تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: استخدام المشتقات لإيجاد القِيَم القصوى للدالة

سوزان فائق

يوضح الفيديو تعريف القيم القصوى للدوال، وعلاقتها بميل المماس للمنحنى،ونظرية القيمة القصوى للدالة، وخطوات إيجادها باستخدام المشتقات ،ومثالًا عليها.

٠٨:١٠

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم على استخدام المشتقات لإيجاد القيم القصوى للدالة. هنعرف يعني إيه القيم القصوى للدالة، وإزاي نعرف نحسبها باستخدام المشتقات.

القيم القصوى للدالة هي القيم العظمى أو الصغرى. وبتحدث عندما يكون ميل المماس لمنحنى الدالة صفر أو غير موجود. وميل المماس لمنحنى الدالة هو مشتقة الدالة؛ حيث أن مشتقة الدالة هي ميل المماس لمنحنى د س عند أي نقطة عليه. وبيرمز لها بالرمز د شرطة س؛ حيث أن د شرطة س هي نهاية د س زائد هـ، ناقص د س على الـ هـ، لما الـ هـ بتئول للصفر بشرط وجود هذه النهاية.

ولمّا بنقول عايزين الاشتقاق للدالة، بنقصد إيجاد مشتقة الدالة. طيب، هنا ميل المماس لمنحنى الدالة بيساوي صفر، أو غير موجود؛ علشان نعرف القيم القصوى للدالة. طيب، يبقى هنجيب مشتقة الدالة وبعد كده نساويها بالصفر. أو نشوف هتبقى على الرسم عاملة إزاي، بحيث إن إحنا بنعرف القيم القصوى.

النقط اللي بيبقى عندها ميل المماس يساوي صفر أو غير موجود، بنسميها نقط حرجة للدالة. القيمة التي تكون عندها مشتقة الدالة صفر أو غير موجودة، تسمى نقطة حرجة للدالة. والنقطة الحرجة قد تشير إلى وجود قيمة عظمى أو صغرى للدالة.

وفيه نظرية اسمها نظرية القيمة القصوى، نقلب الصفحة ونتكلم عنها.

نظرية القيمة القصوى: إذا كانت د س متصلة على الفترة المغلقة أ وَ ب، فإن لها قيمة عظمى وصغرى على الفترة أ وَ ب. وذلك إما عند أحد طرفَي الفترة، أو عند إحدى النقاط الحرجة.

وقلنا إحدى النقاط الحرجة دي، اللي هي بيبقى عندها مشتقة الدالة يا إما صفر أو غير موجودة.

طيب في الدالة اللي قدامنا اللي على اليمين دي ص تساوي د س عند نقطة الأصل صفر وصفر. الدالة لمّا بتقرّب من ناحية اليمين مختلفة عن الدالة لمّا بتقرّب ناحية اليسار. يعني نهاية الدالة د س لمّا الـ س بتئول للصفر في الفترة أ ب، غير موجودة. ومن الشكل ده إحنا شايفين إن القيمة دي قيمة صغرى.

في الدالة التانية، الفترة أ لـ ب. الدالة اللي قدامنا بتاخد قيمة عظمى هنا، وبتاخد قيمة صغرى هنا. اللي هو أعلى قيمة بتحققها الدالة، وأقل قيمة بتحققها الدالة في الفترة أ لـ ب.

وعلشان نعرف نحسب نقاط القيم العظمى والصغرى للدالة على فترة مغلقة، فلازم نحسب قيم الدالة عند أطراف الفترة، وكمان عند النقاط الحرجة في تلك الفترة.

نقلب الصفحة ونشوف خطوات الحل لإيجاد القيم العظمى والصغرى للدالة.

أول خطوة عندنا هنوجد مشتقة الدالة المعطاة، وبعد كده هنوجد النقاط الحرجة عن طريق حل المعادلة اللي هي مشتقة الدالة بتساوي صفر.

هنطلع النقط من هنا، وبيبقى عندنا كمان نقط طرفَي الدالة. ونختار النقاط الحرجة اللي داخل الفترة بس، وهنعوض بيهم في الدالة المعطاة. يبقى عندنا طرفَي الدالة، والنقط الحرجة اللي موجودة داخل الفترة هنعوّض بيهم في الدالة المعطاة. وبعد كده نحدد من القيم اللي هتظهر لنا مين القيم العظمى، ومين القيم الصغرى للدالة.

