فيديو الدرس: طول القوس باستخدام التكامل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نستخدم التكامل لإيجاد طول منحنى ما. لعلك أصبحت الآن تعرف بعض التطبيقات الأساسية للتكامل، مثل إيجاد المساحات، والحجوم، والقيم المتوسطة. ولكن هل تعلم أنه يمكن استخدام التكامل أيضًا لإيجاد طول المنحنى؟ سنعمل في هذا الفيديو على استنتاج صيغة طول القوس باستخدام التكامل، ثم ننظر في بعض التطبيقات الأساسية لهذه الصيغة.

افترض أن المنحنى ﻡ معرف بالمعادلة ﺹ يساوي ﺩﺱ، حيث ﺩ دالة متصلة على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ.

يبدو الشكل هكذا تقريبًا. يمكننا تقدير طول ﻡ عن طريق تقسيم الفترة إلى فترات جزئية، ثم إيجاد طول الخط المستقيم الذي يربط الدالة في هذه الفترات، كما هو موضح. والآن تخيل أن عدد الفترات الجزئية ﻥ يتزايد. ماذا سيحدث للقيمة التقريبية؟ مع زيادة عدد الفترات الجزئية، يصبح كل خط مستقيم أقصر، وتقترب القيمة التقريبية أكثر وأكثر من القيمة الفعلية لطول ﻡ. نعرف إذن طول المنحنى ﻝ الذي معادلته ﺹ يساوي ﺩﺱ، باعتباره نهاية أطوال هذه المضلعات المرسومة، بافتراض أن النهاية موجودة.

المشكلة هي أن هذه الصيغة لا تفيدنا بدرجة كبيرة. لكنها تسمح لنا باستنتاج صيغة تكامل للمنحنى ﻝ حيث ﺩ دالة متصلة وقابلة للاشتقاق على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. وما يمكننا فعله هو إيجاد أطوال القطع المستقيمة باستخدام صيغة حساب المسافة أو نظرية فيثاغورس. عن طريق تعريف 𝛥ﺹﻥ على أنه الفرق بين ﺹﻥ وﺹﻥ ناقص واحد، ما يساوي الفرق بين ﺩﺱ ﻥ ناقص ﺩﺱﻥ ناقص واحد، يمكننا القول إن أطوال القطع المستقيمة هي الجذر التربيعي لـ ﺱﻥ ناقص ﺱﻥ ناقص واحد تربيع، زائد ﺹﻥ ناقص ﺹﻥ ناقص واحد تربيع. ويمكننا إعادة تعريف ذلك على صورة الجذر التربيعي لـ 𝛥ﺱﻥ تربيع زائد 𝛥ﺹﻥ تربيع.

وبتطبيق نظرية القيمة المتوسطة على الدالة ﺩ على الفترة المغلقة من ﺱﻥ ناقص واحد إلى ﺱﻥ، نلاحظ وجود العدد ﺱﻥ ستار بين ﺱﻥ ناقص واحد وﺱﻥ، حيث إن ﺩﺱﻥ ناقص ﺩﺱﻥ ناقص واحد يساوي مشتقة الدالة عند هذا العدد ﺱ ستار ﻥ في ﺱﻥ ناقص ﺱﻥ ناقص واحد. ثم نعيد تعريف ذلك باستخدام الصيغة التي كانت لدينا. ونجد أن 𝛥ﺹﻥ يساوي ﺩ شرطة ﺱ ستار ﻥ في 𝛥ﺱ. ونعوض عن 𝛥ﺹﻥ في المقدار المعبر عن أطوال القطع المستقيمة. ثم نأخذ الجذر التربيعي لـ 𝛥ﺱ تربيع عاملًا مشتركًا. فنجد أن أطوال القطع المستقيمة يساوي 𝛥ﺱ في الجذر التربيعي لواحد زائد ﺩ شرطة ﺱ ستار ﻥ تربيع.

