نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد معدل الوحدة، وكيف نستخدمه في حل المسائل. لكن قبل أن نفكر في معدلات الوحدة، علينا أن نتذكر النسب.
نستخدم النسب للمقارنة بين عددين أو كميتين. في هذا المستطيل، نستطيع تكوين نسبة تمثل طوله إلى عرضه، وهي سبعة إلى أربعة. كما يمكنك أيضًا كتابة النسب على صورة كسر: سبعة على أربعة. كلتا هاتين النسبتين هما طول هذا المستطيل إلى عرضه. تختلف المعدلات بعض الشيء. المعدلات هي نسب تستخدم للمقارنة بين كميتين ذواتي طبيعتين مختلفتين، أو كميتين معبر عنهما بوحدات مختلفة.
على سبيل المثال، يمكننا المقارنة بين مسافة الركض والزمن المستغرق في ذلك الركض. إذا قلنا إن ندى قطعت ستة كيلومترات في ٤٠ دقيقة، فيمكننا تمثيل ذلك من خلال هذا الرسم البياني المكون من خطين، حيث يمثل الوقت بالدقائق باللون الوردي، والمسافة بالكيلومتر باللون الأصفر. المعدل هنا هو مقارنة المسافة بالنسبة إلى الزمن. وعلى الرغم من أنك تستطيع كتابة ستة كيلومترات إلى ٤٠ دقيقة بهذا الشكل، فإن المعدلات عادة ما تأتي على صورة حاصل القسمة، حيث ستة كيلومترات في البسط، و٤٠ دقيقة في المقام. وبذلك نكون قد أوجدنا معدل ركض ندى. وبالرجوع إلى الشكل، نرى أن الزمن والمسافة متحاذيان رأسيًا.
إذا كانت ندى تركض بمعدل ثابت أو بسرعة ثابتة؛ فهذا يعني أنها تجري المسافة نفسها في فترة زمنية محددة. وهذا يعني أنه عندما تركض ندى لمدة نصف الزمن، أي لمدة ٢٠ دقيقة، فإنها تقطع نصف المسافة، أي ثلاثة كيلومترات. وفي نصف هذا الزمن، أي ١٠ دقائق، تكون قد قطعت كيلومترًا ونصف. أي إنها تقطع نصف المسافة. لكننا الآن لا نريد المعدل فحسب. بل نريد أيضًا معرفة معدل الوحدة. وهو عبارة عن المسافة التي تقتطعها ندى في وحدة الزمن الواحدة، وهي هنا دقيقة واحدة. لتحويل الزمن إلى دقيقة واحدة، نقسم الزمن الكلي، وهو ٤٠ دقيقة، على ٤٠.
ولأن هذين المعدلين متناسبان، إذا قسمنا الزمن على ٤٠، فعلينا قسمة المسافة على ٤٠. ستة مقسومًا على ٤٠ يساوي ٠٫١٥. وهكذا وجدنا أن ندى تركض بمعدل ٠٫١٥ كيلومتر في الدقيقة. فقد حولنا من المعدل الذي كانت ندى تركض به إلى معدل الوحدة. يفيدنا معدل الوحدة هذا لأنه يمكننا الآن بسهولة إيجاد أي مسافة تركضها ندى ما دمنا نعلم عدد الدقائق التي تستغرقها. ونفترض أنها ما زالت تركض بالسرعة نفسها. إذن، لحساب أي مسافة جديدة، فإننا ببساطة نضرب معدل الوحدة في عدد الدقائق التي تستغرقها في الركض.
على سبيل المثال، يمكننا محاولة الإجابة عن السؤال: ما المسافة التي يمكن أن تقطعها ندى في ٣٠ دقيقة؟ تركض ندى بمعدل ٠٫١٥ كيلومتر كل دقيقة. إذا ضربنا ذلك في ٣٠ دقيقة، فسنجد أن ندى تركض مسافة ٤٫٥ كيلومترات. ٠٫١٥ مضروبًا في ٣٠ يساوي ٤٫٥. ويمكننا أيضًا الإجابة عن سؤال مثل هذا: استخدم المعلومات لإيجاد سرعة ندى بالكيلومتر لكل ساعة. إذا ركضت ندى ٠٫١٥ كيلومترًا في دقيقة واحدة ونحن نعلم أن ٦٠ دقيقة تساوي ساعة واحدة، فيمكننا ضرب معدل الوحدة في ٦٠ دقيقة لكل ساعة. نضرب البسط ٠٫١٥ في ٦٠. ويتبقى لدينا تسعة كيلومترات في البسط وساعة واحدة في المقام. تركض ندى بسرعة تسعة كيلومترات لكل ساعة.
