فيديو الدرس: عزم قوة حول نقطة في بعدين: كمية قياسية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مجموع العزوم لمجموعة من القوى تؤثر على جسم حول نقطة في بعدين.

١٧:٥٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مجموع العزوم لمجموعة من القوى تؤثر على جسم حول نقطة في بعدين.

إننا نعرف أن القوة المحصلة غير الصفرية المؤثرة على جسم جاسئ تحدث تسارعًا خطيًّا للجسم في اتجاه القوة المحصلة المؤثرة عليه. يؤدي هذا إلى انتقال مركز كتلة الجسم في هذا الاتجاه. ومع ذلك، قد ينتج عن هذه القوة المؤثرة على الجسم عجلة زاوية للجسم حول نقطة، وهذا يؤدي إلى حدوث دوران للجسم. مقدار هذه العجلة الزاوية للجسم نتيجة لتأثير القوة متناسب مع عزم القوة حول النقطة.

سنبدأ بتناول هذا عمليًّا. في الشكل المرسوم، لدينا قضيب رفيع مثبت رأسيًّا عند النقطة ﻡ. ويؤثر متجه القوة ﻕ على القضيب أفقيًّا. وبما أن العزم هو التأثير الدوراني الناتج عن القوة حول نقطة، فإن عزم القوة هنا يعمل على دوران القضيب حول ﻡ. يمكننا أن نتابع هنا ونقول إن القضيب يدور في اتجاه دوران عقارب الساعة نتيجة لعزم المتجه ﻕ حول ﻡ.

سنرى لاحقًا في هذا الفيديو أن العزم يمكن أن يؤثر في اتجاه دوران عقارب الساعة، وأيضًا في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة. دعونا الآن نوضح ما يحدث إذا تغير خط عمل القوة ﻕ بحيث يمر الخط بالنقطة ﻡ كما هو موضح في الشكل. هذه المرة، لا يدور القضيب حول ﻡ نتيجة لعزم ﻕ. ويمكننا أن نستنتج أنه لكي يكون لـ ﻕ عزم غير صفري حول ﻡ، لا بد من وجود مسافة غير صفرية بين ﻡ وخط عمل ﻕ.

عندما يتعامد خط عمل القوة ﻕ والخط الواصل بين النقطة ﻡ والنقطة التي تؤثر عندها القوة ﻕ، فإن مقدار عزم القوة حول النقطة ﻡ هو حاصل ضرب مقدار القوة ﻕ في المسافة ﻑ بين النقطة وخط عمل القوة. يمكن كتابة هذا على الصورة ﺝ يساوي ﻕ مضروبًا في ﻑ. إذا كانت القوة مقيسة بالنيوتن والمسافة مقيسة بالمتر، فإن وحدة قياس عزم القوة هي نيوتن في متر. سنتناول الآن مثالًا علينا فيه إيجاد عزم قوة حول نقطة.

إذا كانت هناك قوة مقدارها ٤٩٨ نيوتن تبعد ثمانية سنتيمترات عن النقطة أ، فأوجد معيار عزم القوة حول النقطة أ، بوحدة النيوتن في متر.

في هذا السؤال، عرفنا من المعطيات أن هناك قوة مقدارها ٤٩٨ نيوتن تؤثر على نقطة تبعد ثمانية سنتيمترات عن النقطة أ. ومع أن السؤال لا يحدد إذا ما كانت مسافة الثمانية سنتيمترات وخط عمل القوة متعامدين، فبإمكاننا افتراض هذا ما لم يذكر خلاف ذلك. ومن ثم، يمكننا إضافة خط عمل القوة التي لدينا إلى الشكل. حسنًا، مطلوب منا إيجاد معيار عزم القوة؛ أي مقداره. وهذا يعني أنه لا يهم إن كانت القوة تؤثر في اتجاه دوران عقارب الساعة أم في عكس اتجاه دورانها.

إننا نعرف أنه يمكن حساب العزم باستخدام الصيغة ﺝ يساوي ﻕ مضروبًا في ﻑ؛ حيث ﻕ هو مقدار القوة بالنيوتن وﻑ هو المسافة العمودية من خط عمل القوة إلى النقطة التي نحسب عندها العزوم. لكي يكون العزم بوحدة النيوتن في متر، يجب أن تكون هذه المسافة بالمتر. وبما أنه يوجد ١٠٠ سنتيمتر في المتر الواحد، فإن المسافة العمودية تساوي ٠٫٠٨ من المتر. وعليه، يمكننا حساب العزم بضرب ٤٩٨ في ٠٫٠٨. وهذا يساوي ٣٩٫٨٤. إذن، يمكننا استنتاج أن معيار عزم القوة يساوي ٣٩٫٨٤ نيوتن في متر.