نقلب الصفحة وناخد مثال.

الدالة ل ن بتساوي سالب واحد من عشرة ن تكعيب، زائد واحد واتنين وعشرين من مية ن تربيع، زائد واحد ومية وستاشر من ألف. تمثل ارتفاع محمود بالأمتار في أثناء ركوبه الأرجوحة الكهربائية؛ حيث ن هو الزمن بالثواني في الفترة المغلقة واحد لاتناشر. اوجد أقصى وأدنى ارتفاع يبلغه محمود.

هنا في المسألة دي طالب مننا أقصى وأدنى، يعني طالب القيم القصوى للدالة، اللي هي القيمة العظمى والقيمة الصغرى.

هنستخدم الخطوات دي لإيجاد الحل، اللي هو أول حاجة هنوجد مشتقة الدالة المعطاة ل ن. يبقى ل شرطة ن هتساوي سالب واحد من عشرة، في اشتقاق ن تكعيب اللي هو تلاتة، في ن وهننقص الأس واحد اللي هو تلاتة ناقص واحد؛ زائد واحد واتنين وعشرين، هنضربها في الأس، وهننقص الأس واحد؛ زائد اشتقاق الواحد والمية وستاشر من ألف هو الصفر.

يبقى ل شرط ن هتساوي سالب تلاتة من عشرة ن تربيع، زائد اتنين وأربعة وأربعين من مية في ن.

تاني خطوة في الحل إن إحنا نوجد النقاط الحرجة، اللي هو هنساوي ل شرطة ن بالصفر. يبقى سالب تلاتة من عشرة ن تربيع، زائد اتنين وأربعة وأربعين من مية ن، تساوي صفر.

هنحلل المعادلة دي، يبقى سالب تلاتة من عشرة في ن، زائد اتنين وأربعة وأربعين من مية في ن، تساوي صفر. إما الـ ن هتساوي صفر، أو اللي جوه القوس هيساوي صفر.

يبقى سالب تلاتة من عشرة ن زائد اتنين وأربعة وأربعين من مية تساوي صفر، معناه إن الـ ن هتساوي تقريبًا، تساوي تمنية. وعندنا هنا الـ ن تساوي صفر مش جوه الفترة. يبقى الحل ده مرفوض.

يبقى النقط الحرجة اللي عندنا هي بس ن تساوي تمنية ده اللي داخل الفترة.

بعد كده بنعوّض بالقيم دي وبقيم طرفَي الدالة، اللي همّ واحد واتناشر في الدالة الرئيسية؛ علشان نوجد القيم العظمى والصغرى للدالة. نقلب الصفحة، ونشوف إزاي.

هنرسم الجدول اللي قدامنا ده. النقط الحرجة وطرفي الفترة. النقط الحرجة عندنا ن تساوي التمنية. وطرفي الفترة ن تساوي واحد أو اتناشر. وهنعوّض بيها في الدالة ل ن.

لمّا الـ ن تساوي تمنية، قيمة ل ن سبعة وعشرين وتسعمية ستة وتسعين من ألف. ولمّا الـ ن هتساوي واحد، ل ن هتساوي اتنين وميتين ستة وتلاتين من ألف. ولمّا الـ ن هتساوي اتناشر يبقى تلاتة وتسعمية ستة وتسعين من ألف.

من الجدول، أكبر قيمة عند الـ ن تساوي تمنية، وأصغر قيمة عند ن تساوي واحد. يبقى دي القيمة العظمى، وهنا دي القيمة الصغرى.

يبقى أقصى ارتفاع يبلغه محمود هو تمنية وعشرين متر تقريبًا بعد تمن ثواني. وأدنى ارتفاع هو اتنين متر ميتين وستة وتلاتين من ألف بعد واحد ثانية.

ممكن نتأكد من إن الحل بتاعنا سليم، بإن إحنا نمثّل الدالة بيانيًّا على الآلة الحاسبة. واضح قدامنا إن أقصى قيمة عند الـ ن بتساوي تمنية، وأقل قيمة عند الـ ن تساوي واحد، في الفترة من واحد إلى اتناشر.

يبقى في الفيديو ده عرفنا إزاي هنحسب القيمة العظمى والصغرى للدالة اللي همّ القيم القصوى للدالة باستخدام المشتقات.