يمكننا وصف التعريف الرياضي لمعدل الوحدة كما يلي. معدل الوحدة هو معامل التناسب بين كميتين متناسبتين طرديًا. ويعبر عنه بوحدة مركبة، ويعطينا الكمية الأولى لكل وحدة من الكمية الثانية. وبذلك نكون مستعدين لنلقي نظرة على بعض الأمثلة.
ما متوسط سرعة موجة صوتية تقطع مسافة ٨٩٥ مترًا خلال ٢٫٥ ثانية؟
يشير «متوسط السرعة» هنا إلى أننا سنحسب معدل الوحدة الذي تنتقل به هذه الموجة الصوتية. نعلم أنها تقطع ٨٩٥ مترًا كل ٢٫٥ ثانية، ويمكننا كتابة ذلك على صورة الكسر ٨٩٥ مترًا على ٢٫٥ ثانية. لإيجاد متوسط السرعة أو معدل الوحدة، علينا معرفة المسافة التي تقطعها الموجة الصوتية في الثانية. علينا إيجاد كسر متناسب مع هذا الكسر.
للتحويل من ٢٫٥ ثانية إلى ثانية واحدة، علينا قسمة المقام على ٢٫٥. ولكن للحفاظ على تناسب القيمتين في البسط والمقام، سنقسم البسط أيضًا على ٢٫٥، وهو ما يعطينا ٣٥٨ مترًا. إذا قطعت الموجة الصوتية ٣٥٨ مترًا كل ثانية، فسيكون متوسط السرعة ٣٥٨. وستكون الوحدة مترًا لكل ثانية. فنحن لا نضع واحدًا في المقام؛ لأن ٣٥٨ مقسومًا على واحد يساوي ٣٥٨. لكننا نبقي على هذه الوحدة المركبة لمعدل الوحدة على الصورة متر لكل ثانية، لتكون الإجابة النهائية هي أن متوسط السرعة يساوي ٣٥٨ مترًا لكل ثانية.
قبل الانتقال إلى مثال آخر، علينا الإشارة إلى شيء ما بخصوص معدل الوحدة. تحدثنا سابقًا عن معدل الوحدة باعتباره معامل التناسب الذي يربط بين كميتين متناسبتين. لكن الأمر يعتمد على الطريقة التي نرى بها العلاقة التناسبية. لا توجد بالضرورة طريقة واحدة للنظر إلى هذه العلاقة التناسبية. على سبيل المثال، في حالة وجود ثلاث فطائر بيتزا و١٢ شخصًا، يمكن أن يكون معدل الوحدة على صورة عدد الأشخاص لكل فطيرة بيتزا.
قد يبدو المعدل الابتدائي هكذا: ١٢ شخصًا على ثلاث فطائر بيتزا. في هذه الحالة، ستكون الوحدة هي فطيرة بيتزا واحدة. وسيكون هناك أربعة أشخاص لكل فطيرة بيتزا. ويكون معدل الوحدة هو أربعة، أي أربعة أشخاص لكل فطيرة بيتزا. لكن أيضًا لدينا خيار آخر لمعدل الوحدة. يمكننا أيضًا استخدام معدل الوحدة: فطيرة بيتزا لكل شخص. في هذه الحالة، نبدأ بكسر يتكون من ثلاث فطائر بيتزا مقسومة على ١٢ شخصًا. والوحدة الواحدة هنا ستكون شخصًا واحدًا. ١٢ مقسومًا على ١٢ يساوي واحدًا، وثلاث فطائر مقسومة على ١٢ تساوي ربع فطيرة بيتزا. ومعدل الوحدة لفطيرة البيتزا لكل شخص هو ربع. سنكتب ذلك هكذا: ربع فطيرة بيتزا لكل شخص.
يمكن التعبير عن العلاقة التناسبية بين عدد الأشخاص وعدد فطائر البيتزا بكلا الطريقتين. وفي معظم الأحيان، يحدد سياق الحالة التي لدينا العلاقة الأكثر فائدة. في كلتا الحالتين، لدينا وحدة مركبة ومعامل لتلك الوحدة المركبة.
والآن، نحن جاهزون لتناول بعض الأمثلة الأخرى.
قام شريف بعد خطواته أثناء المشي. فوجد أنه كان يمشي بسرعة ثابتة؛ حيث تناسب عدد الخطوات مع زمن المشي. يوضح الجدول عدد الخطوات التي مشاها في أوقات مختلفة. ما ثابت التناسب بين زمن المشي وعدد الخطوات (سرعته مثلًا)؟
عندما نفكر في ثابت التناسب هذا، وبالتحديد السرعة التي مشى بها شريف، يجب أن نفكر في معدل الوحدة الذي كان يمشي به. وهذا يعني أن علينا أن نقرر. هل نبحث عن عدد الثواني لكل خطوة؟ أم أننا نبحث عن عدد الخطوات لكل ثانية؟ هناك طريقة بسيطة للتفكير في السرعة، وهي أنها المسافة المقيسة المقطوعة في كل وحدة من الزمن. وبالتالي، يمكننا اختيار «خطوات لكل ثانية» باعتباره معدل الوحدة. نعلم أن شريف يستغرق أربع ثوان ليمشي ست خطوات. يمكننا كتابة هذه النسبة: ست خطوات على أربع ثوان.
