فيديو الدرس: استخدام خواص الإبدال والدمج الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنراجع قواعد الإبدال والدمج لعمليتي الجمع والضرب، ثم سنتناول كيفية استخدامها عند القيام بالحساب الذهني أو إيجاد قيم المقادير. أولًا خاصية الدمج، تعني أنه عند إجراء عملية حسابية بأكثر من طريقة، فإن النتيجة لا تعتمد على كيفية تجميع أزواج الحدود. فعلى سبيل المثال، إذا جمعنا واحدًا واثنين وثلاثة، فلن يهم أن نجمع واحدًا واثنين أولًا ثم نضيف ثلاثة، أو أن نجمع اثنين وثلاثة أولًا ثم نضيف واحدًا إلى الناتج. كلا الطريقتين تعطينا الإجابة ستة. وبالمثل مع عملية الضرب، فمثلًا أربعة في خمسة في ستة، لن يهم أن نضرب أربعة في خمسة أولًا ثم نضرب في ستة، أو أن نضرب أربعة في حاصل ضرب خمسة في ستة. في الحالتين ستظل النتيجة ١٢٠. لكن عمليتي الطرح والقسمة ليستا دامجتين. على سبيل المثال، عند حساب ١٠ ناقص خمسة ناقص اثنين، إذا دمجنا الحدين الأول والثاني معًا والحدين الثاني والثالث معًا، فسنحصل على إجابتين مختلفتين. وبالمثل مع عملية القسمة، عند قسمة ١٦ على أربعة على اثنين، إذا دمجنا الحدين الأول والثاني معًا، فسنحصل على إجابة معينة. أما إذا دمجنا الحدين الثاني والثالث معًا، فسنحصل على إجابة مختلفة تمامًا. إذن، فإن عمليتي الطرح والقسمة ليستا دامجتين. أما خاصية الإبدال فتعني إجراء عملية حسابية على حدين، والحصول على النتيجة نفسها بغض النظر عن ترتيبهما.

فبالنسبة لعملية الجمع على سبيل المثال، ثلاثة زائد خمسة يساوي ثمانية، وخمسة زائد ثلاثة يساوي ثمانية. لا يهم ترتيب جمعهما معًا. وبالمثل مع عملية الضرب، لا يهم ترتيب ضرب أربعة في ستة. فإذا ضربنا أربعة في ستة أو ستة في أربعة، فسنحصل على الإجابة نفسها وهي ٢٤. إذن، عمليتا الجمع والضرب كلتاهما إبدالية. ولكن عمليتي الطرح والقسمة ليستا إبداليتين. على سبيل المثال، سبعة ناقص أربعة لا يساوي أربعة ناقص سبعة؛ فالعدد ثلاثة لا يساوي سالب ثلاثة. وكذلك مع القسمة، لن نحصل على النتيجة نفسها عند قسمة ١٠ على خمسة، وقسمة خمسة على ١٠. فاثنان لا يساوي نصفًا. ها قد تذكرنا ماهية الدمج والإبدال. هيا بنا نتناول بعض الأسئلة معًا.

أكمل العدد الناقص: ٣٩٫٦ في ١٢٫٨ يساوي فراغ في ٣٩٫٦. حسنًا، لدينا ٣٩٫٦ مضروب في عدد ما في كلا طرفي المعادلة. في الطرف الأول، لدينا ٣٩٫٦ مضروب في ١٢٫٨. وفي الطرف الثاني، لدينا عدد ما مضروب في ٣٩٫٦. ولأن عملية الضرب عملية إبدالية، لذا فإن ﺃ في ﺏ يساوي ﺏ في ﺃ. وهذا يعني أن ٣٩٫٦ في ١٢٫٨ يجب أن يساوي ١٢٫٨ في ٣٩٫٦. وبذلك، تكون الإجابة هي ١٢٫٨.

أكمل العدد الناقص: أربعة ونصف زائد ثلاثة وتسعين يساوي ثلاثة وتسعين زائد فراغ. حسنًا، طرفا المعادلة هما عمليتا جمع، ولدينا ثلاثة وتسعان في كلا الطرفين. حيث لدينا أربعة ونصف زائد ثلاثة وتسعين. ولدينا ثلاثة وتسعان زائد عدد ما. ولأن عملية الجمع عملية إبدالية، فإن ﺃ زائد ﺏ يساوي ﺏ زائد ﺃ. وهذا يعني أن أربعة ونصف زائد ثلاثة وتسعين يجب أن يساوي ثلاثة وتسعين زائد أربعة ونصف.