لقد ذكرنا سابقًا أن عزم القوة يمكن أن يحدث دورانًا لجسم إما في اتجاه دوران عقارب الساعة وإما في عكس اتجاه دورانها. سنتناول هذا باختصار قبل أن ننتقل إلى مثالنا التالي.

لدينا مجددًا قضيب رفيع مثبت رأسيًّا عند النقطة ﻡ. هذه المرة توجد قوتان تؤثران عليه؛ وهما ﻕ واحد وﻕ اثنان. تحدث القوة ﻕ واحد عزمًا، ﺝ واحد، في اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة ﻡ. وإذا اعتبرنا أن البعد العمودي بين خط عمل هذه القوة والنقطة ﻡ هو ﻑ واحد، فإن ﺝ واحد يساوي ﻕ واحد مضروبًا في ﻑ واحد. من ناحية أخرى، تحدث القوة ﻕ اثنان عزمًا، ﺝ اثنين، في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة ﻡ؛ حيث ﺝ اثنان يساوي ﻕ اثنين مضروبًا في ﻑ اثنين.

مجموع العزمين ﺝ واحد وﺝ اثنين هو ‏𝛴‏ﻡ؛ حيث ‏𝛴‏ﻡ يساوي ﺝ اثنين ناقص ﺝ واحد. يمكن أيضًا كتابة هذا على صورة ﺝ المحصلة. إننا نطرح ﺝ واحد من ﺝ اثنين؛ وذلك لأن العزوم في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة عادة ما تكون موجبة. سنتناول الآن مثالًا علينا فيه حساب محصلة العزوم الناتجة عن قوى متعددة.

‏أﺏ قضيب طوله ١١٤ سنتيمترًا ووزنه مهمل. تؤثر قوى مقاديرها ٨٣ نيوتن و٢٢٥ نيوتن و١٦٣ نيوتن و١٣٦ نيوتن على القضيب كما هو موضح بالشكل التالي. النقطتان ﺟ ود هما نقطتا تثليث أﺏ، والنقطة و هي نقطة منتصف القضيب. أوجد المجموع الجبري لعزوم هذه القوى حول النقطة و.

حسنًا، مطلوب منا هنا إيجاد مجموع عزوم أربع قوى حول النقطة و. ولكي نفعل هذا، سنحتاج أولًا إلى حساب المسافة بين كل النقاط على القضيب. عرفنا من المعطيات أن أﺏ طوله ١١٤ سنتيمترًا. ‏ﺟ ود هما نقطتا تثليث أﺏ. وهذا يعني أن ﺏد يساوي دﺟ، الذي يساوي ﺟأ. طول كل قطعة مستقيمة من هذه القطع المستقيمة الثلاث يساوي ١١٤ سنتيمترًا مقسومًا على ثلاثة. هذا يساوي ٣٨ سنتيمترًا. طول كل من ﺏد ودﺟ وﺟأ يساوي ٣٨ سنتيمترًا.

عرفنا أيضًا من المعطيات أن و هي نقطة منتصف القضيب، وهذا يعني أن ﺏو يساوي وأ. كل من هذين الطولين يساوي ١١٤ مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي ٥٧. إذن، طول كل من ﺏو ووأ يساوي ٥٧ سنتيمترًا. وبما أن خطوط عمل القوى الأربع كلها تؤثر عموديًّا على القضيب، يمكننا حساب عزم كل قوة باستخدام المعادلة ﺝ يساوي ﻕ مضروبًا في ﻑ؛ حيث ﻕ هو مقدار القوة مقيسة بالنيوتن وﻑ هو البعد العمودي عن النقطة التي نحسب عندها العزوم، وهو مقيس في هذا السؤال بالسنتيمتر. هذا يعني أن وحدة قياس كل عزم من العزوم ستكون نيوتن في سنتيمتر.

حسنًا، يمكننا حساب العزوم حول أي نقطة على القضيب. لكن في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد عزم القوى حول النقطة و. يمكننا إيجاد مجموع العزوم بإيجاد عزم كل قوة عند النقاط أ وﺏ وﺟ ود أولًا. ونحن نعرف أن العزوم التي تؤثر في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة تكون موجبة. يتضح من الشكل لدينا أن هذا ينطبق على القوتين اللتين مقداراهما ٨٣ و١٦٣ نيوتن عند النقطتين أ ود على الترتيب. وبما أن هاتين القوتين تحدثان عزمين في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول و، فسيكون عزم كل منهما موجبًا. وتحدث القوتان المؤثرتان عند النقطتين ﺏ وﺟ عزمين في اتجاه دوران عقارب الساعة حول و. هذا يعني أن عزمي القوتين اللتين مقداراهما ١٣٦ و٢٢٥ نيوتن سيكونان سالبين.