ونعوض بذلك في الحد الأصلي. فنجد أن ﻝ يساوي النهاية عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية للمجموع بين ﻥ يساوي واحدًا وﻥ، لـ 𝛥ﺱ في الجذر التربيعي لواحد زائد ﺩ شرطة ﺱ ستار ﻥ تربيع. حسب التعريف، يمكننا القول إن هذا يساوي التكامل بين ﺃ وﺏ للجذر التربيعي لواحد زائد ﺩ شرطة ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. وبذلك نكون قد حصلنا على صيغة طول القوس.

نفهم من ذلك أنه إذا كانت ﺩ شرطة دالة متصلة على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. فإن طول المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي ﺃ وأصغر من أو يساوي ﺏ، هو ﻝ يساوي قيمة التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ للجذر التربيعي لواحد زائد ﺩ شرطة ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. باستخدام رمز ليبنتز، يمكننا كتابة ذلك في صورة التكامل بين ﺃ وﺏ للجذر التربيعي لواحد زائد ﺩﺹ على ﺩﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. فلننظر الآن في طريقة استخدام هذه الصيغة.

احسب طول قوس المنحنى ﺹ يساوي الجذر التربيعي لأربعة ناقص ﺱ تربيع بين ﺱ يساوي صفرًا وﺱ يساوي اثنين، مع التقريب لأقرب خمس منازل عشرية.

باستخدام رمز ليبنتز، نعرف صيغة طول قوس المنحنى من خلال التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ للجذر التربيعي لواحد زائد ﺩﺹ على ﺩﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. ونعلم أن ﺹ يساوي الجذر التربيعي لأربعة ناقص ﺱ تربيع، ومن ثم نبدأ بإيجاد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ. إذا كتبنا ﺹ في صورة أربعة ناقص ﺱ تربيع أس نصف، فيمكننا استخدام قاعدة القوى العامة لإيجاد مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى ﺱ. هذا يساوي نصفًا في أربعة ناقص ﺱ تربيع أس سالب نصف مضروبًا في مشتقة الدالة الموجودة داخل القوس. وهذا يساوي سالب اثنين ﺱ.

بالقسمة على اثنين وإعادة كتابة ﺩﺹ على ﺩﺱ، نحصل على سالب ﺱ على الجذر التربيعي لأربعة ناقص ﺱ تربيع. ونساوي ﺃ بصفر وﺏ باثنين. وهذا يعني أن طول المنحنى الذي يعنينا يساوي قيمة التكامل المحدد بين صفر واثنين للجذر التربيعي لواحد زائد سالب ﺱ على الجذر التربيعي لأربعة ناقص ﺱ تربيع، تربيع، بالنسبة إلى ﺱ. ويمكن تبسيط ذلك بسهولة. يصبح ما سنحسب تكامله هو الجذر التربيعي لواحد زائد ﺱ تربيع على أربعة ناقص ﺱ تربيع. ويمكننا تبسيط المقدار داخل الجذر التربيعي بضرب كل من بسط ومقام العدد واحد في أربعة ناقص ﺱ تربيع. وبجمع ذلك نحصل على أربعة ناقص ﺱ تربيع زائد ﺱ تربيع على أربعة ناقص ﺱ تربيع. سالب ﺱ تربيع زائد ﺱ تربيع يساوي صفرًا. إذن يصبح ما سنحسب تكامله هو الجذر التربيعي لأربعة على أربعة ناقص ﺱ تربيع.

ويمكن التبسيط أكثر. إذا أخذنا أربعة عاملًا مشتركًا، نلاحظ أنه يمكن كتابة ما سنحسب تكامله على صورة الجذر التربيعي لأربعة في واحد على الجذر التربيعي لأربعة ناقص ﺱ تربيع. الجذر التربيعي لأربعة يساوي اثنين. ومسموح لنا بإخراج العوامل الثابتة خارج التكامل. إذن يصبح لدينا ﻝ يساوي اثنين في قيمة التكامل المحدد بين صفر واثنين لواحد على الجذر التربيعي لأربعة ناقص ﺱ تربيع. قد يبدو هذا معقدًا. ولكن يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل باستخدام التعويض. نتذكر أن مشتقة الدالة العكسية لـ جا ﺱ تساوي واحدًا على الجذر التربيعي لواحد ناقص ﺱ تربيع. ونعيد كتابة ما سنحسب تكامله.

