذور التربيعية أو المقلوبات، مثل ﺩﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ أو ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ. نلاحظ في هذه الحالة أن الدالة لا تعد كثيرة حدود. تذكر أن ﻥ لا بد أن يكون عددًا صحيحًا موجبًا، أو عددًا كليًّا موجبًا. من المفيد أيضًا أن نتذكر أن الدالة ﺩﺱ تساوي صفرًا كثيرة حدود، لكننا نقول إن درجتها غير معرفة.
يجب أيضًا أن نتمكن من حساب قيم دوال كثيرات الحدود. لذا، من المفيد أن نسترجع ما نعنيه بهذا الجزء هنا. نحن نقول ﺩﺱ، حيث يمثل ﺩ اسم الدالة، وﺱ هو القيمة المدخلة. لنفترض أننا نريد حساب قيمة ﺩ لأربعة. سنعوض عن أي متغير للقيمة المدخلة ﺱ بالعدد أربعة ونستكمل الحل. هيا نرى كيف سيبدو ذلك.
أوجد قيمة ﺩ لثمانية إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة ناقص سبعة ﺱ.
في هذا السؤال، لدينا دالة كثيرة الحدود. أعلى قوة لـ ﺱ هنا هي واحد. لذا، نقول إن درجة الدالة كثيرة الحدود هي واحد. وقيمتها المدخلة هي ﺱ. نلاحظ أنه عندما يكون لدينا هذه القيمة المدخلة، فإن القيمة المخرجة تساوي ثلاثة ناقص سبعة في ﺱ. يطلب منا السؤال إيجاد قيمة ﺩ لثمانية. لذا، سنعوض عن ﺱ بثمانية. ﺩ لثمانية يساوي ثلاثة ناقص سبعة في ثمانية. لكن انتبه. فمن الأخطاء الشائعة هنا أن نعتقد أن هذا يعني ٨٧، ولكن سبعة ﺱ يساوي سبعة في ﺱ.
لحساب قيمة ﺩ لثمانية، نتذكر ترتيب إجراء العمليات الحسابية، وهو الأقواس ثم القوى ثم الضرب والقسمة ثم الجمع والطرح. يوضح لنا هذا أنه علينا حساب حاصل الضرب قبل أن نطرحه من ثلاثة. سبعة مضروبًا في ثمانية يساوي ٥٦. إذن، ﺩ لثمانية يساوي ثلاثة ناقص ٥٦. ثلاثة ناقص ٥٦ يساوي سالب ٥٣. ومن ثم، فإن قيمة ﺩ لثمانية، إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة ناقص سبعة ﺱ، هي سالب ٥٣.
في المثال التالي، سنتناول كيفية حساب قيمة دالة تربيعية. وهي دالة من الدرجة الثانية.
إذا كانت ﺩﺱ تساوي سالب ثمانية ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد أربعة، فأوجد ﺩ لسالب ثلاثة.
لدينا دالة كثيرة الحدود. تذكر أن هذه الدالة كثيرة الحدود؛ حيث إن جميع قوى ﺱ أعداد صحيحة حقيقية موجبة. أعلى قوة لـ ﺱ في هذه الدالة كثيرة الحدود هي اثنان. لذا، نقول إن درجة الدالة هي اثنان. يطلب منا السؤال إيجاد ﺩ لسالب ثلاثة. بعبارة أخرى، ما القيمة المخرجة للدالة ﺩ عندما تكون القيمة المدخلة سالب ثلاثة؟ للإجابة عن هذا السؤال، سنعوض عن ﺱ بسالب ثلاثة في الدالة كلها.
الحد الأول في الدالة هو سالب ثمانية ﺱ تربيع. إذن، يصبح لدينا سالب ثمانية في سالب ثلاثة تربيع. بعد ذلك، نطرح ثلاثة في ﺱ. ومن ثم، نطرح ثلاثة في سالب ثلاثة. الحد الأخير هو أربعة؛ وهو مستقل عن ﺱ، لذا سيظل أربعة كما هو. وبالطبع، لإيجاد قيمة ذلك، علينا أن نتذكر ترتيب العمليات. فهو يحدد الترتيب الذي نجري به العمليات الحسابية. وهو الأقواس ثم القوى ثم الضرب والقسمة ثم الجمع والطرح. في كلتا الحالتين، نحسب قيم القوى أو الأسس قبل الضرب. إذن، سنبدأ بحساب قيمة سالب ثلاثة تربيع.