دعونا نبدأ بحساب عزم القوة أ. هذا يساوي ٨٣ نيوتن مضروبًا في البعد العمودي الذي مقداره ٥٧ سنتيمترًا، وهو ما يساوي ٤٧٣١ نيوتن في سنتيمتر. وكما ذكرنا سابقًا، سيكون عزم القوة المؤثرة عند ﺏ سالبًا. إذن، هذا يساوي سالب ١٣٦ مضروبًا في ٥٧، وهو ما يساوي سالب ٧٧٥٢ نيوتن في سنتيمتر. عزم القوة المؤثرة عند النقطة ﺟ سيكون سالبًا أيضًا. وهو يساوي سالب ٢٢٥ مضروبًا في ١٩؛ إذ إن المسافة وﺟ تساوي ١٩ سنتيمترًا. العزم هنا يساوي سالب ٤٢٧٥ نيوتن في سنتيمتر.

وأخيرًا، لدينا عزم القوة المؤثرة عند د والذي يساوي ١٦٣ مضروبًا في ١٩. هذا يساوي ٣٠٩٧ نيوتن في سنتيمتر. ومن ثم، فإن مجموع العزوم يساوي ٤٧٣١ ناقص ٧٧٥٢ ناقص ٤٢٧٥ زائد ٣٠٩٧. وهذا يساوي سالب ٤١٩٩. إذن، المجموع الجبري لعزوم القوى الأربع حول النقطة و يساوي سالب ٤١٩٩ نيوتن في سنتيمتر.

في المثالين اللذين تناولناهما حتى الآن، كان لا بد لخطوط عمل القوى أن تكون عمودية على القضيب. دعونا الآن نتناول ما يحدث عندما لا يكون الأمر كذلك. لدينا مجددًا قضيب رفيع مثبت رأسيًّا عند النقطة ﻡ. ولكن هذه المرة، خط عمل القوة ﻕ يصنع زاوية قياسها 𝜃 درجة مع المحور الرأسي. إننا نعرف أنه إذا كان قياس 𝜃 يساوي صفرًا، فلا بد أن يمر خط عمل القوة ﻕ بالنقطة ﻡ. وهذا سيحدث عزمًا يساوي صفرًا حول ﻡ.

إذا كان قياس 𝜃 يساوي ٩٠ درجة، وهو ما يعني أن خط عمل القوة عمودي على القضيب، فسنجد أنه ينتج عن ﻕ عزم ذو قيمة عظمى حول ﻡ. وعليه، فإن هذا يعني أن حساب عزم القوة لا بد أن يتضمن الزاوية التي تؤثر عندها القوة. باستخدام ما نعرفه عن حساب المثلثات للمثلثات القائمة الزاوية، نجد أن مركبة القوة المؤثرة عموديًّا على القضيب تساوي ﻕ مضروبًا في جا 𝜃. وعليه، يمكننا حساب عزم قوة حول نقطة باستخدام الصيغة ﺝ يساوي ﻕ مضروبًا في ﻑ مضروبًا في جا 𝜃؛ حيث ﻕ هو مقدار القوة و𝜃 هي الزاوية بين خط عمل القوة والخط الواصل بين النقطة ﻡ والنقطة التي تؤثر عندها القوة.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه في المثالين السابقين، كان قياس 𝜃 يساوي ٩٠ درجة. ونحن نعرف أن جا ٩٠ درجة يساوي واحدًا. يتيح لنا هذا أن نستخدم الصيغة ﺝ يساوي ﻕﻑ. يمكننا استخدام هذه الصورة المبسطة من الصيغة عندما يكون خط عمل القوة التي لدينا عموديًّا على القضيب. سنتناول الآن مثالًا أخيرًا علينا فيه أن نأخذ في الاعتبار قياسات الزوايا التي تؤثر عندها القوى.

ثلاث قوى، مقيسة بالنيوتن، تؤثر على أضلاع المثلث المتساوي الأضلاع أﺏﺟ كما في الشكل. إذا كان طول ضلع المثلث سبعة سنتيمترات، فأوجد المجموع الجبري لعزوم القوى حول نقطة منتصف أﺏ، وذلك لأقرب منزلتين عشريتين.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد مجموع عزوم القوى الثلاث التي مقاديرها ٣٠٠ و١٠٠ و١٥٠ نيوتن. وعلى الرغم من أنه يمكننا حساب العزوم حول أي نقطة، لكن مطلوب منا في هذا السؤال حسابها حول نقطة منتصف أﺏ، المشار إليها في الشكل بـ ﻡ. بما أن ﻡ هي نقطة منتصف أﺏ، فإننا نعرف أن طول أﻡ يساوي طول ﻡﺏ. وبما أن طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع يساوي سبعة سنتيمترات، فإن كلًّا من أﻡ وﻡﺏ يساوي ٣٫٥ سنتيمترات. إن خط عمل القوة التي مقدارها ٣٠٠ نيوتن يكون في أﺏ. ولذلك، فإنه يمر بالنقطة ﻡ. وهذا يعني أنه يحدث عزمًا يساوي صفرًا حول ﻡ، ومن ثم يمكن تجاهله.