هذه المرة نأخذ أربعة عاملًا مشتركًا في المقام. ونلاحظ أنه يمكن حذف اثنين في واحد مع الجذر التربيعي لأربعة. ويمكننا أيضًا كتابة ﺱ تربيع على أربعة بصورة ﺱ على اثنين تربيع. وللتعويض نجعل ﻉ يساوي ﺱ على اثنين. ومن ثم فإن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي نصفًا. ويمكننا القول إن هذا هو نفسه أن نقول اثنين ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ. علينا أيضًا تغيير حدود التكامل. عندما تكون قيمة ﺱ اثنين، فإن ﻉ يساوي اثنين على اثنين، ما يساوي واحدًا. وعندما تكون قيمة ﺱ صفرًا، فإن ﻉ يساوي صفرًا على اثنين، ما يساوي صفرًا.

إذن نجد أن ﻝ يساوي التكامل المحدد بين صفر وواحد لواحد على الجذر التربيعي لواحد ناقص ﻉ تربيع في اثنين ﺩﻉ. مرة أخرى، نأخذ اثنين عاملًا مشتركًا. ويمكننا الآن إيجاد قيمة تكامل واحد على الجذر التربيعي لواحد ناقص ﻉ تربيع. وهو ببساطة يساوي الدالة العكسية لـ جا ﻉ. وعلينا إيجاد قيمة اثنين في الدالة العكسية لـ جا ﻉ بين واحد وصفر. هذا يساوي اثنين في الدالة العكسية لـ جا واحد ناقص الدالة العكسية لـ جا صفر، ما يساوي ببساطة 𝜋. وبتقريب ذلك لأقرب خمس منازل عشرية، يكون طول قوس المنحنى ﻝ هو ٣٫١٤١٥٩.

سنفكر الآن في كيفية إيجاد طول قوس المنحنى المعرف على صورة ﺱ بدلالة ﺹ. بالنسبة لمنحنى معادلته ﺱ يساوي ﺭﺹ، حيث ﺭﺹ دالة متصلة ولها مشتقة متصلة على الفترة المغلقة من ﺟ إلى ﺩ، يتم تحديد طول المنحنى بين ﺹ يساوي ﺟ وﺹ يساوي ﺩ من خلال حساب التكامل المحدد بين ﺟ وﺩ للجذر التربيعي لواحد زائد ﺩﺱ على ﺩﺹ تربيع ﺩﺹ. وطريقة استخدام هذه الصيغة تشبه طريقة استخدام الصيغة السابقة. دعونا نر كيف سيكون ذلك.

أوجد طول قوس المنحنى ﺹ تربيع يساوي ﺱ بين ﺹ يساوي صفرًا وﺹ يساوي أربعة.

تذكر أنه بالنسبة لمنحنى معادلته ﺱ يساوي ﺭﺹ، حيث ﺭﺹ دالة متصلة ولها مشتقة متصلة على الفترة المغلقة من ﺟ إلى ﺩ، يتم تحديد طول قوس المنحنى بين ﺹ يساوي ﺟ وﺹ يساوي ﺩ من خلال حساب التكامل المحدد بين ﺟ وﺩ للجذر التربيعي لواحد زائد ﺩﺱ على ﺩﺹ تربيع ﺩﺹ. دعونا نقارن هذه الصيغة بالمسألة التي لدينا.