حسنًا، سالب ثلاثة تربيع يساوي سالب ثلاثة في سالب ثلاثة. ضرب عدد سالب في عدد سالب آخر يعطينا عددًا موجبًا. إذن، سالب ثلاثة تربيع يساوي موجب تسعة. وهكذا، يصبح لدينا سالب ثمانية مضروبًا في تسعة ناقص ثلاثة مضروبًا في سالب ثلاثة زائد أربعة. هذه المرة، سنجري عملية الضرب قبل الجمع أو الطرح. ثمانية مضروبًا في تسعة يساوي ٧٢. ونعرف أن ضرب عدد سالب في عدد موجب يعطينا عددًا سالبًا.
نطرح ثلاثة مضروبًا في سالب ثلاثة. ثلاثة مضروبًا في سالب ثلاثة يساوي سالب تسعة. لذا، سنطرح سالب تسعة. لكننا نعلم أن طرح قيمة سالبة هو نفسه إضافة قيمة موجبة. وبذلك، نحصل على سالب ٧٢ زائد تسعة زائد أربعة. أصبح لدينا الآن عمليتا جمع وطرح في نفس العملية الحسابية. عندما يحدث ذلك، نتحرك ببساطة من اليمين إلى اليسار. سالب ٧٢ زائد تسعة يساوي سالب ٦٣.
عندما نضيف تسعة، فإننا نتحرك لأعلى على خط الأعداد تسع خطوات. نضيف أربعة إلى هذا، مع العلم أيضًا أنه عند إضافة أربعة، نتحرك لأعلى على خط الأعداد أربع خطوات. إذن، سالب ٦٣ زائد أربعة يساوي سالب ٥٩. وعليه، إذا كانت الدالة التربيعية ﺩﺱ تساوي سالب ثمانية ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد أربعة، فإن ﺩ لسالب ثلاثة يساوي سالب ٥٩.
سنتناول الآن ما يحدث إذا كانت القيمة المدخلة للدالة ذات حدين.
افترض أن الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص أربعة. أوجد ﺩﺱ زائد ثلاثة.
لدينا هنا دالة تربيعية. أعلى قوة لـ ﺱ هي اثنان. إذن، يمكننا القول إن درجة الدالة هي اثنان. القيمة المدخلة للدالة هي ﺱ. لكن يطلب منا السؤال معرفة ما يحدث عندما تكون القيمة المدخلة ﺱ زائد ثلاثة. لذلك، سننظر إلى الدالة نفسها. ونعوض عن كل متغير ﺱ بالمقدار ﺱ زائد ثلاثة. الجزء الأول من الدالة هو ﺱ تربيع. إذن، عند التعويض عن ﺱ بـ ﺱ زائد ثلاثة، نحصل على ﺱ زائد ثلاثة الكل تربيع.
بعد ذلك، نطرح ثلاثة ﺱ. لكننا نعوض عن ﺱ بـ ﺱ زائد ثلاثة. لذا، نطرح ثلاثة في ﺱ زائد ثلاثة. الحد الأخير هنا هو سالب أربعة. وهو مستقل عن ﺱ. لذلك، يظل سالب أربعة كما هو. سنقوم الآن بتوزيع القوسين في الدالة. لنبدأ بالحد الأول. وهو ﺱ زائد ثلاثة تربيع. تذكر أن ﺱ زائد ثلاثة الكل تربيع يساوي ﺱ زائد ثلاثة مضروبًا في نفسه.
لتوزيع هذين القوسين، نبدأ بضرب الحد الأول في كل مقدار. ﺱ مضروبًا في ﺱ يساوي ﺱ تربيع. نضرب الحدين الخارجيين. ﺱ في ثلاثة يساوي ثلاثة ﺱ. بعد ذلك نضرب الوسطين، وهو ما يعطينا ثلاثة ﺱ أيضًا. وأخيرًا، نضرب الحدين الأخيرين، فنحصل على تسعة. خطوتنا الأخيرة هي تجميع الحدود المتشابهة. ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ يساوي ستة ﺱ. إذن، نجد أن ﺱ زائد ثلاثة الكل تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد تسعة.
دعونا الآن نوزع القوس الثاني. هذه المرة، سنضرب سالب ثلاثة فيما داخل القوس. سالب ثلاثة في ﺱ يساوي سالب ثلاثة ﺱ. وسالب ثلاثة في ثلاثة يساوي سالب تسعة. وأخيرًا، نكتب سالب أربعة. إذن، ﺩﺱ زائد ثلاثة يساوي ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد تسعة ناقص ثلاثة ﺱ ناقص تسعة ناقص أربعة. هيا نبسط ذلك أكثر من خلال تجميع الحدود المتشابهة.