حسنًا، لدينا قوتان أخريان مقداراهما ١٠٠ و١٥٠ نيوتن ونريد أن نأخذهما في الاعتبار. تؤثر القوة التي مقدارها ١٠٠ نيوتن عند النقطة ﺏ وتؤثر القوة التي مقدارها ١٥٠ نيوتن عند النقطة ﺟ. بتذكر أنه يمكننا حساب عزم القوة باستخدام الصيغة ﻕ مضروبًا في ﻑ مضروبًا في جا 𝜃، حيث ﻑ هو البعد بين النقطة التي تؤثر عندها القوة والنقطة التي نحسب عندها العزوم، فسيكون علينا أن نحسب طول ﻡﺟ. يمكننا أن نفعل هذا باستخدام ما نعرفه عن حساب المثلثات للمثلثات القائمة الزاوية، وكذلك حقيقة أن قياس كل زاوية في المثلث المتساوي الأضلاع يساوي ٦٠ درجة.

توضح نسبة الظل أن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. هذا يعني أنه في المثلث ﻡﺏﺟ، نجد أن طول ﻡﺟ على ٣٫٥ يساوي ظا ٦٠ درجة. الزاوية ٦٠ درجة هي إحدى الزوايا الخاصة. وظا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة. وبضرب الطرفين لدينا في ٣٫٥، نجد أن طول القطعة المستقيمة ﻡﺟ يساوي ٣٫٥ جذر ثلاثة سنتيمتر. يمكننا الآن أن نرسم شكلًا توضيحيًّا يبين مقادير القوى المؤثرة، والزوايا التي تؤثر عندها، والمسافات التي تبعدها عن ﻡ. حسنًا، من المتعارف عليه أن العزوم التي تؤثر في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة تكون موجبة. في هذا السؤال، تؤثر كل من القوة التي مقدارها ١٥٠ نيوتن والقوة التي مقدارها ١٠٠ نيوتن في اتجاه دوران عقارب الساعة. هذا يعني أن عزمي كلتا القوتين سيكونان سالبين.

وعليه، فإن عزم القوة التي مقدارها ١٥٠ نيوتن سيساوي سالب ١٥٠ نيوتن مضروبًا في ٣٫٥ جذر ثلاثة مضروبًا في جا ٣٠ درجة. إننا نعرف أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا. ومن ثم، فإن عزم هذه القوة يساوي سالب ٥٢٥ جذر ثلاثة على اثنين نيوتن في سنتيمتر. بتكرار هذا مع القوة التي مقدارها ١٠٠ نيوتن، نجد أن لدينا عزمًا يساوي سالب ١٠٠ مضروبًا في ٣٫٥ مضروبًا في جا ٦٠ درجة. وبما أن جا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، فإن هذا يساوي سالب ١٧٥ جذر ثلاثة نيوتن في سنتيمتر. وعليه، فإن مجموع العزوم حول ﻡ يساوي مجموع هذين العزمين. يمكن كتابة هذا على الصورة ‏𝛴‏ﺝ أو ﺝ المحصلة، ويساوي سالب ٧٥٧٫٧٧٢٢ وهكذا مع توالي الأرقام. بالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين كما هو مطلوب، نجد أن مجموع العزوم حول نقطة منتصف أﺏ يساوي سالب ٧٥٧٫٧٧ نيوتن في سنتيمتر.

سنختتم هذا الفيديو الآن بتلخيص النقاط الرئيسية. عزم القوة ﻕ حول النقطة ﻡ يساوي المسافة ﻑ من ﻡ إلى النقطة التي تؤثر عندها القوة مضروبة في مركبة القوة العمودية على الخط الواصل بين ﻡ والنقطة التي تؤثر عندها القوة. يمكن كتابة هذا على الصورة ﺝ يساوي ﻕ مضروبًا في ﻑ مضروبًا في جا 𝜃؛ حيث ﻕ هو مقدار القوة و𝜃 هي الزاوية بين خط عمل القوة والخط الواصل بين ﻡ والنقطة التي تؤثر عندها القوة. العزم المحصل الناتج عن مجموعة من العزوم حول نقطة هو مجموع العزوم في اتجاه دوران عقارب الساعة وفي عكس اتجاه دورانها حول تلك النقطة؛ حيث إن العزوم في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة تكون موجبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.