نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سندرس متغيرات الحركة الدورانية. سنتعرف على هذه المتغيرات، وكيفية حسابها، وعلاقتها بمتغيرات الحركة الخطية أو متغيرات الحركة الانتقالية.
في البداية، تخيل أنك تعمل في شركة لتصنيع إطارات السيارات. ويتمثل دورك في تتبع التآكل والتلف الذي يصيب الإطارات مع الاستعمال. وذات يوم، نما إلى علمك أن ثمة سباق سيارات سيتم تنظيمه، وفيه سيقود المتسابقون سياراتهم — المزودة بإطارات من تصنيع الشركة التي تعمل لديها — في جولة حول العالم. وبناء على دراسة قمت بها عن تآكل الإطارات، لديك فكرة عامة عن مقدار التآكل الذي يعتري الإطار مع كل دورة كاملة له. ولاستخدام هذه المعلومات في تحديد مقدار التآكل في إطارات السيارات التي سيقودها المتسابقون في جولة حول العالم، علينا أن نتعرف على متغيرات الحركة الدورانية.
ولفهم الحركة الدورانية، تخيل أن لدينا عجلة كبيرة تدور حول محور في مركزها، وبالإضافة إلى ذلك وضعنا علامة على الحافة الخارجية لهذه العجلة. وبمرور الوقت، مع دوران العجلة، تقطع هذه العلامة مسافة خطية — طول قوس — على طول الحافة الخارجية للعجلة ويمكن أن نشير إليها بالرمز 𝑠. وتمثل 𝑠 مسافة خطية مقيسة بوحدات خطية مثل المتر. والأمر المثير للانتباه أن لدينا أيضًا إزاحة دورانية عندما تدور هذه العلامة الموضوعة على حافة العجلة. يمكننا القول إننا قطعنا مسافة 𝜃 دورانيًا؛ حيث تقاس 𝜃 بوحدة الراديان لأنها زاوية.
ونعلم أنه يوجد اثنان 𝜋 راديان في الدائرة الكاملة. ولكنها ليست نهاية عظمى للمسافة الدورانية التي يمكن أن تقطعها هذه العلامة بغض النظر عن عدد مرات دوران العلامة على العجلة. وباستخدام زاوية ابتدائية، والتي يمكن أن نشير إليها بـ 𝜃 𝑖، وزاوية نهائية، والتي يمكن أن نشير إليها بـ 𝜃 𝑓، يمكننا حساب المسافة الدورانية المقطوعة بغض النظر عن عدد مرات دوران العجلة. إذن، طول القوس 𝑠، الذي يقاس بالمتر، والمسافة الزاوية 𝜃، التي تقاس بالراديان، كل منهما نظير للآخر. في العالم الخطي -كما يمكن أن نسميه- نتعامل مع 𝑠، أما في العالم الدوراني، فإننا نتعامل مع 𝜃.
والآن، تخيل أننا بدلًا من حساب المسافة التي قطعتها العلامة فقط، نريد كذلك معرفة سرعتها. وذلك عند الزمن الذي رسمنا عنده آخر موضع للعلامة. نعلم أن السرعة الخطية ستكون مماسية للحافة الخارجية للعجلة وتقاس في النظام الدولي للوحدات (𝑆𝐼) بالمتر لكل ثانية. وعلى الرغم من ذلك، فإننا نعلم أيضًا أنه خلال الزمن الذي تستغرقه العلامة في الحركة من موضعها الابتدائي إلى موضعها النهائي أيًا كان مقدار هذا الزمن، لم تتحرك النقطة مسافة خطية فحسب، ولكنها اجتازت كذلك مسافة زاوية. ويمكن أن نطلق على المسافة الزاوية المقطوعة خلال فترة زمنية معينة — وهي قيمة تقاس بالراديان لكل ثانية — السرعة الزاوية للعجلة. وعادة ما نشير إلى هذا المتغير بالحرف اليوناني 𝜔. وعلى غرار 𝜃 و𝑠، فإن 𝜔 و𝑣 أيضًا متناظران.