لدينا واحد ﺱ تربيع. ولدينا بعد ذلك ستة ﺱ ناقص ثلاثة ﺱ، وهو ما يعطينا ثلاثة ﺱ. وأخيرًا، لدينا تسعة ناقص تسعة ناقص أربعة، وهو ما يساوي سالب أربعة. إذن، ﺩﺱ زائد ثلاثة يساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ ناقص أربعة. يمكن أن تكون هذه المعلومة مفيدة للغاية. ربما نعلم أن ﺩﺱ زائد ثلاثة انتقال للتمثيل البياني الأصلي للدالة بواسطة المتجه سالب ثلاثة، صفر. إذن، نستنتج من ذلك أنه عند إجراء انتقال، فإن التمثيل البياني ينتقل من ﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص أربعة إلى ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ ناقص أربعة.
في المثال التالي، سنتناول مطابقة التمثيلات البيانية لدوال كثيرات الحدود مع الدالة الخاصة بكل منها.
طابق التمثيلات البيانية بالدوال المناظرة لها. حدد درجة كل دالة ومعاملها الرئيسي.
معطى لنا عدد من الدوال. لدينا دالة خطية. وهي الدالة التي أعلى قوة لـ ﺱ فيها هي واحد. لدينا أيضًا دالة تربيعية من الدرجة الثانية أو أعلى قوة لـ ﺱ فيها هي اثنان. ولدينا كذلك دالة تكعيبية. وأعلى قوة لـ ﺱ فيها هي ثلاثة. إذن، درجات الدوال الثلاث الأولى هي واحد واثنان وثلاثة، على الترتيب.
لكن ماذا عن الدالتين الأخيرتين؟ بالنسبة إلى الدالة الرابعة، سنبدأ بالتفكير فيما سيحدث إذا وزعنا الأقواس. سينتهي بنا الأمر بضرب الحدود ﺱ كلها معًا. عندما نفعل ذلك، نحصل على ﺱ أس أربعة. يعني هذا أن لدينا دالة من الدرجة الرابعة. وأعلى قوة لـ ﺱ فيها هي أربعة. إذن، درجة هذه الدالة هي أربعة.
ماذا عن الدالة الأخيرة؟ قد يبدو للوهلة الأولى أنها ليست كثيرة حدود. لدينا هذا الجزء الكسري الذي يتضمن ﺱ، لكن يمكننا التعامل مع الجزء الأول من المقدار بقسمة حدي البسط على ﺱ. ﺱ أس أربعة مقسومًا على ﺱ يساوي ﺱ تكعيب، واثنان ﺱ تكعيب مقسومًا على ﺱ يساوي اثنين ﺱ تربيع. إذن، ﺩﺱ يساوي ﺱ تكعيب زائد اثنين ﺱ تربيع ناقص ﺱ. وهذه دالة تكعيبية أخرى؛ حيث أعلى قوة لـ ﺱ فيها هي ثلاثة. وعليه، فإن درجة الدالة الثالثة هي ثلاثة.
لقد حددنا درجة كل دالة من هذه الدوال. فماذا عن معاملاتها الرئيسية؟ حسنًا، المعامل الرئيسي هو العدد المجاور للمتغير الذي له أكبر أس. في الدالة الأولى، إنه هذا الحد. دعونا نسمي المعامل الرئيسي ﻡﺭ. إذن، المعامل الرئيسي هنا هو سالب واحد. في الدالة الثانية، إنه هذا الحد. إذن، المعامل الرئيسي هنا هو اثنان. في الدالة الثالثة، أعلى قوة لـ ﺱ هي ﺱ تكعيب. ومن ثم، المعامل الرئيسي هنا هو سالب ثلاثة. في الدالة الرابعة، قلنا إنه عندما وزعنا الأقواس، حصلنا على ﺱ أس أربعة. لذا، المعامل الرئيسي هنا هو واحد. وبالمثل، معامل ﺱ تكعيب في الدالة الأخيرة هو واحد. إذن، المعامل الرئيسي هو واحد.
