فيديو: تحليل الدوال كثيرات الحدود باستخدام الأساليب التربيعية

يوضح الفيديو الصيغة العامة للدوال كثيرات الحدود، وكيفية تحليلها لإيجاد أصفارها عن طريق كتابتها بالصيغة التربيعية، مع حل أمثلة توضيحية.

١٠:٤١

‏نسخة الفيديو النصية

تحليل الدوال كثيرات الحدود باستخدام الأساليب التربيعية.

في الفيديو ده، هنتكلّم عن تحليل الدوال كثيرات الحدود باستخدام الأساليب التربيعية، لو قدرنا نكتبها بالصيغة التربيعية. بعد كده هنراجع المفاهيم الأساسية للأصفار الحقيقية للدوال كثيرات الحدود، ونقاط الانعطاف لها. بس خلّونا الأول كده نراجع الصورة القياسية للدوال كثيرات الحدود.

الصورة القياسية عندنا للدوال كثيرات الحدود بنراجعها مع بعض. بنقول: إن د س تساوي أ ن س أُس ن، زائد أ ن ناقص واحد س أُس، ن ناقص واحد، زائد تلات نقط، زائد أ واحد س أُس واحد، زائد أ صفر. طبعًا عندنا التلات نقط دول؛ لأن الدالة كثيرة الحدود بتُكتب الصورة القياسية ليها بإننا بنرتّب الحدود ترتيبًا تنازليًّا، زيّ ما إحنا شايفين كده. أ ن س أُس ن، بعده أ ن ناقص واحد س أُس، ن ناقص واحد. وهكذا لحدّ ما بنوصل لِـ أ صفر. طبعًا حيث أ ن لا يساوي صفر، وَ ن هي درجة كثيرة الحدود د س، وَ ن بيكون عدد صحيح موجب. والمعاملات عندنا أ ن، أ ن ناقص واحد، لحدّ أ واحد، وَ أ صفر هي أعداد حقيقية. وبنقول: إن المعامل الرئيسي عندنا هو معامل أكبر قوى للدالة كثيرة الحدود، اللي هي د س عندنا. وهو عندنا هنا عبارة عن أ ن.

خلّونا نكمّل كده في صفحة جديدة، ونراجع مع بعض المفهوم الأساسي للأصفار الحقيقية، ونقاط الانعطاف للدوال كثيرات الحدود. بنكمّل مع بعض، ونراجع. أول حاجة الأصفار الحقيقية للدالة كثيرة الحدود هي تقاطُع التمثيل البياني للدالة مع محور السينات. ونقطة الانعطاف للدالة كثيرة الحدود هي نقطة يتغيّر عندها التمثيل البياني للدالة من حالة التزايُد للتناقص، والعكس. وأيضًا يتمّ تحديد القيم العظمى والصغرى عليها. بنراجع برضو، بنلاقي إن تحتوي الدالة كثيرة الحدود د س من الدرجة ن على عدد ن من الأصفار الحقيقية المميّزة على الأكثر. وَ ن ناقص واحد نقطة انعطاف على الأكثر.

بعد كده هنبدأ نتكلّم بقى عن تحليل الدوال كثيرات الحدود لعوامل باستخدام الأساليب التربيعية. وخلّينا نشوف ده بيتمّ إمتى. نفتح صفحة جديدة كده مع بعض. لو جينا نشوف مع بعض إمتى بيتمّ تحليل الدوال كثيرات الحدود إلى عوامل باستخدام الأساليب التربيعية. بنقول: يُكتب تعبير الدالة كثيرة الحدود في س، هي دالة كثيرة الحدود في س، د س يعني. يُكتب التعبير بالصيغة التربيعية، إذا كُتب بالصيغة: أ هـ تربيع، زائد ب هـ، زائد ج، حيث أ وَ ب وَ ج ثوابت، وَ أ لا يساوي صفر، وَ هـ يكون تعبيرًا في س. يعني لو قدرنا نكتب الدالة كثيرة الحدود بالصيغة اللي إحنا شايفينها قدامنا دي، بالتالي نقدر نحلّل كثيرة الحدود دي باستخدام الأساليب التربيعية.

خلّونا نشوف مثال توضيحي؛ عشان نفهم أكتر. بنلاقي المثال عندنا عبارة عن تعبير لدالة كثيرة حدود عبارة عن: س أُس أربعة، ناقص خمسة س تربيع، ناقص أربعتاشر.

بنلاقي إن إحنا نقدر نكتبه بالصيغة التربيعية. وبيكون عبارة عن: س تربيع لكل تربيع، ناقص خمسة س تربيع لكل أُس واحد، ناقص أربعتاشر. لو عوّضنا عن س تربيع بِـ هـ، بنلاقي إن عندنا التعبير أصبح عبارة عن: هـ تربيع، ناقص خمسة هـ، ناقص أربعتاشر. وبكده يبقى إحنا قدرنا نكتبه بالصيغة التربيعية. دلوقتي بعد ما كتبنا التعبير بتاعنا بالصيغة التربيعية، ممكن نستخدم الأساليب التربيعية ليه عشان نقدر نحلّله إلى عوامل.

دلوقتي بعد ما راجعنا الصورة القياسية للدوال كثيرات الحدود، والمفهوم الأساسي للأصفار الحقيقية، ونقاط الانعطاف لها. وشُفنا إمتى نقدر نستخدم الأساليب التربيعية عشان نحلّل الدوال كثيرات الحدود إلى عوامل. خلينا نشوف مثال مع بعض. نفتح صفحة جديدة. المثال بيقول: اذكر عدد الأصفار الحقيقية المحتمَلة ونقاط الانعطاف للدالة: د س تساوي س أُس أربعة، ناقص تلاتة س تربيع، ناقص أربعة. ثم حدّد جميع الأصفار الحقيقية عن طريق تحليل العوامل.