قد نتوسع أكثر في تصورنا بحيث لا يكون ما نريده هو معرفة سرعة العلامة فحسب، ولكن معرفة عجلتها الخطية كذلك. نحن نعلم أن العجلة 𝑎 هي معدل تغير السرعة 𝑣 بالنسبة إلى الزمن. فعندما نريد إيجاد قيمة 𝑎 فإننا نقوم باشتقاق السرعة 𝑣 بالنسبة إلى الزمن، ووحدتا هاتين القيمتين تؤكدان ذلك. وإذا فعلنا الشيء نفسه مع وحدة السرعة الزاوية، فإننا نحصل على ناتج بوحدة الراديان لكل ثانية تربيع. وقد يبدو هذا شبيهًا بالعجلة الزاوية، وهو كذلك بالفعل، ويشار إليه عادة بالحرف اليوناني 𝛼. إذن فإن كل مصطلح في الحركة الخطية له ما يناظره في الحركة الدورانية. لنمعن النظر في مدى التشابه بين هذه المصطلحات الثنائية.
نحن نعلم أن السرعة الخطية تساوي التغير في الموضع على التغير في الزمن. ومن الواضح أنه يمكننا كتابة السرعة الزاوية 𝜔 بطريقة مماثلة. فهي تساوي التغير في الموضع الزاوي Δ𝜃 على التغير في الزمن. وبما أن العجلة الخطية تساوي Δ𝑣 على Δ𝑡، فإن العجلة الزاوية 𝛼 تساوي Δ𝜔 على Δ𝑡. وربما نتعمق أكثر في تناول هذه الفكرة. أتتذكر معادلات الحركة؟ هذه المعادلات تساعد في وصف حركة الجسم عندما تكون العجلة 𝑎 ثابتة. فتساعدنا في إيجاد قيم متغيرات حركة جسم كالإزاحة أو السرعة الابتدائية. ومن الواضح أن ثمة مجموعة مناظرة من معادلات الحركة الدورانية.
وتكتب هذه المعادلات الأربع على غرار نظيراتها من المعادلات الخطية بالضبط، ولكن تحل متغيرات الحركة الدورانية محل متغيرات الحركة الخطية. وعلى غرار معادلات الحركة الخطية، تتطلب معادلات الحركة الدورانية عجلة ثابتة، ولكنها عجلة زاوية في هذه الحالة. والآن بعد أن تكونت لدينا فكرة عن مصدر متغيرات الحركة الدورانية وعلاقتها بنظيراتها من متغيرات الحركة الخطية، لنتناول بعض التدريبات على التعامل معها من خلال بعض الأمثلة.
تسقط ذرة غبار على قرص مدمج دوار وتظل عالقة في المكان. السرعة الزاوية للقرص 5.00 في 10 أس اثنين دورة لكل دقيقة، وذرة الغبار سقطت على بعد 4.30 سنتيمترات من مركز القرص. ما المسافة الكلية التي قطعتها ذرة الغبار خلال 1.80 في 10 أس اثنين ثانية من الدوران؟ افترض أن مقدار انخفاض سرعة القرص نتيجة سقوط ذرة الغبار مهمل، وأن الوقت الذي تستغرقه ذرة الغبار في التسارع لتصل إلى نفس سرعة الجزء الذي سقطت عليه من القرص أيضًا مهمل.
سنرمز لهذه المسافة الكلية التي قطعتها ذرة الغبار بالرمز 𝑠. وفي هذا السيناريو، نعلم أن ذرة الغبار سقطت على بعد — نرمز إليه بالرمز 𝑟 — يساوي 4.30 سنتيمترات من مركز القرص الدوار. ويدور القرص بسرعة زاوية — نرمز إليها بالرمز Ω — تساوي 5.00 في 10 أس اثنين دورة لكل دقيقة. وبعد سقوط ذرة الغبار على القرص الدوار لفترة زمنية مقدارها 1.80 في 10 أس اثنين ثانية، نريد أن نعرف المسافة الخطية 𝑠 التي قطعتها. المسافة الخطية 𝑠 تساوي عدد مرات دوران القرص في هذه الفترة الزمنية مضروبة في اثنين في 𝜋 في 𝑟.