الدالة ﺱ بدلالة ﺹ هي ﺱ يساوي ﺹ تربيع. ونلاحظ أنه علينا اشتقاق ﺱ بالنسبة إلى ﺹ. مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﺹ هي اثنان ﺹ. ونعلم أيضًا أنه علينا إيجاد طول القوس بين ﺹ يساوي صفرًا وﺹ يساوي أربعة. إذن، نقول إن ﺟ يساوي صفرًا وﺩ يساوي أربعة. وبالتعويض بما لدينا في هذه الصيغة نحصل على ﻝ يساوي قيمة التكامل المحدد بين صفر وأربعة للجذر التربيعي لواحد زائد اثنين ﺹ تربيع، بالنسبة إلى ﺹ. اثنان ﺹ الكل تربيع يساوي أربعة ﺹ تربيع. إذن، لإيجاد طول القوس الذي يعنينا، علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد للجذر التربيعي لواحد زائد أربعة ﺹ تربيع بين الحدين صفر وأربعة. سنستخدم الآلة الحاسبة الرسومية للقيام بذلك. وبذلك نجد أن طول القوس يساوي ١٦٫٨١٨٦٣، ما يساوي ١٦٫٨ وحدة بالتقريب لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

وقد لاحظنا أن طريقتي الحل في المثالين اللذين تناولناهما متطابقتان تقريبًا. يمكننا إذن إعادة التعريف والصياغة. حتى يصبح لدينا صيغة واحدة. طول القوس هو ﻝ يساوي تكامل ﺩﻑ، حيث ﺩﻑ يساوي الجذر التربيعي لواحد زائد ﺩﺹ على ﺩﺱ تربيع ﺩﺱ، إذا كان ﺹ يساوي ﺩﺱ على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. وﺩﻑ يساوي الجذر التربيعي لواحد زائد ﺩﺱ على ﺩﺹ تربيع ﺩﺹ إذا كان ﺱ يساوي ﺭﺹ على الفترة المغلقة من ﺟ إلى ﺩ. وفي المثال الأخير، سنفكر في كيفية تعريف دالة طول القوس ﻑﺱ من نقطة معطاة.

أوجد دالة طول قوس المنحنى ﺹ يساوي أربعة ﺱ أس ثلاثة على اثنين باستخدام النقطة واحد، أربعة باعتبارها نقطة البداية.

تذكر أن صيغة طول القوس للدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ هي ﻝ يساوي تكامل ﺩﻑ، حيث ﺩﻑ يساوي الجذر التربيعي لواحد زائد ﺩﺹ على ﺩﺱ تربيع ﺩﺱ. في هذه المسألة، ﺹ يساوي أربعة ﺱ أس ثلاثة على اثنين. إذن، نبدأ بإيجاد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ. تذكر أنه لاشتقاق دالة من هذا النوع، نضرب في الأس ثم نقلله بمقدار واحد. إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ثلاثة على اثنين في أربعة ﺱ أس نصف. أربعة مقسومًا على اثنين يساوي اثنين. وبالتالي، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ستة ﺱ أس نصف. هذا يعني أنه يمكننا التعويض بما نعرفه في صيغة إيجاد ﺩﻑ. ونحصل على الجذر التربيعي لواحد زائد ستة ﺱ أس نصف تربيع ﺩﺱ.

ويمكن تبسيط ذلك بسهولة، حيث نحصل على الجذر التربيعي لواحد زائد ٣٦ﺱ. وهذا يعني أن ﻝ يساوي قيمة تكامل الجذر التربيعي لواحد زائد ٣٦ﺱ، بالنسبة إلى ﺱ. لكن ما هما حدا هذا التكامل؟ نوجد هنا الحل بدلالة ﺱ. ونعلم أن لدينا نقطة بداية عند ﺱ يساوي واحدًا. إذن، هذا هو الحد الأدنى. ونحن نبحث عن دالة عامة، لذلك فإن الحد الأعلى سيكون ﺱ. ويمكننا ملاحظة أن دالة طول القوس ستكون قيمة التكامل بين واحد وﺱ للجذر التربيعي لواحد زائد ٣٦ﺱ ﺩﺱ. فكيف نوجد قيمة هذا التكامل؟ لا يمكننا الاعتماد على الآلة الحاسبة، بل إن علينا استخدام التعويض.