عشان نقدر نحدّد عدد الأصفار الحقيقية المحتمَلة، ونقاط الانعطاف للدالة كثيرة الحدود اللي قدامنا، لازم أول حاجة نعرف درجتها. خلّينا نشوف كده مع بعض. لو جينا نشوف، بنلاقي إن د س هي كثيرة حدود من الدرجة الرابعة؛ لأن أكبر قوى فيها هي القوة الرابعة لِـ س. وبكده بنقول: إن الدرجة عبارة عن الدرجة الرابعة. وبنقول: إن عدد الأصفار الحقيقية المميّزة أربعة على الأكثر. وعدد نقاط الانعطاف أربعة ناقص واحد، يعني تلاتة على الأكثر.

بعد كده خلّونا نستخدم التحليل؛ عشان نقدر نحدّد جميع الأصفار الحقيقية لهذه الدالة. عشان نقدر نحلّل هذه الدالة، أول حاجة بنعملها إن إحنا بنساوي الدالة بالصفر. وبالتالي تتحوّل إلى المعادلة: س أُس أربعة، ناقص تلاتة س تربيع، ناقص أربعة يساوي صفر. بعد كده بنحاول نكتب المعادلة اللي قدامنا بالصيغة التربيعية. فتصبح: س تربيع أُس اتنين، ناقص تلاتة في س تربيع أُس واحد، ناقص أربعة يساوي صفر. وبكده يبقى إحنا كتبنا المعادلة على الصيغة التربيعية.

خلّينا نكمّل مع بعض كده في صفحة جديدة. بنكمّل مع بعض، وآخر حاجة عملناها إننا كتبنا المعادلة على الصيغة التربيعية. خلّينا نشوف شكلها هيبقى عامل إيه بدلالة هـ. بنعوّض عندنا عن س تربيع بِـ هـ. وبنلاقي إن شكل المعادلة أصبح: هـ تربيع، ناقص تلاتة هـ، ناقص أربعة يساوي صفر.

دلوقتي نقدر نحلّل المعادلة اللي قدامنا دي بعد ما كتبناها بدلالة الصيغة التربيعية، زيّ ما إحنا شايفين كده. خلّينا نشوف تحليلها هيكون شكله إيه. لقينا إن تمّ تحليل المعادلة اللي قدامنا دي إلى قوسين، زيّ ما إحنا شايفين كده. القوس الأول عبارة عن هـ زائد واحد، والقوس التاني عبارة عن هـ ناقص أربعة. وطبعًا تساوي صفر. بعد كده هنعوّض عن هـ بِـ س تربيع. وبالتالي بنلاقي إن شكل المعادلة هيكون عبارة عن: س تربيع زائد واحد في، س تربيع ناقص أربعة يساوي صفر.

بعد كده هنحلّل المعادلة اللي قدامنا دي إلى العوامل الكاملة. خلّينا نشوف شكلها هيكون إيه. بنحلّل المعادلة إلى العوامل الكاملة. بنلاقي إن شكلها هيصبح: س تربيع زائد واحد في، س ناقص اتنين في، س زائد اتنين تساوي صفر. ومن هنا بنلاقي إن س تربيع تساوي سالب واحد. وَ س تساوي اتنين. وَ س تساوي سالب اتنين. هي دي القيم اللي بتحقّق هذه المعادلة اللي إحنا شايفينها. ولو جينا نشوف س تربيع تساوي سالب واحد عندنا، وأخدنا الجذر الطرفين، بنلاقي عندنا إن س تساوي موجب أو سالب جذر سالب واحد.

ولو نفتكر السؤال عندنا، كان مطلوب منّنا إيجاد الأصفار الحقيقية لهذه الدالة. وعندنا س تساوي موجب أو سالب جذر سالب واحد ليست أصفار حقيقية. وبالتالي مرفوضة هذه القيم عندنا. إذن بنقول من هنا: إن الأصفار الحقيقية لهذه الدالة هي س تساوي اتنين، وَ س تساوي سالب اتنين. خلّينا نكتب الكلام ده. يبقى زيّ ما قلنا، الأصفار الحقيقية المميّزة لهذه الدالة: س تساوي اتنين، وَ س تساوي سالب اتنين.

خلّونا مع بعض نشوف التمثيل البياني لهذه الدالة. ونشوف هل فعلًا بيتوافق مع اللي إحنا استنتجناه من خلال حلّ المثال وإيجاد الأصفار الحقيقية المميّزة ولّا مش بيتوافق. خلّينا نشوف كده. التمثيل البياني لهذه الدالة، زيّ ما إحنا شايفين أهو، بنلاحظ عندنا إن التمثيل البياني ليها قطع محور السينات عند قيمتين، زيّ ما إحنا ملاحظين كده. وبنلاحظ عندنا كمان إن فيه تلات نقاط انعطاف، زيّ ما إحنا ملاحظين. وده فعلًا استنتجناه وإحنا بنحلّ هذا المثال.

يبقى إحنا في الفيديو ده مع بعض، راجعنا على الصورة القياسية للدوال كثيرات الحدود. وراجعنا عَ المفهوم الأساسي للأصفار الحقيقية، ونقاط الانعطاف للدوال كثيرات الحدود. بعد كده اتكلّمنا عن تحليل الدوال كثيرات الحدود باستخدام الأساليب التربيعية. وده بيحدث بشرط إن إحنا نقدر نكتب الدالة على الصيغة التربيعية. وبعد كده حلّينا مثال، زيّ ما شُفنا كده، طبّقنا عليه كل اللي إحنا اتعلّمناه.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.