فيديو السؤال: إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة خط مستقيم الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم المار بالنقطة سالب خمسة، واحد، أربعة، ونقطة تقاطع الخطين المستقيمين ﺱ زائد اثنين على سالب اثنين يساوي ﺹ زائد خمسة على سالب اثنين يساوي ﻉ زائد ثلاثة على واحد، وﺱ زائد واحد على سالب ثلاثة يساوي ﺹ ناقص واحد على اثنين يساوي ﻉ زائد ثلاثة على اثنين.

في هذا المثال، لدينا هذان الخطان المستقيمان، ونعلم من المعطيات أنهما يتقاطعان عند نقطة ما. ولدينا كذلك نقطة معطاة إحداثياتها، وهي سالب خمسة، واحد، أربعة. ونريد إيجاد معادلة الخط المستقيم المار بهاتين النقطتين. على وجه التحديد، نريد إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة هذا الخط المستقيم. نحن نعبر عن معادلة الخط المستقيم المكتوبة بهذه الطريقة على النحو الموضح. يتضمن التعبير متجهًا يبدأ من نقطة الأصل لإطار إحداثيات إلى نقطة معلومة على الخط المستقيم، ومتجهًا آخر موازيًا لمحور الخط المستقيم، وأخيرًا، ما يسمى بمعامل القياس. وقد أطلقنا عليه هنا ﻥ. يتراوح هذا المعامل بين جميع القيم الممكنة.

لكتابة الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم، علينا معرفة متجه مواز لهذا الخط المستقيم، وكذلك نقطة تقع عليه. ومعطى لنا في هذه المسألة نقطة تنتمي إلى الخط المستقيم الذي يعنينا. ولإيجاد المتجه الموازي للخط المستقيم، علينا معرفة نقطة تقاطع الخطين المستقيمين المعطيين. وإذا عرفنا هذه النقطة، فسنتمكن من استخدام ذلك بالإضافة إلى النقطة المعطاة لحساب المتجه الموازي للخط المستقيم. لإيجاد نقطة التقاطع، سنستخدم معادلتي الخطين المستقيمين المعطاتين. كلتا هاتين المعادلتين معطاتان على الصورة الكارتيزية. إذا افترضنا أن هذه المعادلة الأولى تمثل الخط المستقيم رقم واحد، وهذه المعادلة الثانية تمثل الخط المستقيم رقم اثنين، ثم بدأنا بمعادلة الخط المستقيم رقم واحد، فسيكون بإمكاننا كتابة هذه الكسور الثلاثة على أنها تساوي معامل قياس، وسنطلق عليه ﻥ واحد.

باستخدام هذا التعبير، يمكننا كتابة معادلة هذا الخط المستقيم على الصورة البارامترية. وتتمثل هذه الطريقة في كتابة معادلة لقيمة ﺱ، ومعادلة لقيمة ﺹ، ومعادلة أخرى لقيمة ﻉ للنقاط التي تقع على هذا المستقيم. ولإيجاد هذه المعادلات، سنستخدم التساوي في معادلة الخط المستقيم على الصورة الكارتيزية. على سبيل المثال، بما أن ﺱ زائد اثنين على سالب اثنين يساوي ﻥ واحد، فهذا يعني أن ﺱ يساوي سالب اثنين في ﻥ واحد ناقص اثنين. وبالمثل، ﺹ يساوي سالب اثنين في ﻥ واحد ناقص خمسة، بينما ﻉ يساوي ﻥ واحد ناقص ثلاثة. والآن بعد أن عرفنا الصورة البارامترية لمعادلة الخط المستقيم رقم واحد، دعونا نحول معادلة الخط المستقيم رقم اثنين إلى صورة مشابهة.

بالنسبة إلى هذه المعادلة، يمكننا كتابة الكسور الثلاثة على أنها تساوي معامل قياس مختلفًا، سنطلق عليه ﻥ اثنين. مرة أخرى، يمكننا كتابة معادلات منفصلة لـ ﺱ وﺹ وﻉ لهذا الخط المستقيم. ‏ﺱ يساوي سالب ثلاثة في ﻥ اثنين ناقص واحد. ‏ﺹ يساوي اثنين في ﻥ اثنين زائد واحد، بينما ﻉ يساوي اثنين في ﻥ اثنين ناقص ثلاثة. وهذه هي الصورة البارامترية لمعادلة الخط المستقيم رقم اثنين.

والآن سنرجع إلى الرسم، نحن نعلم أنه عند نقطة التقاطع المحددة هذه فقط بين ما سميناهما الخط المستقيم رقم واحد والخط المستقيم رقم اثنين، يمكننا قول إن قيم ﺱ وﺹ وﻉ للخطين المستقيمين متساوية. وهذا يعني أنه عند نقطة التقاطع، تتحقق هذه المعادلات الثلاثة. الخطوة التالية هي استخدام هذه العلاقات للحل لإيجاد قيمتي ﻥ واحد وﻥ اثنين. وبما أن ذلك يتضمن قيمتين مجهولتين علينا الحل لإيجادهما، فسنستخدم معادلتين من هذه المعادلات الثلاثة.