ولدينا البعد 𝑟 من مركز الدوران إلى النقطة التي علقت عندها ذرة الغبار. ولكننا لا نعلم حتى الآن عدد مرات دوران القرص خلال الفترة الزمنية 𝑡. ولتحديد ذلك، يمكننا استخدام السرعة الزاوية Ω. ولاستخدام Ω على النحو الأمثل، نحول قيمتها من وحدة دورة لكل دقيقة إلى دورة لكل ثانية. وللقيام بذلك، يمكن أن نضرب Ω في دقيقة واحدة لكل 60 ثانية، وهو ما يعني فعليًا ضربها في واحد. ولكن الغرض من ذلك هو حذف وحدة الدقيقة وإبقاء وحدة الثانية. إجمالي عدد دورات القرص خلال الفترة الزمنية 𝑡 يساوي هذه الفترة الزمنية مضروبة في السرعة الزاوية.
وعندما نعوض بقيمة 𝑡 المعطاة، نجد أننا تخلصنا من وحدات الثانية وستكون وحدة عدد الدورات هي الدورة. وعندما نعوض بهذه الأعداد عن عدد دورات 𝑁 في معادلة 𝑠، ثم نعوض بقيمة نصف القطر 𝑟 ونحولها من وحدة السنتيمتر إلى وحدة المتر، نجد عند النظر إلى هذا المقدار النهائي أن وحدات الدورة تحذف معًا. ويبقى لدينا ناتج بوحدة المتر. وعندما نحسب 𝑠، نجد أنها تساوي 405 أمتار، وذلك مقربًا لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. وهذه هي المسافة التي قطعتها ذرة الغبار هذه في الفترة الزمنية 𝑡.
والآن، نتطرق إلى مثال ثان يتضمن متغيرات الحركة الدورانية.
جهاز جرامافون يدور قرصه الدوار بمعدل 33 وثلث دورة لكل دقيقة ويتباطأ ليتوقف خلال 1.00 دقيقة. ما العجلة الزاوية للقرص الدوار بافتراض أنها ثابتة؟ ما عدد الدورات الكاملة التي يقوم بها القرص الدوار أثناء التوقف؟
سنرمز إلى العجلة الزاوية للقرص الدوار بالرمز 𝛼، ونرمز إلى عدد الدورات الكاملة التي يقوم بها القرص الدوار أثناء التوقف بالرمز 𝑁. في هذا السيناريو، لدينا قرص دوار له سرعة زاوية في البداية، والتي نرمز إليها بالرمز Ω وتساوي 33 وثلث دورة لكل دقيقة. ويتباطأ هذا القرص الدوار حتى يتوقف في مدة زمنية مقدارها 1.00 دقيقة. بما أننا نعلم أن العجلة الزاوية له بينما يتباطأ ثابتة، فإن هذا يعني أن معادلات الحركة تنطبق على حركة القرص الدوار. وعلى وجه التحديد، تساعدنا المعادلة التي تنص على أن 𝜔 𝑓، وهي السرعة الزاوية النهائية، تساوي 𝜔 صفر، وهي السرعة الزاوية الابتدائية، زائد 𝛼، وهي العجلة الزاوية، مضروبة في الزمن.
وفي هذا المقدار، تكتب السرعة الزاوية بوحدة الراديان لكل ثانية. وعند تطبيق هذه العلاقة على السيناريو الذي معنا، نجد أنه نظرًا لتوقف القرص الدوار في النهاية، فإن 𝜔 𝑓 تساوي صفرًا. والآن نريد التعويض لإيجاد قيمة 𝜔 صفر، وهي السرعة الزاوية الابتدائية للقرص الدوار، بوحدة الراديان لكل ثانية. وللقيام بذلك، دعنا نبدأ بكتابة Ω. وإذا ضربنا Ω في معامل التحويل اثنين 𝜋 راديان لكل دورة، فإننا نكون قد غيرنا بالفعل وحدة هذا المقدار إلى الراديان لكل دقيقة. ولتحويلها إلى راديان لكل ثانية، يمكن أن نضرب في معامل التحويل دقيقة واحدة لكل 60 ثانية، ونحذف بذلك وحدات الدقيقة معًا. والآن لدينا مقدار لحساب 𝜔 صفر. وهو 33 وثلث في اثنين 𝜋 على 60 راديان لكل ثانية.