وبما أن مقام معدل الوحدة يجب أن يكون ثانية واحدة، علينا أن نقسم أربعة على أربعة لنحصل على واحد. وإذا قسمنا المقام على أربعة، فعلينا قسمة البسط على أربعة. ستة مقسومًا على أربعة يساوي واحدًا ونصف. وبذلك، يمكننا القول إن شريف مشى خطوة واحدة ونصف في ثانية واحدة.
قد يكون من المفيد التحقق من عدد آخر من نقاط البيانات للتأكد من أن هذا هو المعدل الثابت الذي كان شريف يمشي به. نعلم من الجدول أن شريف مشى ٤٥ خطوة في ٣٠ ثانية. إذا ضربنا معدل الوحدة في ٣٠ ثانية، يجب أن نحصل على ٤٥ خطوة. عندما نضرب البسط، فإن ١٫٥ في ٣٠ يساوي ٤٥ بالفعل. يمكننا أيضًا ضرب ١٫٥ في ٦٠ لنحصل على ٩٠، ٩٠ خطوة في ٦٠ ثانية. وأيضًا ١٫٥ في ١٠ ثوان يساوي ١٥ خطوة. بذلك نكون قد وجدنا أن سرعته، وهي معدله، تساوي ١٫٥ خطوة لكل ثانية واحدة. ويمكننا كتابة ثابت التناسب هذا على أنه ١٫٥، بوحدة خطوات لكل ثانية.
إليك مثال آخر.
تستهلك سيارة ١٠ لترات من الوقود لقطع مسافة ٥٠ كيلومترًا. ما معدل استهلاك السيارة للوقود باللتر لكل كيلومتر؟
نريد حساب معدل استهلاك الوقود باللتر لكل كيلومتر، وهو معدل وحدة يوضح عدد اللترات التي تستهلكها السيارة لكل كيلومتر، حيث تكون الوحدة كيلومترًا واحدًا. لدينا المعدل ١٠ لترات لكل ٥٠ كيلومترًا. إذا كتبنا ذلك على صورة كسر، يصبح لدينا ١٠ لترات على ٥٠ كيلومترًا. معدل الوحدة هو عدد اللترات التي تستهلكها السيارة لقطع كيلومتر واحد. للتحويل من ٥٠ إلى واحد، يمكننا قسمة المقام على ٥٠. ولأننا نريد أن نحافظ على تناسب هذه القيم، علينا أيضًا قسمة البسط على ٥٠. ١٠ مقسومًا على ٥٠ يساوي ٠٫٢. وهذا يعطينا عشري لتر لكل كيلومتر. وعند كتابة ذلك على شكل معدل وحدة، فإننا نكتب البسط ٠٫٢. ثم نكتب الوحدة لتر لكل كيلومتر.
في هذا المثال، سيتطلب حساب معدل الوحدة تغيير الوحدات التي نستخدمها.
إذا تسربت المياه من صنبور بمقدار ٧٨٠٠ لتر في خمس ساعات، فأوجد معدل التسرب في الدقيقة.
معدل التسرب في الدقيقة سيكون هو معدل الوحدة للتسرب مقيسًا باللتر لكل دقيقة. يمكننا تخيل المعطيات التي لدينا من خلال هذا الرسم البياني المكون من خطين. تخبرنا نقطتا البيانات الأولى والثانية بأن ٧٨٠٠ لتر تتسرب كل خمس ساعات. قبل أن نتمكن من إيجاد معدل التسرب لكل دقيقة، علينا إيجاد مقدار التسرب في ساعة واحدة بدلًا من خمس ساعات. لإيجاد ذلك، يمكننا قسمة الساعات الخمس على خمسة للحصول على ساعة واحدة. وبما أن هذين الخطين متناسبان، وهاتين القيمتين متناسبتان، فعلينا أيضًا قسمة ٧٨٠٠ على خمسة، وهو ما يساوي ١٥٦٠ لترًا.