سنفترض أننا اخترنا أول معادلتين؛ أي المعادلتين اللتين تمثلان قيمتي ﺱ وﺹ. عند حل أول معادلة من هاتين المعادلتين، إذا أعدنا ترتيبها لإيجاد قيمة ﻥ واحد، فسنجد أنه يساوي سالب ثلاثة ﻥ اثنين زائد واحد مقسومًا على سالب اثنين. ما سنفعله بعد ذلك هو أخذ قيمة ﻥ واحد هذه والتعويض بها عن ﻥ واحد في المعادلة التي لدينا لقيمة ﺹ في نقطة التقاطع. وهذا سيعطينا هذه العلاقة الموضحة هنا. لاحظ أنه في الطرف الأيمن، يحذف العاملان سالب اثنين من البسط والمقام. وبجمع موجب واحد وسالب خمسة في الطرف الأيمن، نحصل على سالب ثلاثة في ﻥ اثنين ناقص أربعة يساوي اثنين في ﻥ اثنين زائد واحد. إذا طرحنا اثنين في ﻥ اثنين من كلا الطرفين، ثم أضفنا أربعة إلى كلا الطرفين، فسنحصل على سالب خمسة ﻥ اثنين يساوي خمسة، وهذا يعني أن ﻥ اثنين يساوي سالب واحد.

ما سنفعله بعد ذلك هو التعويض بهذه القيمة عن ﻥ اثنين في المعادلة التي لدينا لـ ﻥ واحد. وبذلك، نجد أن ﻥ واحد يساوي سالب ثلاثة في سالب واحد زائد واحد الكل مقسومًا على سالب اثنين. ويمكن تبسيط ذلك إلى سالب اثنين. والآن، بعد أن عرفنا قيمتي معاملي القياس ﻥ واحد وﻥ اثنين، عند نقطة التقاطع هذه، يمكننا اختيار التعويض بأي من القيمتين، لنقل قيمة ﻥ واحد مثلًا، في معادلات ﺱ وﺹ وﻉ هذه. أو، بالمثل، يمكننا التعويض بقيمة ﻥ اثنين في هذه القيم هنا. وأيًّا كانت الطريقة التي نختارها، سيكون ناتج عمليات التعويض هذه هي الإحداثيات ﺱ وﺹ وﻉ لنقطة التقاطع.

لنفترض أننا اخترنا التعويض بـ ﻥ اثنين في القيم التي على اليسار. عند القيام بذلك، نجد أن قيمة ﺱ لنقطة التقاطع هذه تساوي سالب ثلاثة في سالب واحد ناقص واحد؛ ما يساوي اثنين. وقيمة ﺹ تساوي اثنين في سالب واحد زائد واحد؛ أي سالب واحد. وقيمة ﻉ تساوي اثنين في سالب واحد ناقص ثلاثة؛ ما يساوي سالب خمسة. وبهذا نكون قد عرفنا إحداثيات نقطة تقاطع الخطين المستقيمين. وكما ذكرنا من قبل، يمكننا استخدام هذه الإحداثيات بالإضافة إلى إحداثيات النقطة الأخرى المعلومة التي تنتمي إلى الخط المستقيم الذي يعنينا، لإيجاد مركبات المتجه الموازي للخط المستقيم، وسنسميه ﻡ. مركبات ﻡ تعطى من خلال هذا التعبير. ونجد أنها تساوي سبعة، وسالب اثنين، وسالب تسعة.

والآن بعد أن عرفنا مركبات المتجه الموازي للخط المستقيم الذي يعنينا، وعرفنا أيضًا إحداثيات النقطة التي يمر بها الخط المستقيم، يمكننا استخدام إحداثيات النقطة المعطاة؛ سالب خمسة، واحد، أربعة. ويمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم على الصورة المتجهة هكذا. ما لدينا هنا هو متجه يبدأ من نقطة الأصل لنظام إحداثي إلى النقطة المعلومة سالب خمسة، واحد، أربعة. ومن هذه النقطة، ننتقل إلى أعلى وأسفل الخط المستقيم في اتجاه المتجه ﻡ.

لاحظ أن هذه ليست الطريقة الوحيدة لكتابة الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم المحدد. على سبيل المثال، لإيجاد قيمة ﻡ، كان بإمكاننا طرح النقطتين لدينا إحداهما من الأخرى بترتيب عكسي. حتى وإن فعلنا ذلك، فكنا سنحصل أيضًا على معادلة لنفس الخط المستقيم. وعليه، فإن هذه الإجابة التي حددناها في الإطار الأخضر هنا هي إجابة صحيحة أيضًا.