املأ الفراغات: ستة في أربعة يساوي فراغ في ستة، وذلك يساوي فراغ في خمسة، بين قوسين، زائد أربعة. حسنًا، بالنظر أولًا إلى الجزء الأول من المعادلة؛ ستة في أربعة يساوي عددًا ما في ستة. نرى أن لدينا ستة في كلا الطرفين. ولأن عملية الضرب هي عملية إبدالية، لذا فإن ستة في أربعة يجب أن يساوي أربعة في ستة. ومن ثم، الفراغ الأول يساوي أربعة. الآن بالنظر إلى المقدارين الأول والأخير، نجد أنهما يجب أن يكونا متساويين. وعلى ذلك، ستة في أربعة يساوي حاصل ضرب ما بين القوسين زائد أربعة. إذن، يجب أن يكون هذا المقدار مكافئًا لستة في أربعة. حسنًا، لدينا هنا مجموعة واحدة من العدد أربعة، ولدينا خمس مجموعات من عدد ما هنا. إذا كان ذلك العدد أربعة، فسيكون لدينا خمس مجموعات من العدد أربعة زائد مجموعة واحدة منه، وهو ما يساوي ست مجموعات من العدد أربعة. ولحل هذا الجزء من السؤال، علينا أن نستخدم خاصية الإبدال للضرب، وكذلك حقيقة أن الضرب جمع مكرر. وبالتالي، يكون لدينا العدد أربعة مكررًا خمس مرات، ثم أضفنا أربعة مرة أخرى، ليكون لدينا أربعة مكررًا ست مرات.

املأ الفراغ: لدينا ١١٫٩ زائد ٢٫٧ بين قوسين، ونضيف إلى ذلك ٩٫٨. وفي الطرف الآخر من المعادلة، لدينا ١١٫٩ زائد، ثم بين قوسين لدينا ٢٫٧ زائد فراغ. ولأن عملية الجمع عملية دامجة، فإن ﺃ زائد ﺏ زائد ﺟ، يساوي ﺃ زائد ﺏ، زائد ﺟ، وذلك يساوي ﺃ، زائد ﺏ زائد ﺟ. والآن، ستتبع المقادير التي لدينا هذا النمط. لدينا ﺃ زائد ﺏ في الطرف الأول زائد ﺟ، ولدينا ﺃ، زائد ﺏ زائد ﺟ في الطرف الثاني. إذن، ﺟ يساوي ٩٫٨.

في هذا السؤال، مطلوب منا إكمال الجدول، ولدينا خاصيتان هما: الإبدال، والدمج، وعلينا تحديد إذا ما كانت هاتان الخاصيتان تنطبقان على عمليات الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة. إننا نعلم أن عملية الجمع إبدالية، وعملية الطرح ليست دامجة، وعملية الضرب دامجة، وعملية القسمة ليست إبدالية. حسنًا، نحن نعرف أن عملية الجمع إبدالية ودامجة، ومن ثم يمكننا وضع علامة صح هنا. عملية الطرح ليست إبدالية ولا دامجة، لذا نضع علامة خطأ هنا. وعملية الضرب إبدالية ودامجة، لذا نضع علامة صح هنا. وعملية القسمة ليست إبدالية ولا دامجة، لذا نضع علامة خطأ هنا.

والآن في هذا السؤال، علينا إيجاد قيمتي ﺱ وﺹ. لدينا هنا عبارتان مختلفتان. لدينا ﺱ في العبارة الأولى، وﺹ في العبارة الثانية. دعونا نتعامل أولًا مع العبارة الأولى. حسنًا، نحن نعرف أن الضرب عملية دامجة، ولدينا هذا النمط هنا. لدينا ﺃ في ﺏ بين قوسين في ﺟ، يساوي ﺃ، في ﺏ في ﺟ بين قوسين. بكتابة هذه الأحرف أسفل هذا النمط، سنجد أن ﺱ يكافئ ﺏ، و٧٫١ يكافئ ﺏ، وبالتالي فإن إجابتنا هي ٧٫١. في الجزء الثاني، لدينا فكرة مشابهة، لكن هذه المرة عملية الجمع هي الدامجة. وبما أن الجمع عملية دامجة، فسنطبق ذلك على هذين الجزأين، رغم أنهما معكوسان في هذا السؤال. إذن، ﺃ، زائد ﺏ زائد ﺟ، يساوي ﺃ زائد ﺏ، زائد ﺟ. إذن في هذا السيناريو، سنجد أن قيمة ﺟ تساوي ﺹ، ومن ثم فإن ﺹ يساوي سبعة على اثنين. وها قد وجدنا الإجابة، ﺹ يساوي سبعة على اثنين.

وتلخيصًا للفيديو، عمليتا الجمع والضرب دامجتان، لكن عمليتي الطرح والقسمة ليستا دامجتين. عمليتا الضرب والجمع إبداليتان، لكن عمليتي الطرح والقسمة ليستا إبداليتين. ويمكنك استخدام جميع هذه الخواص في الحساب الذهني أو لإيجاد قيم المقادير بسهولة أكبر.