تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حساب نهايات الدوال جبريًّا باستخدام طريقة التعويض المباشر

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو كيفية حساب نهايات الدوال جبريًّا باستخدام طريقة التعويض المباشر، ومفهوم الدوال الجيدة السلوك، والصيغة غير المحددة، وأمثلة توضيحية.

٠٩:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على حساب نهايات الدوال جبريًّا، باستخدام طريقة التعويض المباشر. هنشوف إزّاي هنحسب نهاية الدالة جبريًّا، باستخدام طريقة التعويض المباشر. فالأول هنعرف يعني إيه نهاية الدالة. هي قيمة الدالة عندما تقترب س من عدد أ. وحساب نهاية الدالة بيحدّد لنا سلوك الدالة، عندما تقترب س من أ. يعني مش قيمة الدالة عند أ.

لكن في الدوال المتصلة، مثل دوال كثيرات الحدود، ودالتَي الجيب وجيب التمام؛ تعتبر من الدوال جيدة السلوك. يعني يمكن حساب نهايتها، من خلال التعويض المباشر. وبيمكن إيجاد نهاية الدالة من خلال التعويض المباشر، حتى وإن لم تكن جيدة السلوك على مجالها. بشرط أن تكون متصلة عند النقطة التي تحسب عندها النهاية.

باختصار، يمكن حساب نهايات الدوال كثيرات الحدود، والدوال النسبية، من خلال التعويض المباشر. شرط ألّا يساوي مقام الدالة النسبية صفر، عند النقطة التي تحسب عندها النهاية. لكن … طب يعني إيه دوال كثيرة الحدود؟

تسمى الدالة د كثيرة حدود، إذا كانت على الصورة: د س تساوي ح صفر، زائد ح واحد في الـ س، زائد ح اتنين في س تربيع، زائد زائد زائد … لغاية ح ن في الـ س أُس ن؛ حيث ن تنتمي للأعداد الطبيعية. وَ ح ن لا يساوي صفر. وَ ح صفر وَ ح واحد وَ ح اتنين … لغاية ح ن تنتمي إلى الأعداد الحقيقية. دي صورة كثيرة الحدود. والدوال النسبية هي الدالة اللي بيبقى فيها بسط ومقام.

هنقلب الصفحة. ونشوف هنحسب إزّاي نهايات الدوال جبريًّا، للدوال كثيرة الحدود، والدوال النسبية، باستخدام طريقة التعويض المباشر.

نهاية الدوال كثيرات الحدود. إذا كانت د س كثيرة حدود، وَ أ تنتمي للأعداد الحقيقية، فإن نهاية د س، لمّا الـ س بتئول للـ أ، هتساوي د أ. يعني هنعوّض مباشرةً مكان كل س، هنحطّ قيمتها تساوي أ. نهايات الدوال النسبية. إذا كانت ن س تساوي د س على ر س، دالة نسبة. وكانت أ تنتمي للأعداد الحقيقية. حيث ر أ لا تساوي صفر. فإن نهاية ن س، لمّا الـ س بتئول للـ أ، هي نفسها قيمة الدالة ن أ. يعني لمّا هنعوّض مكان الـ س، بقيمة أ، اللي هي بتساوي د أ على ر أ.

يبقى الدوال كثيرات الحدود، والدوال النسبية، بنقدر نحسب قيمة نهايات الدوال ليها، عن طريق التعويض المباشر. بشرط ألّا يساوي مقام الدالة النسبة صفر، عند النقطة التي تحسب عندها النهاية. نقلب الصفحة وناخذ مثال. احسب كل نهاية مما يأتي، باستخدام التعويض المباشر، إذا كان ممكنًا. وإلّا، فاذكر السبب.

أول واحدة: نهاية سالب تلاتة س أُس أربعة، زائد خمسة س تكعيب، ناقص اتنين س تربيع، زائد س، زائد أربعة. لمّا الـ س بتئول للسالب واحد. أول واحدة لمّا الـ س بتئول للسالب واحد، طالما دي دالة كثيرة حدود، دالة متصلة، نقدر نستخدم طريقة التعويض المباشر. يبقى هتساوي … هنعوّض مكان كل س، بالقيمة سالب واحد.

يبقى سالب تلاتة في سالب واحد الكل أُس أربعة. زائد خمسة في سالب واحد الكل أُس تلاتة. ناقص اتنين في سالب واحد الكل أُس اتنين. زائد سالب واحد. زائد أربعة. هتساوي … هنا سالب واحد أُس أربعة، يبقى واحد. سالب واحد أُس تلاتة، هتبقى سالب واحد. سالب واحد تربيع، هتبقى واحد. والسالب واحد هتبقى زيّ ما هي سالب واحد.

يبقى الناتج عندنا سالب تلاتة، ناقص خمسة، ناقص اتنين، ناقص واحد، زائد أربعة. يبقى النتيجة هتساوي سالب سبعة. يبقى نهاية الدالة دي كثيرة الحدود، لمّا الـ س بتئول للسالب واحد، هو سالب سبعة.