حسنًا، أصبحنا الآن نعرف درجة كل دالة ومعاملها الرئيسي. علينا بعد ذلك مطابقة الدوال بتمثيلاتها البيانية. لذا، يمكن أن نقول حقيقة مفيدة للغاية. وهي أن الدالة كثيرة الحدود من الدرجة ﻥ يمكن أن يكون لها ﻥ ناقص واحد من نقاط التحول. يعني هذا أن الدالة الأولى، التي درجتها واحد، يمكن أن يكون لها ما يصل إلى واحد ناقص واحد، أي صفر، من نقاط التحول. والدالة الثانية سيكون لها اثنان ناقص واحد من نقاط التحول؛ أي نقطة تحول واحدة. والدالة الثالثة يمكن أن يكون لها ثلاثة ناقص واحد من نقاط التحول، أي نقطتا تحول. وبالطريقة نفسها، سيكون للدالة الرابعة ثلاث نقاط تحول. والدالة الأخيرة سيكون لها نقطتا تحول.
التمثيل البياني الوحيد الذي يحتوي على ثلاث نقاط تحول هو هذا التمثيل البياني؛ حيث توجد نقطة هنا، وهنا، وهنا. تمثل هذه النقاط فعليًّا المواضع التي يغير فيها المنحنى اتجاهه. إذن، لا بد أن يكون هذا هو التمثيل البياني للدالة من الدرجة الرابعة. يوجد تمثيل بياني له نقطة تحول واحدة. لذلك، لا بد أن يكون هو التمثيل البياني للدالة التربيعية. وفي الواقع، الدالة التربيعية دائمًا ما تشبه القطع المكافئ. وتمثل الدالة الخطية ﺩﺱ يساوي ثلاثة ناقص ﺱ هذا الخط المستقيم؛ فهي لا تحتوي على نقاط تحول.
لا يتبقى لنا سوى التمثيلين البيانيين الأخيرين. فهما تمثيلان بيانيان لدالتين تكعيبيتين، ويمكننا التعرف عليهما بناء على معاملهما الرئيسي. هذا التمثيل البياني الموجود بالأسفل له معامل رئيسي سالب، في حين أن هذا التمثيل البياني له معامل رئيسي موجب. إذن، لا بد أن يكون هذا هو التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ أس أربعة زائد اثنين ﺱ تكعيب على ﺱ ناقص ﺱ. ولا بد أن يكون هذا هو التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة ﺱ تكعيب.
سنتناول الآن مثالًا آخر يستخدم المعلومات بشأن عدد نقاط التحول حسب درجة الدالة.
التمثيل البياني المعطى للدالة الكثيرة الحدود ﺩ. ما درجة ﺩ؟ هل هي واحد، أم اثنان، أم ثلاثة، أم أربعة، أم خمسة؟
تذكر أن كثيرة الحدود من الدرجة ﻥ يمكن أن يكون لها ﻥ ناقص واحد من نقاط التحول. بعبارة أخرى، إذا استطعنا إيجاد درجة كثيرة الحدود، فسنعرف حينئذ أن عدد نقاط التحول لكثيرة الحدود يقل عن درجتها بمقدار واحد. إذن، هيا نعد نقاط تحول المنحنى. نلاحظ أن المنحنى يغير اتجاهه هنا وهنا. لكن ما الذي يحدث هنا؟ يبدو أن المنحنى لم يغير اتجاهه بالكامل هنا. في الواقع، هذه نقطة انقلاب. وهي نقطة يتغير فيها تقعر المنحنى.
ثمة حقيقة أخرى، وهي أن كثيرة الحدود من الدرجة ﻥ يمكن أن يكون لها ما يصل إلى ﻥ ناقص اثنين من نقاط الانقلاب. ويمكننا أن نفكر في نقاط الانقلاب على أنها تشبه تغير اتجاه المنحنى مرتين سريعًا في فترة زمنية قصيرة. ويمكننا اعتبار ذلك نقطتي تحول. هذا يعني أن لدينا أربع نقاط تحول. ومن ثم، فإن درجة كثيرة الحدود لا بد أن تكون خمسة.
في هذا الفيديو، عرفنا أن الدالة كثيرة الحدود تكون على الصورة: ﺩﺱ يساوي ﺃﻥﺱ أس ﻥ زائد ﺃﻥ ناقص واحد ﺱ أس ﻥ ناقص واحد، وهكذا. عرفنا أن جميع قيم ﺃ ثوابت حقيقية، وأن قوى ﺱ يجب أن تكون أعدادًا كلية موجبة. عرفنا أيضًا أن درجة الدالة هي أكبر قوة أو أس لـ ﺱ. إذن، هذه الدالة العامة كثيرة الحدود درجتها هي ﻥ. والمعامل الرئيسي هو معامل هذا الحد، أي ﺃﻥ. وأخيرًا، عرفنا أن كثيرة الحدود من هذه الدرجة، أي الدرجة ﻥ، يمكن أن يكون لها ما يصل إلى ﻥ ناقص واحد من نقاط التحول.