إذن، يمكننا القول إن معدل التسرب يساوي ١٥٦٠ لترًا في الساعة. لكننا لم نوجد معدل التسرب باللتر لكل دقيقة. نعلم أن الساعة الواحدة تساوي ٦٠ دقيقة. لذا، يمكننا القول إن معدل التسرب يساوي ١٥٦٠ لترًا لكل ٦٠ دقيقة. لكن كيف يمكننا إيجاد القيمة في الدقيقة الواحدة؟ كيف نعرف مقدار التسرب باللتر في الدقيقة الواحدة؟ حسنًا، للتحويل من ٦٠ دقيقة إلى دقيقة واحدة، علينا أن نقسم على ٦٠. وهذا يعني أنه لمعرفة عدد اللترات التي تتسرب في دقيقة واحدة، علينا قسمة ١٥٦٠ لترًا في ٦٠ دقيقة على ٦٠. وبما أننا نقسم البسط والمقام على ٦٠، فسيظل هذا المعدل متناسبًا. وهذا التناسب هو ٢٦ لترًا كل دقيقة. معدل التسرب ٢٦ لترًا لكل دقيقة. وبكتابته على صورة معدل وحدة، لدينا العدد الكلي ٢٦ ثم الوحدة لتر لكل دقيقة.
وللعلم يتراوح معدل التدفق لصنبور المطبخ بين أربعة وستة لترات لكل دقيقة. بينما قد يبلغ ضغط خرطوم الحديقة ٩٠ لترًا لكل دقيقة، في حين قد تفوق معدلات تدفق بعض خراطيم الحريق ٣٦٠ لترًا لكل دقيقة. ومع معدل التسرب الذي يساوي ٢٦ لترًا لكل دقيقة، يمكننا تخمين أن هذا خرطوم حديقة لم يغلق جيدًا.
في المثال الأخير، سنرى ما يحدث عندما يكون جزآ المعدل عبارة عن قيمتين كسريتين.
يكنس كريم تسعي أرضية الصالة في ١٥ دقيقة، أو ربع ساعة. ما الكسر الممثل للمساحة التي يكنسها من الأرضية في ساعة واحدة؟ وكم يستغرق من الوقت لكنس الأرضية بالكامل؟
لدينا هذا الشكل المفيد. الخط السفلي يمثل الزمن والخط العلوي يمثل مساحة الأرض التي يكنسها كريم في ذلك الزمن. في ربع ساعة، كنس كريم تسعي الصالة. وهذا يعني أنه كل ربع ساعة، يمكن كنس تسعي الأرضية. تسعان زائد تسعين يساوي أربعة أتساع. في نصف ساعة، يمكن كنس أربعة أتساع الأرضية. وبالمعدل نفسه، ففي ثلاثة أرباع ساعة، يمكن كنس ستة أتساع الأرضية. ثم في ساعة واحدة، يمكن كنس ثماني أتساع الأرضية.
أول سؤال لدينا هو: ما الكسر الممثل للمساحة التي يكنسها من الأرضية في ساعة واحدة؟ وقد وجدنا أنه ثماني أتساع. قد لا يبدو السؤال الثاني مباشرًا. كم يستغرق من الوقت لكنس الأرضية بالكامل؟ إذا مددنا هذا الخط قليلًا، فسيكون هناك نقطة كنس عندها تسعة أتساع الأرضية. وهذه القيمة ستكون أطول قليلًا من ساعة واحدة. والآن، تسعة أتساع أكبر من ثمانية أتساع بمقدار تسع. وسيفيدنا أن نعرف الوقت الذي يستغرقه كريم لكنس تسع الأرضية.
ونظرًا لأن هذه القيم متناسبة، نعلم أن التسع هو نصف التسعين، وهذا يعني أنه سيستغرق نصف الربع لكنس تسع الأرضية. نصف الربع يساوي ثمنًا. إذن، يكنس تسع الأرضية كل ثمن ساعة. إذا أردنا كنس تسعة أتساع الأرضية، فسنضرب البسط وهو تسع في تسعة. ولأن هاتين القيمتين متناسبتان، علينا ضرب ثمن الساعة في تسعة أيضًا، وهو ما يعطينا تسعة أثمان الساعة لكنس الأرضية. تسعة أثمان الساعة تساوي واحدًا وثمنًا. ومن ثم، يمكننا القول إن كريم يستغرق ساعة واحدة وثمن الساعة لكنس الأرضية بالكامل، وهو ما يساوي ٦٧ دقيقة ونصفًا.
لتلخيص النقاط الأساسية، فإن معدل الوحدة هو معامل التناسب بين كميتين متناسبتين طرديًا. معدلات الوحدة لها وحدات مركبة، وتعطينا الكمية الأولى لكل وحدة من الكمية الأخرى. وأخيرًا، العلاقة التناسبية غالبًا ما يمكن فهمها بطريقتين، على سبيل المثال: أربعة أشخاص لكل فطيرة بيتزا أو ربع فطيرة بيتزا لكل شخص. وسياق الموقف هو ما يحدد طريقة استخدام هذه العلاقة التناسبية.