نتأكد من الكلام ده بيانيًّا. الرسم اللي قدامنا ده، بيمثّل الدالة كثيرة الحدود … سالب تلاتة س أُس أربعة، زائد خمسة س تكعيب، ناقص اتنين س تربيع، زائد س، زائد أربعة. هنلاقي لمّا بنقترب من السالب واحد من اليمين ومن اليسار، هنلاقي إن الدالة هتقترب من السالب سبعة. يبقى النتيجة اللي إحنا جِبناها كانت نتيجة سليمة.

ناخذ المثال التاني. نهاية دالة اتنين س تكعيب ناقص ستة، على س ناقص س تربيع، لمّا الـ س بتئول لتلاتة. دي دالة نسبية. هنتأكد إن المقام لا يساوي الصفر، عند القيمة اللي هنجيب لها النهاية. المقام س ناقص س تربيع. لمّا هنعوّض بالتلاتة، هيبقى تلاتة ناقص تسعة. يعني هيساوي سالب ستة، لا يساوي صفر. يبقى نقدر نستخدم طريقة التعويض المباشر.

يعني نهاية الدالة، لمّا الـ س بتئول للتلاتة، هتساوي اتنين تلاتة تكعيب ناقص ستة، على تلاتة ناقص تلاتة تربيع. هتساوي تمنية وأربعين على سالب ستة. يعني هتساوي سالب تمنية. يبقى نهاية الدالة اتنين س تكعيب ناقص ستة، على س ناقص س تربيع، لمّا س بتئول للتلاتة؛ هتبقى سالب تمنية.

نقلب الصفحة ونحل المثالين الباقيين. نهاية س تربيع ناقص الواحد، على س ناقص الواحد، لمّا الـ س بتئول للواحد. هنشوف المقام. لمّا هنعوّض بالـ س تساوي واحد، هنلاقي الـ س ناقص الواحد هتساوي صفر. بما ان هذه نهاية دالة نسبية، مقامها صفر عند الـ س يساوي واحد. إذن لا يمكننا حسابها باستخدام التعويض المباشر.

نحل المثال رقم أربعة. نهاية جذر س زائد خمسة، لمّا الـ س بتئول لسالب ستة. نهاية جذر س زائد خمسة، لمّا الـ س بتئول للسالب ستة. لازم نتأكد الأول إن الـ س زائد الخمسة دي، نهايتها أكبر من الصفر؛ عشان نقدر نجيب نهاية للدالة اللي تحت الجذر. يعني هنحسب نهاية س زائد خمسة، لمّا الـ س بتئول للسالب ستة.

هتساوي سالب ستة زائد خمسة، هتساوي سالب واحد. دي أقل من الصفر. معنى كده إن إحنا ما نقدرش نستخدم التعويض المباشر للدالة جذر س زائد خمسة، لمّا الـ س بتئول للسالب ستة. إذن لا يمكننا حساب نهاية جذر س زائد خمسة، لمّا الـ س بتئول للسالب ستة، بالتعويض المباشر.

يبقى كده عرفنا إن إحنا إمتى هنعرف نستخدم التعويض المباشر. لمّا يكون المقام للدالة النسبية لا يساوي صفر. أو تكون الدالة تحت الجذر أكبر من الصفر. أو تكون الدالة متصلة، زيّ كثيرات الحدود، ودالة الجيب، ودالة جيب التمام.

طيب لو حصل وغلطنا، واستخدمنا في الدالة النسبية التعويض المباشر، وكان المقام يساوي صفر. يبقى عندنا ملحوظة إذا استخدمنا خاصية القسمة، اللي هي نهاية د س على ر س لمّا الـ س بتئول للـ أ. بيبقى عن طريق إن إحنا بنقسّم البسط. النهاية بنجيبها لوحدها، والمقام نهايته بنجيبه لوحده؛ دي خاصية القسمة. أو طريقة التعويض المباشر؛ اللي هي نهاية د س على ر س، لمّا الـ س بتئول للـ أ. بإن إحنا بنعوّض مكان الـ س، بقيمتها الـ أ.

لو عوّضنا أو استخدمنا خاصية القسمة بشكل خاطئ، وكان الناتج صفر على صفر … وده غير صحيح، لأن نهاية المقام بتساوي صفر. فإن ناتج التعويض يسمى الصيغة غير المحددة.

ولأنه لا يمكننا تحديد نهاية الدالة مع وجود صفر في المقام. ومثل هذه النهايات، قد تكون موجودة ولها قيمة حقيقية، أو غير موجودة. بيتمّ حسابها بطرق أخرى جبرية، غير التعويض المباشر، زيّ التحليل إلى عوامل، أو استخدام المرافق. وده بيوصّلنا إن إحنا بنجيب دالة تانية متساوية لجميع قيم س، إلا عند النقطة اللي بنجيب عندها النهاية. لأن النهاية الدالة هي قيمة الدالة لمّا نقترب من نقطة، ولكن ليس عندما نساوي النقطة.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده عن حساب نهايات الدوال جبريًّا، باستخدام طريقة التعويض المباشر. وعرفنا إن الدوال جيدة السلوك، بنقدر نستخدم فيها التعويض المباشر. وبعض الدوال اللي مش بتبقى جيدة السلوك، ممكن نقدر نستخدم فيها التعويض المباشر. شرط إنها تكون متصلة عند النقطة اللي هنجيب لها النهاية.