لدينا دالة مركبة. وسنعتبر أن ﻉ يساوي الدالة التي تحت الجذر التربيعي، وهي واحد زائد ٣٦ﺱ. يمكننا القول إن مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ هي ٣٦. ويمكننا كذلك القول إن واحدًا على ٣٦ ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ. لكن قبل البدء في التعويض، علينا تغيير الحدين. ونستخدم التعويض للقيام بذلك. الحد الأعلى هو ﺱ، وبالتالي عندما تكون قيمة ﺱ هي ﺱ، فإن ﻉ يساوي واحدًا زائد ٣٦ﺱ. والحد الأدنى هو واحد، وبالتالي عندما تكون قيمة ﺱ هي واحد، فإن ﻉ يساوي واحدًا زائد ٣٦ في واحد، ما يساوي ٣٧. ومن ثم نعوض عن واحد زائد ٣٦ بـ ﻉ. وقد غيرت الجذر التربيعي ليصبح أس نصف. ونعوض عن ﺩﺱ بـ ٣٦ ﺩﻉ. ومن ثم يتبقى لنا فقط إيجاد قيمة هذا التكامل بين الحدين المعطيين.

قيمة تكامل ﻉ أس نصف هي ﻉ أس ثلاثة على اثنين مقسومًا على ثلاثة على اثنين. هذا يعني أن قيمة تكامل ﻉ أس نصف على ٣٦ هي ﻉ أس ثلاثة على اثنين على ٣٦ مقسومًا على ثلاثة على اثنين. والقسمة على ثلاثة على اثنين تماثل الضرب في ثلثين. يمكننا تبسيط ذلك قليلًا. ونجد أن دالة طول القوس أصبحت قيمتها واحدًا على ٥٤ في ﻉ أس ثلاثة على اثنين. بحساب التكامل بين ٣٧ وواحد زائد ٣٦ﺱ. هذا يساوي واحدًا على ٥٤ في واحد زائد ٣٦ﺱ أس ثلاثة على اثنين ناقص واحد على ٥٤ في ٣٧ أس ثلاثة على اثنين. وبذلك نكون قد انتهينا.

أوجدنا دالة طول قوس المنحنى ﺹ يساوي أربعة ﺱ أس ثلاثة على اثنين، باستخدام النقطة واحد، أربعة باعتبارها نقطة البداية. ومن المفيد أن نعرف أن لدينا الآن دالة طول القوس. ويمكننا إيجاد طول المنحنى بين النقطة ﺱ يساوي واحدًا وأي نقطة أخرى بالتعويض بقيمة ﺱ في هذه الصيغة.

رأينا في هذا الفيديو كيف يمكننا استخدام التكامل ليساعدنا في إيجاد طول قوس المنحنى المعرف بالصيغة ﺹ يساوي ﺩﺱ، وﺱ يساوي ﺭﺹ. ورأينا أيضًا أن صيغة طول القوس هي ﻝ يساوي تكامل ﺩﻑ، حيث ﺩﻑ يساوي الجذر التربيعي لواحد زائد ﺩﺹ على ﺩﺱ تربيع ﺩﺱ، إذا كانت ﺹ دالة لـ ﺱ على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. وهو يساوي الجذر التربيعي لواحد زائد ﺩﺱ ﺩﺹ تربيع ﺩﺹ إذا كانت ﺱ دالة لـ ﺹ على الفترة المغلقة من ﺟ إلى ﺩ. وقد رأينا أيضًا أنه يمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد المعادلة العامة لطول قوس دالة من نقطة بداية معطاة من خلال تغيير الحد الأعلى للتكامل إلى ﺱ أو ﺹ حسب السياق.