فيديو: إيجاد معادلة القطع المكافئ من بؤرته ودليله

أوجد معادلة قطع مكافئ بؤرته ‪(−1, −3)‬‏ ودليله 𝑦 = −5. اكتب إجابتك في الصورة: 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐.

٠٥:٢٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة قطع مكافئ بؤرته سالب واحد وسالب ثلاثة ودليله 𝑦 يساوي سالب خمسة. اكتب إجابتك في الصورة: 𝑦 يساوي 𝑎𝑥 تربيع زائد 𝑏𝑥 زائد 𝑐.

لحل هذه المسألة، علينا أولًا أن نعرف ما البؤرة وما الدليل. البؤرة والدليل هما نقطة وخط، تبعد عنهما كل نقطة على القطع المكافئ بمسافة متساوية. للتوضيح، رسمت بعض الخطوط على الرسم. نرى نقطة، والمسافة بين الدليل وهذه النقطة على القطع المكافئ هي 𝑥، وبالتالي فالمسافة بين القطع المكافئ والبؤرة هي أيضًا 𝑥.

ولدينا نقطة أخرى. أسميت المسافة بين البؤرة والقطع المكافئ 𝑦. وبالتالي، فالمسافة بين القطع المكافئ والدليل ستساوي 𝑦. وهذه هي العلاقة التي يمكننا الاستعانة بها في حل المسألة. ما سأفعله أولًا هو اختيار نقطة على القطع المكافئ. وسأسميها 𝑥 و𝑦.

بداية، أريد إيجاد المسافة بين النقطة 𝑥 و𝑦، والبؤرة سالب واحد وسالب ثلاثة. لفعل ذلك، سأستخدم صيغة المسافة. تخبرنا صيغة المسافة أن المسافة بين نقطتين تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑥 اثنين ناقص 𝑥 واحد الكل تربيع زائد 𝑦 اثنين ناقص 𝑦 واحد الكل تربيع. ننظر إذن إلى النقطتين لدينا. لدينا النقطة 𝑥 و𝑦، والنقطة سالب واحد وسالب ثلاثة.

ثم رمزت لكل منهما برموز. فسميتهما 𝑥 اثنين و𝑦 اثنين، و𝑥 واحد و𝑦 واحد. وقد سميتهما بهذه الطريقة لأنها ستسهل علينا التبسيط لاحقًا. وبالتالي، يمكننا القول: إن المسافة تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑥 زائد واحد الكل تربيع. وذلك لأن 𝑥 اثنين هو 𝑥، و𝑥 واحد هو سالب واحد. وإذا طرحت قيمة سالبة، تتحول إلى موجب. ثم زائد، 𝑦 زائد ثلاثة الكل تربيع.

حسنًا، رائع، حصلنا بذلك على المسافة بين البؤرة والنقطة 𝑥 و𝑦. والآن، ننتقل إلى المسافة بين النقطة والدليل، وهو 𝑦 يساوي سالب خمسة. وإذ إن لدينا دائمًا خطًا رأسيًا ممتدًا من الدليل إلى النقطة على القطع المكافئ، فلا داعي للتفكير إذن في إحداثيات 𝑥، حيث 𝑥 لا يتغير. بالتالي ستساوي المسافة الجذر التربيعي لـ 𝑦 زائد خمسة الكل تربيع. ونقول: 𝑦 زائد خمسة، حيث كانت 𝑦 ناقص سالب خمسة. فتصبح 𝑦 زائد خمسة.

حسنًا، عظيم، توصلنا الآن إلى المسافة بين الدليل والنقطة 𝑥 و𝑦 وبين البؤرة والنقطة 𝑥 و𝑦. يمكننا الآن إذن الرجوع إلى العلاقة بين البؤرة والدليل؛ لأن المسافة من أي نقطة على القطع المكافئ إلى البؤرة تساوي المسافة من نفس هذه النقطة إلى الدليل. وبالتالي نعرف أن المسافتين ستكونان متساويتين. هكذا، يمكننا مساواتهما.

لدينا إذن جذر 𝑥 زائد واحد الكل تربيع زائد 𝑦 زائد ثلاثة الكل تربيع يساوي جذر 𝑦 زائد خمسة الكل تربيع. وبالتالي، إذا قمنا بتربيع طرفي المعادلة، فسنحصل على 𝑥 زائد واحد الكل تربيع زائد 𝑦 زائد ثلاثة الكل تربيع يساوي 𝑦 زائد خمسة الكل تربيع. بعد ذلك، نفك الأقواس. فنحصل على 𝑥 تربيع زائد اثنين 𝑥 زائد واحد زائد 𝑦 تربيع زائد ستة 𝑦 زائد تسعة يساوي 𝑦 تربيع زائد 10𝑦 زائد 25. ثم يمكننا طرح 𝑦 تربيع من كلا الطرفين، فنحصل على 𝑥 تربيع زائد اثنين 𝑥 زائد ستة 𝑦 زائد 10 يساوي 10𝑦 زائد 25. ثم نطرح ستة 𝑦 من كلا الطرفين لنحصل على 𝑥 تربيع زائد اثنين 𝑥 زائد 10 يساوي أربعة 𝑦 زائد 25.

وبالعودة إلى السؤال نجده يطلب منا كتابة الإجابة على هيئة: 𝑦 يساوي 𝑎𝑥 تربيع زائد 𝑏𝑥 زائد 𝑐. إذن، سنطرح 25 من كلا طرفي المعادلة لنترك الحد 𝑦 وحده، فنحصل على 𝑥 تربيع زائد اثنين 𝑥 ناقص 15 يساوي أربعة 𝑦.

حسنًا، رائع، لكن هل انتهينا؟ لا، فإن عدنا مرة أخرى إلى السؤال لمعرفة الصيغة المطلوب منا كتابة الإجابة بها، فنجد أن علينا كتابة الإجابة بدلالة 𝑦؛ أي، 𝑦 فقط. يتبقى إذن خطوة واحدة علينا القيام بها للوصول إلى ذلك. الخطوة الأخيرة هي القسمة على أربعة. وبذلك يتبقى لدينا 𝑦 يساوي ربع 𝑥 تربيع زائد نصف 𝑥 ناقص 15 على أربعة. وهذا حل المسألة، حيث كان علينا إيجاد معادلة قطع مكافئ بؤرته سالب واحد وسالب ثلاثة، ودليله 𝑦 يساوي سالب خمسة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.