وبمعلومية هذه القيمة، يمكننا إعادة ترتيب معادلة الحركة لإيجاد العجلة الزاوية 𝛼. 𝛼 تساوي سالب 𝜔 صفر على 𝑡. وبالتعويض بهذه القيم، نجد أن 𝛼 تساوي سالب 33.33 دوري في 𝜋 على 30 في واحد على 60 بوحدة الراديان لكل ثانية تربيع. ويساوي هذا سالب 0.058 راديان لكل ثانية تربيع. وهذه هي العجلة الزاوية للقرص عندما يتباطأ.
بعد ذلك، نريد إيجاد عدد الدورات الكاملة التي يقوم بها القرص الدوار أثناء تباطئه وصولًا إلى التوقف. لنر ما لدينا من معطيات، لدينا السرعة الزاوية الابتدائية للجرامافون. ونعلم عجلته الزاوية. ونعلم أن سرعته الزاوية النهائية تساوي صفرًا. ونحتاج بالأساس إلى حساب المسافة الزاوية المقطوعة. يمكن أن نبدأ في إيجاد 𝑁 من خلال استخدام معادلة الحركة التي تمكننا من إيجاد الإزاحة الزاوية 𝜃. الإزاحة الزاوية الكلية للجرامافون عندما يتوقف تساوي 𝜃. وإذا قسمنا 𝜃 على اثنين 𝜋 راديان، فإن ذلك يساوي إجمالي عدد الدورات الكاملة 𝑁.
وبما أننا أوجدنا قيمة 𝜔 صفر وكذلك 𝛼، ولدينا قيمة 𝑡 في رأس المسألة، يمكننا التعويض لإيجاد قيمة 𝑁. عندما نعوض بقيم 𝜔 صفر و𝛼 و𝑡 بوحدة الثانية في هذه المعادلة، سنلاحظ أننا عندما نتحرك من اليسار إلى اليمين نحذف وحدات الثانية معًا في الحد الأول. ونحذف وحدات الثانية تربيع معًا في الحد الثاني. ولأننا نقسم ذلك كله على اثنين 𝜋 راديان، فإننا نحذف كذلك وحدات الراديان، ويتبقى لنا ناتج بلا وحدة. عندما ندخل هذا المقدار في الآلة الحاسبة، فإننا نحصل على ناتج يساوي 16.7 تقريبًا. ولكن، نظرًا لأن 𝑁 هو عدد الدورات الكاملة التي يقوم بها الجرامافون قبل أن يتوقف، فإن هذا يعني أن 𝑁 تساوي 16. وبذلك، نكون قد استخدمنا معادلات الحركة لإيجاد عدد الدورات الكاملة التي يقوم بها الجرامافون قبل أن يتوقف.
دعنا نلخص ما تعلمناه عن متغيرات الحركة الدورانية. عرفنا أن ثمة متغير حركة دورانية يناظر كل متغير حركة خطية. فبالنسبة إلى الإزاحة الخطية 𝑠، توجد الإزاحة الزاوية 𝜃. وبالنسبة إلى السرعة الخطية 𝑣؛ توجد السرعة الزاوية 𝜔. وبالنسبة إلى العجلة الخطية 𝑎، توجد العجلة الزاوية 𝛼. كما رأينا أن العلاقات الرياضية بين متغيرات الحركة الخطية تتطابق مع المعادلات بين متغيرات الحركة الدورانية. على سبيل المثال، تمامًا كما أن السرعة الخطية تساوي التغير في الإزاحة على التغير في الزمن، فإن السرعة الزاوية تساوي التغير في المسافة الزاوية Δ𝜃 على Δ𝑡. وأخيرًا، رأينا أن معادلات الحركة تنطبق على كل من متغيرات الحركة الخطية والحركة الدورانية، طالما أن العجلة ثابتة سواء كانت خطية أو دورانية.
مصر
المملكة العربية السعودية
الولايات المتحدة
